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1.分解因式：$x^2 - 3x =$.
答案
解：
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
解析
【分析】
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题是两项式，优先考虑提公因式法。先确定公因式：两项系数1和-3的最大公约数是1，两项都含相同字母x，x的最低次数为1，因此公因式是x。将公因式x提取后，用原多项式每一项除以x得到剩余因式，再检查剩余因式是否能继续分解，确认x-3无法再分解，即完成分解。
【解析】
观察多项式$x^2 - 3x$，可知两项的公因式为$x$，提取公因式$x$：
$\begin{aligned}x^2 - 3x&=x· x - x· 3\\&=x(x - 3)\end{aligned}$
【答案】
$x(x - 3)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意检查剩余因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题是两项式，优先考虑提公因式法。先确定公因式：两项系数1和-3的最大公约数是1，两项都含相同字母x，x的最低次数为1，因此公因式是x。将公因式x提取后，用原多项式每一项除以x得到剩余因式，再检查剩余因式是否能继续分解，确认x-3无法再分解，即完成分解。
【解析】
观察多项式$x^2 - 3x$，可知两项的公因式为$x$，提取公因式$x$：
$\begin{aligned}x^2 - 3x&=x· x - x· 3\\&=x(x - 3)\end{aligned}$
【答案】
$x(x - 3)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意检查剩余因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
2.分解因式:$ax^2 -6ax +9a =$ .
答案
解：
$ax^2 - 6ax + 9a$
$= a(x^2 - 6x + 9)$
$= a(x-3)^2$
$ax^2 - 6ax + 9a$
$= a(x^2 - 6x + 9)$
$= a(x-3)^2$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的原则，首先观察原式各项，发现均含有公因式a，因此第一步先提取公因式a；提取公因式后得到多项式$x^2-6x+9$，该式符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式继续分解，最后检查分解结果是否彻底即可。
【解析】
$ax^2 - 6ax + 9a$
$= a(x^2 - 6x + 9)$（提取公因式$a$）
$= a(x-3)^2$（套用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a$对应$x$，$b$对应$3$）
【答案】
$a(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式，再根据剩余多项式的特征选择匹配的乘法公式，最后要确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
因式分解需遵循“一提二套三查”的原则，首先观察原式各项，发现均含有公因式a，因此第一步先提取公因式a；提取公因式后得到多项式$x^2-6x+9$，该式符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式继续分解，最后检查分解结果是否彻底即可。
【解析】
$ax^2 - 6ax + 9a$
$= a(x^2 - 6x + 9)$（提取公因式$a$）
$= a(x-3)^2$（套用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a$对应$x$，$b$对应$3$）
【答案】
$a(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式，再根据剩余多项式的特征选择匹配的乘法公式，最后要确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
3.已知$x-y=2,x^2-y^2=6$,则$x+y=$.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件中的$x^2-y^2$，可联想到平方差公式，平方差公式逆用可将$x^2-y^2$变形为$(x-y)(x+y)$，此时已经给出$x-y$和$x^2-y^2$的数值，将已知量代入变形后的式子，就能直接求出$x+y$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
将已知$x-y=2$，$x^2-y^2=6$代入上式：
$6 = 2×(x+y)$
等式两边同时除以2，解得：
$x+y = 6÷2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，属于基础题型，牢记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件中的$x^2-y^2$，可联想到平方差公式，平方差公式逆用可将$x^2-y^2$变形为$(x-y)(x+y)$，此时已经给出$x-y$和$x^2-y^2$的数值，将已知量代入变形后的式子，就能直接求出$x+y$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$
将已知$x-y=2$，$x^2-y^2=6$代入上式：
$6 = 2×(x+y)$
等式两边同时除以2，解得：
$x+y = 6÷2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，属于基础题型，牢记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.若关于x的多项式$x^2 + mx - 3$可以分解为$(x+3)(x-1)$，则常数$m=$
答案
解：将$(x+3)(x-1)$展开，得
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$
由题意得$x^2 +mx -3 = x^2 +2x -3$，根据对应项系数相等，
可得$m=2$。
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$
由题意得$x^2 +mx -3 = x^2 +2x -3$，根据对应项系数相等，
可得$m=2$。
解析
【分析】
本题利用因式分解和整式乘法的互逆关系解题，思路如下：因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此多项式分解得到的乘积式展开后，与原多项式完全相同。我们只需先展开给出的乘积式，再根据两个相等的多项式对应项系数相等，就能求出常数m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x+3)(x-1)$：
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$
由题意得$x^2 +mx -3 = x^2 +2x -3$，根据相等多项式的对应项系数相等，可得一次项系数对应相等，即$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 整式乘法
2. 因式分解的定义
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解部分的基础常规题，核心考查对因式分解和整式乘法互逆关系的理解，掌握多项式乘法运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题利用因式分解和整式乘法的互逆关系解题，思路如下：因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此多项式分解得到的乘积式展开后，与原多项式完全相同。我们只需先展开给出的乘积式，再根据两个相等的多项式对应项系数相等，就能求出常数m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x+3)(x-1)$：
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$
由题意得$x^2 +mx -3 = x^2 +2x -3$，根据相等多项式的对应项系数相等，可得一次项系数对应相等，即$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 整式乘法
2. 因式分解的定义
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解部分的基础常规题，核心考查对因式分解和整式乘法互逆关系的理解，掌握多项式乘法运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5.若$x - y = 4$，$xy = 6$，则$x^2y - xy^2 =$
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
观察所求代数式$x^2y - xy^2$的结构，发现两项均含有公因式$xy$，因此首先用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后可得到$xy(x-y)$的形式，刚好可以直接代入已知的$x-y$和$xy$的值计算，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，用整体代入的方法计算更简便。
【解析】
解：对所求代数式因式分解：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
将已知条件$x - y = 4$，$xy = 6$代入上式：
原式$=6×4=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入的思想简化计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，考查对因式分解的灵活运用能力。
【难度系数】
0.9
观察所求代数式$x^2y - xy^2$的结构，发现两项均含有公因式$xy$，因此首先用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后可得到$xy(x-y)$的形式，刚好可以直接代入已知的$x-y$和$xy$的值计算，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，用整体代入的方法计算更简便。
【解析】
解：对所求代数式因式分解：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
将已知条件$x - y = 4$，$xy = 6$代入上式：
原式$=6×4=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入的思想简化计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，考查对因式分解的灵活运用能力。
【难度系数】
0.9
6.分解因式:$(x+2)(x+4)+1=$ .
答案
$\boldsymbol{(x+3)^2}$
解析
【分析】
要对原式进行因式分解，首先观察式子结构：原式是两个一次二项式的乘积加常数1，无法直接套用因式分解公式，因此第一步先利用多项式乘多项式的法则把乘积部分展开，合并同类项得到二次三项式，再观察二次三项式的特征，判断是否符合完全平方公式的结构，进而套用公式完成因式分解。
【解析】
1. 展开乘积部分：
根据多项式乘多项式法则计算$(x+2)(x+4)$：
$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$
2. 合并常数项整理原式：
将上述结果代入原式得：
原式$=x^2+6x+8+1=x^2+6x+9$
3. 套用完全平方公式分解：
完全平方公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=x$，$b=3$，因此：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$
【答案】
$(x+3)^2$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题关键是先通过整式乘法将原式整理为标准的多项式形式，再根据多项式特征选择合适的方法分解，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
要对原式进行因式分解，首先观察式子结构：原式是两个一次二项式的乘积加常数1，无法直接套用因式分解公式，因此第一步先利用多项式乘多项式的法则把乘积部分展开，合并同类项得到二次三项式，再观察二次三项式的特征，判断是否符合完全平方公式的结构，进而套用公式完成因式分解。
【解析】
1. 展开乘积部分：
根据多项式乘多项式法则计算$(x+2)(x+4)$：
$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$
2. 合并常数项整理原式：
将上述结果代入原式得：
原式$=x^2+6x+8+1=x^2+6x+9$
3. 套用完全平方公式分解：
完全平方公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，此处$a=x$，$b=3$，因此：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$
【答案】
$(x+3)^2$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题关键是先通过整式乘法将原式整理为标准的多项式形式，再根据多项式特征选择合适的方法分解，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
7.若对于非零的两个实数$a,b$,规定$a\otimes b=a^3-ab$,则将$a\otimes25$进行因式分解的结果为.
答案
解：根据规定的运算，可得
$a\otimes25 = a^3 - a×25$
$=a^3 -25a$
$=a(a^2 -25)$
$=a(a+5)(a-5)$
最终结果为$\boldsymbol{a(a+5)(a-5)}$。
$a\otimes25 = a^3 - a×25$
$=a^3 -25a$
$=a(a^2 -25)$
$=a(a+5)(a-5)$
最终结果为$\boldsymbol{a(a+5)(a-5)}$。
解析
【分析】
解题首先需要准确理解题目给出的新运算规则，将$a\otimes25$按照规则转化为常规代数式，再按因式分解的标准步骤求解：第一步先提取公因式，第二步判断提取公因式后的式子能否套用乘法公式继续分解，最后确认所有因式都无法再分解，保证分解彻底。
【解析】
根据规定的运算$a\otimes b=a^3-ab$，把$b=25$代入运算得：
$a\otimes25 = a^3 - a×25$
$=a^3 -25a$
先提取公因式$a$，可得：$a^3 -25a=a(a^2 -25)$
再利用平方差公式分解$a^2-25$，得：$a^2-25=(a+5)(a-5)$
因此最终分解结果为$a(a+5)(a-5)$
【答案】
$a(a+5)(a-5)$
【知识点】
新定义运算，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查因式分解的应用，解题关键是先根据新运算规则正确写出对应代数式，再按照因式分解的步骤逐步化简，注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
解题首先需要准确理解题目给出的新运算规则，将$a\otimes25$按照规则转化为常规代数式，再按因式分解的标准步骤求解：第一步先提取公因式，第二步判断提取公因式后的式子能否套用乘法公式继续分解，最后确认所有因式都无法再分解，保证分解彻底。
【解析】
根据规定的运算$a\otimes b=a^3-ab$，把$b=25$代入运算得：
$a\otimes25 = a^3 - a×25$
$=a^3 -25a$
先提取公因式$a$，可得：$a^3 -25a=a(a^2 -25)$
再利用平方差公式分解$a^2-25$，得：$a^2-25=(a+5)(a-5)$
因此最终分解结果为$a(a+5)(a-5)$
【答案】
$a(a+5)(a-5)$
【知识点】
新定义运算，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查因式分解的应用，解题关键是先根据新运算规则正确写出对应代数式，再按照因式分解的步骤逐步化简，注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=BC=a$,四边形$CDEF$是边长为$b$的正方形.若$a+b=10,ab=12$,则阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{32}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用割补法转化计算：先求出大等腰直角三角形ABC的面积，再减去空白直角三角形BEF的面积即可得到阴影面积。先将面积表达式用含a、b的式子表示，再利用完全平方公式对代数式变形，最后将已知的a+b和ab的值整体代入计算，无需单独求a、b的取值，简化计算步骤。
【解析】
解：由题意得：
1. 计算等腰直角△ABC的面积：
∵∠C=90°，AC=BC=a，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}a^2$
2. 计算空白△BEF的面积：
∵四边形CDEF是边长为b的正方形，
∴EF=b，BF=BC-CF=a-b，∠EFB=90°，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}(a-b)b$
3. 阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ BEF}$
$=\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a-b)$
$=\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$
$=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
根据完全平方公式变形得：$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，
将$a+b=10$，$ab=12$代入得：
$a^2 + b^2=10^2 - 2×12=100-24=76$
再代入阴影面积表达式：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(76 - 12)=\frac{1}{2}×64=32$
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、三角形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是通过割补法建立阴影面积的代数式，再利用整体代入思想结合完全平方公式变形计算，有效降低了计算难度，考察了学生的图形转化能力和代数公式运用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用割补法转化计算：先求出大等腰直角三角形ABC的面积，再减去空白直角三角形BEF的面积即可得到阴影面积。先将面积表达式用含a、b的式子表示，再利用完全平方公式对代数式变形，最后将已知的a+b和ab的值整体代入计算，无需单独求a、b的取值，简化计算步骤。
【解析】
解：由题意得：
1. 计算等腰直角△ABC的面积：
∵∠C=90°，AC=BC=a，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}a^2$
2. 计算空白△BEF的面积：
∵四边形CDEF是边长为b的正方形，
∴EF=b，BF=BC-CF=a-b，∠EFB=90°，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}(a-b)b$
3. 阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ BEF}$
$=\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a-b)$
$=\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$
$=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
根据完全平方公式变形得：$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，
将$a+b=10$，$ab=12$代入得：
$a^2 + b^2=10^2 - 2×12=100-24=76$
再代入阴影面积表达式：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(76 - 12)=\frac{1}{2}×64=32$
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、三角形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是通过割补法建立阴影面积的代数式，再利用整体代入思想结合完全平方公式变形计算，有效降低了计算难度，考察了学生的图形转化能力和代数公式运用能力。
【难度系数】
0.7
9.分解因式：
(1)$3(x^2 +1)-6x$；
(2)$(a^2 +b^2)^2 -4a^2b^2$；
(3)$(a - b)(x - y)-(b - a)(x + y)$。
(1)$3(x^2 +1)-6x$；
(2)$(a^2 +b^2)^2 -4a^2b^2$；
(3)$(a - b)(x - y)-(b - a)(x + y)$。
答案
解：
(1) 原式$=3x^2 + 3 - 6x$
$=3(x^2 - 2x + 1)$
$=3(x-1)^2$
(2) 原式$=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)$
$=(a+b)^2(a-b)^2$
(3) 原式$=(a-b)(x-y) + (a-b)(x+y)$
$=(a-b)[(x-y)+(x+y)]$
$=2x(a-b)$
(1) 原式$=3x^2 + 3 - 6x$
$=3(x^2 - 2x + 1)$
$=3(x-1)^2$
(2) 原式$=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)$
$=(a+b)^2(a-b)^2$
(3) 原式$=(a-b)(x-y) + (a-b)(x+y)$
$=(a-b)[(x-y)+(x+y)]$
$=2x(a-b)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：①先观察多项式有无公因式，有则先提取公因式；②再看剩余部分是否符合平方差或完全平方公式的特征，符合则套用公式继续分解；③最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先整理原式，提取公因式3后，剩余的多项式是完全平方式，套用完全平方公式即可完成分解；
(2)原式是两个平方项作差的形式，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，继续套用完全平方公式分解即可；
(3)先将式中$(b-a)$变形为$-(a-b)$，即可得到公因式$(a-b)$，提取公因式后合并同类项，确认分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式$=3x^2 + 3 - 6x$
$=3(x^2 - 2x + 1)$
$=3(x-1)^2$
(2) 原式$=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)$
$=(a+b)^2(a-b)^2$
(3) 原式$=(a-b)(x-y) + (a-b)(x+y)$
$=(a-b)[(x-y)+(x+y)]$
$=2x(a-b)$
【答案】
(1)$3(x-1)^2$；(2)$(a+b)^2(a-b)^2$；(3)$2x(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤，解题时要注意符号的处理，尤其是互为相反数的因式要先统一为公因式，最终分解结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：①先观察多项式有无公因式，有则先提取公因式；②再看剩余部分是否符合平方差或完全平方公式的特征，符合则套用公式继续分解；③最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先整理原式，提取公因式3后，剩余的多项式是完全平方式，套用完全平方公式即可完成分解；
(2)原式是两个平方项作差的形式，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均为完全平方式，继续套用完全平方公式分解即可；
(3)先将式中$(b-a)$变形为$-(a-b)$，即可得到公因式$(a-b)$，提取公因式后合并同类项，确认分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式$=3x^2 + 3 - 6x$
$=3(x^2 - 2x + 1)$
$=3(x-1)^2$
(2) 原式$=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)$
$=(a+b)^2(a-b)^2$
(3) 原式$=(a-b)(x-y) + (a-b)(x+y)$
$=(a-b)[(x-y)+(x+y)]$
$=2x(a-b)$
【答案】
(1)$3(x-1)^2$；(2)$(a+b)^2(a-b)^2$；(3)$2x(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤，解题时要注意符号的处理，尤其是互为相反数的因式要先统一为公因式，最终分解结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
10.甲、乙两名同学将一个多项式分解因式,甲同学因看错了二次项系数而分解成$x(x+1)(x+9)$,乙同学因看错了一次项系数而分解成$x(x-1)(x-5)$.
(1)求原来正确的多项式;
(2)将原来的多项式因式分解.
(1)求原来正确的多项式;
(2)将原来的多项式因式分解.
答案
解：
(1) 展开甲分解的结果：
$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$
甲看错二次项系数，因此原多项式的一次项、三次项和常数项正确，可得原多项式的一次项为$9x$。
展开乙分解的结果：
$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$
乙看错一次项系数，因此原多项式的二次项、三次项和常数项正确，可得原多项式的二次项为$-6x^2$，三次项为$x^3$。
因此原来正确的多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 对原多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-6x^2+9x&=x(x^2-6x+9)\\&=x(x-3)^2\end{aligned}$
(1) 展开甲分解的结果：
$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$
甲看错二次项系数，因此原多项式的一次项、三次项和常数项正确，可得原多项式的一次项为$9x$。
展开乙分解的结果：
$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$
乙看错一次项系数，因此原多项式的二次项、三次项和常数项正确，可得原多项式的二次项为$-6x^2$，三次项为$x^3$。
因此原来正确的多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 对原多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-6x^2+9x&=x(x^2-6x+9)\\&=x(x-3)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
解题核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲仅看错二次项系数，说明其分解结果展开后，三次项、一次项、常数项和原多项式一致；乙仅看错一次项系数，说明其分解结果展开后，三次项、二次项、常数项和原多项式一致。先分别展开两人的分解结果，提取对应正确的项即可组合出原多项式；再对原多项式先提公因式，再用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
(1) 展开甲同学的分解结果：
$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$
甲仅看错二次项系数，因此原多项式的三次项为$x^3$、一次项为$9x$、常数项为0。
再展开乙同学的分解结果：
$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$
乙仅看错一次项系数，因此原多项式的二次项为$-6x^2$。
综上，原多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 对原多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-6x^2+9x&=x(x^2-6x+9) \quad \mathrm{提取公因式}x\\&=x(x-3)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^3-6x^2+9x}$
(2) $\boldsymbol{x(x-3)^2}$
【知识点】
多项式乘法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题结合整式乘法与因式分解的互逆关系考查，需要学生准确理解“看错某一项系数”的含义，筛选有效信息组合得到原多项式，再规范完成因式分解，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲仅看错二次项系数，说明其分解结果展开后，三次项、一次项、常数项和原多项式一致；乙仅看错一次项系数，说明其分解结果展开后，三次项、二次项、常数项和原多项式一致。先分别展开两人的分解结果，提取对应正确的项即可组合出原多项式；再对原多项式先提公因式，再用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
(1) 展开甲同学的分解结果：
$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$
甲仅看错二次项系数，因此原多项式的三次项为$x^3$、一次项为$9x$、常数项为0。
再展开乙同学的分解结果：
$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$
乙仅看错一次项系数，因此原多项式的二次项为$-6x^2$。
综上，原多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 对原多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-6x^2+9x&=x(x^2-6x+9) \quad \mathrm{提取公因式}x\\&=x(x-3)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^3-6x^2+9x}$
(2) $\boldsymbol{x(x-3)^2}$
【知识点】
多项式乘法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题结合整式乘法与因式分解的互逆关系考查，需要学生准确理解“看错某一项系数”的含义，筛选有效信息组合得到原多项式，再规范完成因式分解，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
