1.分解因式：$a^2 -4a +4 =$ .

解：
$a^2 -4a +4$
$=a^2 - 2· a· 2 + 2^2$
$=(a-2)^2$

【分析】
要对该三项式进行因式分解，首先观察式子结构：式子共有三项，首项为$a^2$（是$a$的平方），末项为$4=2^2$（是$2$的平方），中间项$-4a$恰好是$a$与$2$乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式的结构特征，因此可直接套用完全平方差公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$求解，将公式中的$x$替换为$a$，$y$替换为$2$即可。
【解析】
解：
$a^2 -4a +4$
$=a^2 - 2· a· 2 + 2^2$
$=(a-2)^2$
【答案】
$(a-2)^2$
【知识点】
1. 公式法分解因式
2. 完全平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对完全平方公式结构的识别与运用，牢记完全平方公式“首平方，尾平方，乘积二倍在中央”的特征，注意中间项的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.分解因式：$x^3y + 2x^2y + xy =$
.

解：
$x^3y + 2x^2y + xy$
$= xy(x^2 + 2x + 1)$
$= xy(x+1)^2$

【分析】
解决分解因式类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项的公因式，本题中三项都含有公因式$xy$，因此先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的多项式$x^2+2x+1$，符合完全平方公式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特征，可套用完全平方公式继续分解；第三步检查分解结果是否为整式乘积形式，是否分解到无法再分解，确保结果正确。
【解析】
$\begin{aligned}&x^3y + 2x^2y + xy\\=&xy(x^2 + 2x + 1)\\=&xy(x+1)^2\end{aligned}$
【答案】
$xy(x+1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的标准流程，解题时要注意公因式需提取彻底，套用公式时要准确识别公式结构，最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9

3.若$x^2+mx+9=(x+3)^2$，则m的值是。

解：将等式右边展开，得
$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
因为$x^2 + mx + 9 = x^2 + 6x + 9$，对应项系数相等，
所以$m=6$。

【分析】
要求m的值，我们可以先利用完全平方公式把等式右侧的完全平方式展开，得到标准的二次三项式形式；再根据两个多项式相等时，相同次数的对应项系数相等的规律，对比左右两边一次项的系数，就能直接求出m的取值。
【解析】
1. 首先展开等式右侧的完全平方式：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得
$(x+3)^2 = x^2 + 2× x×3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
2. 将展开结果代入原等式：
$x^2 + mx + 9 = x^2 + 6x + 9$
3. 对比等式两边对应项的系数：
等式两边二次项系数、常数项均相等，因此一次项系数也相等，可得$m=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式对应项系数相等
【点评】
本题是基础运算题，核心考查完全平方公式的掌握程度，只要能熟练展开完全平方式，通过系数对比即可快速解题，是对因式分解相关基础公式的常规考查。
【难度系数】
0.9

4.在多项式①$x^2 + 2xy - y^2$，②$-x^2 - y^2 + 2xy$，③$x^2 + xy + y^2$，④$4x^2 + 1 + 4x$中，能用完全平方公式进行因式分解的有________（填序号）。

解：根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的特征，逐个判断：
1. 对于①$x^2 + 2xy - y^2$：两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式因式分解。
2. 对于②$-x^2 - y^2 + 2xy$：整理得$-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解。
3. 对于③$x^2 + xy + y^2$：中间项$xy$不是$2· x· y$的形式，不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式因式分解。
4. 对于④$4x^2 + 1 + 4x$：整理得$(2x)^2 + 2·2x·1 +1^2=(2x+1)^2$，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解。
综上，答案为$\boldsymbol{②④}$。

【分析】
要解决这道题，首先需要明确完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，满足的条件是：多项式共有三项，其中两项是两个数（或整式）的平方，且这两项符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负）。接下来对照这个特征，逐个判断四个多项式是否符合即可。
【解析】
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征，逐一判断：
1. 对于①$x^2 + 2xy - y^2$：两个平方项为$x^2$和$-y^2$，符号相反，不符合完全平方公式的结构要求，不能用完全平方公式因式分解。
2. 对于②$-x^2 - y^2 + 2xy$：先提负号变形为$-(x^2-2xy+y^2)$，括号内的$x^2-2xy+y^2$符合$a^2-2ab+b^2$的形式，因此可分解为$-(x-y)^2$，可以用完全平方公式因式分解。
3. 对于③$x^2 + xy + y^2$：中间项为$xy$，不是$2· x· y$的形式，不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式因式分解。
4. 对于④$4x^2 + 1 + 4x$：整理为$(2x)^2 + 2·2x·1 +1^2$，符合$a^2+2ab+b^2$的形式，可分解为$(2x+1)^2$，可以用完全平方公式因式分解。
综上，能用完全平方公式进行因式分解的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，解题的关键是牢记完全平方公式的三项特点，尤其要注意平方项的符号是否一致、中间项是否为两个底数乘积的2倍，避免因忽略符号或系数判断错误失分。
【难度系数】
0.75

5.分解因式：$(x+1)^2 -4x =$ .

解：
原式$=x^2+2x+1-4x$
$=x^2-2x+1$
$=(x-1)^2$

【分析】
解题时先观察式子结构，第一步先利用完全平方公式将$(x+1)^2$展开，得到整式后再合并同类项，化简后观察得到的多项式符合完全平方差公式的形式，再套用公式完成因式分解即可，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【解析】
首先展开完全平方项：
原式$=x^2+2x+1-4x$
合并同类项化简：
$=x^2-2x+1$
观察到化简后的式子满足完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=1$，因此因式分解得：
$=(x-1)^2$
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项、公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题型，侧重考查对完全平方公式的灵活运用，既需要掌握整式乘法中完全平方的展开方法，也需要熟练识别可套用公式进行因式分解的多项式结构，解题时注意不要直接对原式盲目套平方差公式，需先化简再判断。
【难度系数】
0.8

6.把下列各式进行因式分解.
(1)$m^3 - 2m^2 + m$；
(2)$(x+y)^2 + 4(x+y) + 4$.

解：
(1)
$m^3 - 2m^2 + m$
$=m(m^2 - 2m + 1)$
$=m(m-1)^2$
(2)
$(x+y)^2 + 4(x+y) + 4$
$=(x+y)^2 + 2·(x+y)·2 + 2^2$
$=(x+y+2)^2$

【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：
(1) 先观察多项式$m^3 - 2m^2 + m$，发现各项都含有公因式$m$，第一步先提取公因式，再看提取后剩余的多项式$m^2-2m+1$，符合完全平方差公式的结构特征，套用公式继续分解即可；
(2) 观察式子$(x+y)^2 + 4(x+y) + 4$，可把$(x+y)$看作一个整体，原式刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，将整体代入公式即可完成分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}m^3 - 2m^2 + m&=m(m^2 - 2m + 1)\\&=m(m-1)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x+y)^2 + 4(x+y) + 4&=(x+y)^2 + 2·(x+y)·2 + 2^2\\&=(x+y+2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $m(m-1)^2$；(2) $(x+y+2)^2$
【知识点】
提公因式法；完全平方公式；整体代换
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的顺序，遇到重复出现的多项式时巧用整体思想能大幅简化运算。
【难度系数】
0.8

7.已知$m-4n=-3$，$mn=4$，求$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3$的值。

解：
先对所求代数式因式分解：
$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3$
$= -mn(m^2 - 8mn + 16n^2)$
$= -mn(m - 4n)^2$
将$m-4n=-3$，$mn=4$代入上式：
原式$= -4 × (-3)^2 = -4 × 9 = -36$

【分析】
本题已知两个代数式的值，求多项式的值，无需单独求解m、n的具体数值，可通过因式分解将所求多项式转化为含已知代数式的形式，再整体代入计算即可。解题时先观察多项式的各项特征，先提取公因式，再判断剩余部分是否符合完全平方公式的结构，完成因式分解后代入数值计算。
【解析】
先对所求代数式进行因式分解：
$-m^3n + 8m^2n^2 - 16mn^3$
第一步，提取公因式$-mn$，得：
$= -mn(m^2 - 8mn + 16n^2)$
第二步，观察括号内的多项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=m$，$b=4n$，因此：
$= -mn(m - 4n)^2$
将$m-4n=-3$，$mn=4$整体代入上式：
原式$= -4 × (-3)^2 = -4 × 9 = -36$
【答案】
$-36$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是熟练掌握因式分解“先提公因式，再用公式”的基本步骤，利用整体代入思想避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8

8.已知三角形的边$a,b,c$满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc = 0$，判断该三角形的形状，并说明理由。

解：该三角形是等边三角形，理由如下：
对已知等式变形：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc &= 0\\a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 &= 0\\(a - b)^2 + (b - c)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，
∴ 若两个非负数的和为0，则这两个数均为0，
即 $a - b = 0$，$b - c = 0$，
可得 $a = b$，$b = c$，即 $a = b = c$。
∴ 该三角形是等边三角形。

【分析】
要判断三角形的形状，需推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，包含a²、b²、c²等平方项，以及-2ab、-2bc这类乘积项，符合完全平方公式的特征，因此考虑通过拆项分组，将等式转化为几个完全平方式的和为0的形式，再利用平方的非负性得到各边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
该三角形是等边三角形，理由如下：
对已知等式变形：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc &= 0\\a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 &= 0\\(a - b)^2 + (b - c)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，
∴ 若两个非负数的和为0，则这两个数均为0，
即 $a - b = 0$，$b - c = 0$，
可得 $a = b$，$b = c$，即 $a = b = c$。
∴ 该三角形是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；等边三角形判定
【点评】
本题是因式分解在几何判断中的典型应用，解题核心是通过合理拆项将原式凑成完全平方的和，再结合非负数的性质推导三边关系，能很好地考查学生对公式的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9. 提升题 阅读下列材料：
分解因式：$(x+y)^2 + 2(x+y)+1.$
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=m$，
则原式$=m^2 +2m +1=(m+1)^2.$
再将$x+y=m$代入，得原式$=(x+y+1)^2.$
上述解题用到的是“整体思想”。“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法。
请你解答下列问题：
(1)分解因式：$1-2(x-y)+(x-y)^2=$ ；
(2)分解因式：$9(x-2)^2 -6(x-2)+1.$

解：
(1) 将$x-y$看成整体，令$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2=(m-1)^2$，
把$m=x-y$代回，得原式$=(x-y-1)^2$。
(2) 将$x-2$看成整体，令$x-2=n$，
则原式$=9n^2 -6n +1=(3n-1)^2$，
把$n=x-2$代回，得：
原式$=[3(x-2)-1]^2=(3x-7)^2$。

【分析】
这两道因式分解题均可利用整体思想结合完全平方公式求解。解题时先观察多项式的结构，判断其符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的形式，将题中重复出现的相同代数式（如$x-y$、$x-2$）视为一个整体，通过换元简化原式，套用完全平方公式分解后，再将整体代回，必要时化简得到最终结果。
【解析】
(1) 将$x-y$看成整体，令$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2=(m-1)^2$，
把$m=x-y$代回，得原式$=(x-y-1)^2$。
(2) 将$x-2$看成整体，令$x-2=n$，
则原式$=9n^2 -6n +1=(3n-1)^2$，
把$n=x-2$代回，得：
原式$=[3(x-2)-1]^2=(3x-6-1)^2=(3x-7)^2$。
【答案】
(1) $(x-y-1)^2$；(2) $(3x-7)^2$
【知识点】
整体代换思想、完全平方公式因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的方法和整体思想的应用，解题关键是准确识别完全平方公式的结构特征，灵活将重复出现的代数式作为整体代换，降低分解难度，最后代回整理时要注意运算准确，保证结果最简。
【难度系数】
0.7