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1. 二次函数的概念和一般形式
把形如$\underline{\hspace{8cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数. 其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数表达式的$\underline{\hspace{4cm}}$、$\underline{\hspace{5cm}}$和$\underline{\hspace{4cm}}$，并且称$y=ax^2+bx+c(a≠0)$为二次函数的一般形式.
把形如$\underline{\hspace{8cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数. 其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数表达式的$\underline{\hspace{4cm}}$、$\underline{\hspace{5cm}}$和$\underline{\hspace{4cm}}$，并且称$y=ax^2+bx+c(a≠0)$为二次函数的一般形式.
答案
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础概念，解题思路如下：首先回忆二次函数的定义：二次函数是自变量最高次数为2的整式函数，其一般形式有固定的书写规范，且要求二次项系数a不为0；接下来对应各项的名称：式子中最高次项为$ax^2$，其系数a就叫做二次项系数；一次项为$bx$，其系数b叫做一次项系数；不含自变量的项c为常数项，对应名称即可完成填空。
【解析】
根据二次函数的概念和一般形式的规定：
形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数；其中$a$是二次项$ax^2$的系数，即二次项系数；$b$是一次项$bx$的系数，即一次项系数；$c$是不含自变量的常数，即常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
二次函数的概念；二次函数的一般形式
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对二次函数基础定义的掌握，是后续学习二次函数图象、性质及应用的前提，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基础概念，解题思路如下：首先回忆二次函数的定义：二次函数是自变量最高次数为2的整式函数，其一般形式有固定的书写规范，且要求二次项系数a不为0；接下来对应各项的名称：式子中最高次项为$ax^2$，其系数a就叫做二次项系数；一次项为$bx$，其系数b叫做一次项系数；不含自变量的项c为常数项，对应名称即可完成填空。
【解析】
根据二次函数的概念和一般形式的规定：
形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数；其中$a$是二次项$ax^2$的系数，即二次项系数；$b$是一次项$bx$的系数，即一次项系数；$c$是不含自变量的常数，即常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
二次函数的概念；二次函数的一般形式
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对二次函数基础定义的掌握，是后续学习二次函数图象、性质及应用的前提，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数的自变量的取值范围
二次函数的自变量的取值范围是
二次函数的自变量的取值范围是
所有实数
，但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制。答案
2. 所有实数
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的定义，二次函数的一般表达式是整式形式，对于整式类函数，在没有额外限制的前提下，自变量可以取任意实数，只有结合实际场景时才需要根据实际意义限制自变量的范围，据此即可得出答案。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a≠0$，$a、b、c$为常数），该表达式属于整式，整式中自变量没有特殊取值限制，因此纯数学范畴内二次函数的自变量取值范围是所有实数，仅在实际问题中需要结合实际含义对自变量范围进行限制。
【答案】
所有实数
【知识点】
二次函数的定义；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对二次函数基本性质的掌握，解题时要注意区分纯代数问题和实际应用问题中自变量取值范围的不同要求。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数的定义，二次函数的一般表达式是整式形式，对于整式类函数，在没有额外限制的前提下，自变量可以取任意实数，只有结合实际场景时才需要根据实际意义限制自变量的范围，据此即可得出答案。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a≠0$，$a、b、c$为常数），该表达式属于整式，整式中自变量没有特殊取值限制，因此纯数学范畴内二次函数的自变量取值范围是所有实数，仅在实际问题中需要结合实际含义对自变量范围进行限制。
【答案】
所有实数
【知识点】
二次函数的定义；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对二次函数基本性质的掌握，解题时要注意区分纯代数问题和实际应用问题中自变量取值范围的不同要求。
【难度系数】
0.9
【例1】下列函数中，哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$；
(2)$y=ax^2 +bx +c(a,b,c均为常数)$；
(3)$y=(x+2)^2 -x^2$.
(1)$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$；
(2)$y=ax^2 +bx +c(a,b,c均为常数)$；
(3)$y=(x+2)^2 -x^2$.
答案
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$ 是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为-3；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$ 不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$ 是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数.
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$ 不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$ 是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数.
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，判断时遵循两个步骤：①先将函数化简整理为整式的一般形式；②验证最高次项是否为二次项，且二次项系数不为0。按照这个思路逐个分析三个函数：
1. 第(1)题已经是一般形式，直接验证二次项系数是否不为0即可；
2. 第(2)题含参数$a$，需要分类讨论$a$是否为0的情况；
3. 第(3)题不是最简形式，先利用完全平方公式展开化简，再判断是否存在二次项。
【解析】
首先明确二次函数的判定条件：函数为整式，最高次项次数为2，且二次项系数不为0。
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是整式形式，最高次项为$\frac{1}{3}x^2$，次数为2，且二次项系数$\frac{1}{3}≠0$，符合二次函数的定义，因此是二次函数，对应二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为-3。
(2) 对于$y=ax^2 +bx +c$（$a,b,c$均为常数）：
当$a=0$时，函数最高次项次数小于2，不符合二次函数定义，不属于二次函数；
当$a≠0$时，符合二次函数定义，属于二次函数，此时二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
(3) 先对$y=(x+2)^2 -x^2$进行化简：
$y=(x^2+4x+4)-x^2=4x+4$，化简后最高次项为一次项，无二次项，因此不属于二次函数。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$ 是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为-3；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$ 不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$ 是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，解题的关键是准确把握二次函数的核心特征：一是函数必须是整式，二是最高次项为二次且二次项系数不为0。解题时不能仅看原式的表面形式，需要先将函数整理为最简形式再判断，对于含参数的表达式要注意分类讨论参数的取值，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，判断时遵循两个步骤：①先将函数化简整理为整式的一般形式；②验证最高次项是否为二次项，且二次项系数不为0。按照这个思路逐个分析三个函数：
1. 第(1)题已经是一般形式，直接验证二次项系数是否不为0即可；
2. 第(2)题含参数$a$，需要分类讨论$a$是否为0的情况；
3. 第(3)题不是最简形式，先利用完全平方公式展开化简，再判断是否存在二次项。
【解析】
首先明确二次函数的判定条件：函数为整式，最高次项次数为2，且二次项系数不为0。
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是整式形式，最高次项为$\frac{1}{3}x^2$，次数为2，且二次项系数$\frac{1}{3}≠0$，符合二次函数的定义，因此是二次函数，对应二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为-3。
(2) 对于$y=ax^2 +bx +c$（$a,b,c$均为常数）：
当$a=0$时，函数最高次项次数小于2，不符合二次函数定义，不属于二次函数；
当$a≠0$时，符合二次函数定义，属于二次函数，此时二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
(3) 先对$y=(x+2)^2 -x^2$进行化简：
$y=(x^2+4x+4)-x^2=4x+4$，化简后最高次项为一次项，无二次项，因此不属于二次函数。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$ 是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为-3；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$ 不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$ 是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，解题的关键是准确把握二次函数的核心特征：一是函数必须是整式，二是最高次项为二次且二次项系数不为0。解题时不能仅看原式的表面形式，需要先将函数整理为最简形式再判断，对于含参数的表达式要注意分类讨论参数的取值，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
【变式】(2025合肥期中)已知函数$y=(m-1)x^{m^2+1}$是二次函数，则$m=$
-2
。答案
m=-2
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义，二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们先根据次数要求列方程求解m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{m^2+m}$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为2：$m^2 + m = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$
首先解方程$m^2 + m = 2$，整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m + 2)(m - 1) = 0$，解得$m = -2$或$m = 1$。
再结合$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，因此舍去$m = 1$。
综上可得$m = -2$。
【答案】
m=-2
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时最容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解错误，牢记定义的两个限制条件，求解后验证即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义，二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们先根据次数要求列方程求解m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{m^2+m}$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的次数为2：$m^2 + m = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$
首先解方程$m^2 + m = 2$，整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m + 2)(m - 1) = 0$，解得$m = -2$或$m = 1$。
再结合$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，因此舍去$m = 1$。
综上可得$m = -2$。
【答案】
m=-2
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时最容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解错误，牢记定义的两个限制条件，求解后验证即可避免错误。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，矩形绿地的长、宽各增加x m，写出扩充后的绿地面积y关于x的函数表达式.
答案
解:
∵矩形绿地原来的长和宽分别为 30 m,20 m,矩形绿地的长、宽各增加 x m，
∴增加后的矩形绿地的长和宽分别为 (30+x) m，(20+x) m.
∴$y=(30+x)(20+x)=x^2+50x+600$.
∵矩形绿地原来的长和宽分别为 30 m,20 m,矩形绿地的长、宽各增加 x m，
∴增加后的矩形绿地的长和宽分别为 (30+x) m，(20+x) m.
∴$y=(30+x)(20+x)=x^2+50x+600$.
解析
【分析】
要得到扩充后绿地面积y关于x的函数表达式，可按以下思路推导：首先观察图形确定原绿地的长为30m、宽为20m，长和宽各增加x m后，先表示出扩充后绿地的长和宽；再结合矩形面积=长×宽的公式，将扩充后的长和宽代入公式得到面积表达式；最后将表达式展开化简即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：已知原矩形绿地的长为30 m，宽为20 m，长和宽各增加x m后，
扩充后的绿地长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+20x+30x+600\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+50x+600$
【知识点】
矩形面积计算；列函数表达式；多项式乘法
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，解题核心是准确梳理出变化前后图形的边长关系，再对应几何面积公式列式，同时需要熟练掌握整式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.85
要得到扩充后绿地面积y关于x的函数表达式，可按以下思路推导：首先观察图形确定原绿地的长为30m、宽为20m，长和宽各增加x m后，先表示出扩充后绿地的长和宽；再结合矩形面积=长×宽的公式，将扩充后的长和宽代入公式得到面积表达式；最后将表达式展开化简即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：已知原矩形绿地的长为30 m，宽为20 m，长和宽各增加x m后，
扩充后的绿地长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+20x+30x+600\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+50x+600$
【知识点】
矩形面积计算；列函数表达式；多项式乘法
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，解题核心是准确梳理出变化前后图形的边长关系，再对应几何面积公式列式，同时需要熟练掌握整式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.85
【变式】(2026新乡期中)将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个.已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则y关于x的函数表达式是（
A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
A
）A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆销售利润的核心计算公式：总利润=单个商品的利润×销售总量。解题时先分别计算出售价上涨x元后的单个利润、对应的销售量，再代入公式即可得到函数表达式。第一步先算单个利润：原本售价40元、进价30元，原本单个利润为40-30=10元，售价上涨x元后，单个利润会同步增加x元；第二步算销售量：原本销量200个，每涨1元销量减少6个，上涨x元后销量总共减少6x个，用原销量减去减少的量就是当前销量；最后把两个量相乘就是总利润y。
【解析】
首先计算售价上涨x元后的单个利润：
单个商品原本的利润为 $ 40 - 30 = 10 $ 元，售价上涨x元后，单个利润为 $ (10 + x) $ 元。
再计算售价上涨x元后的销售量：
每上涨1元销量减少6个，上涨x元后销量减少 $ 6x $ 个，因此当前销售量为 $ (200 - 6x) $ 个。
根据总利润公式 $ y = \mathrm{单个利润} × \mathrm{销售量} $，代入得：
$ y = (x + 10)(200 - 6x) $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题关键是明确总利润的计算逻辑，准确梳理价格变动对单个利润、销售量的影响，避免混淆售价、成本、利润三者的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆销售利润的核心计算公式：总利润=单个商品的利润×销售总量。解题时先分别计算出售价上涨x元后的单个利润、对应的销售量，再代入公式即可得到函数表达式。第一步先算单个利润：原本售价40元、进价30元，原本单个利润为40-30=10元，售价上涨x元后，单个利润会同步增加x元；第二步算销售量：原本销量200个，每涨1元销量减少6个，上涨x元后销量总共减少6x个，用原销量减去减少的量就是当前销量；最后把两个量相乘就是总利润y。
【解析】
首先计算售价上涨x元后的单个利润：
单个商品原本的利润为 $ 40 - 30 = 10 $ 元，售价上涨x元后，单个利润为 $ (10 + x) $ 元。
再计算售价上涨x元后的销售量：
每上涨1元销量减少6个，上涨x元后销量减少 $ 6x $ 个，因此当前销售量为 $ (200 - 6x) $ 个。
根据总利润公式 $ y = \mathrm{单个利润} × \mathrm{销售量} $，代入得：
$ y = (x + 10)(200 - 6x) $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题关键是明确总利润的计算逻辑，准确梳理价格变动对单个利润、销售量的影响，避免混淆售价、成本、利润三者的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. (2026钦州期末)下列函数中，属于二次函数的是（
A.$y=x^2-\frac{2}{x}$
B.$y=2x-5$
C.$y=x^2+1$
D.$y=2(x-1)$
C
）A.$y=x^2-\frac{2}{x}$
B.$y=2x-5$
C.$y=x^2+1$
D.$y=2(x-1)$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个函数是二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2-\frac{2}{x}$中含有分式$\frac{2}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数的定义，排除；
选项B：$y=2x-5$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除；
选项C：$y=x^2+1$满足是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义；
选项D：$y=2(x-1)$展开后为$y=2x-2$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数的判定要点，注意区分二次函数与一次函数，同时要注意如果函数表达式中含有分式则一定不是二次函数。
【难度系数】
0.9
要判断哪个函数是二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2-\frac{2}{x}$中含有分式$\frac{2}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数的定义，排除；
选项B：$y=2x-5$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除；
选项C：$y=x^2+1$满足是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义；
选项D：$y=2(x-1)$展开后为$y=2x-2$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数的判定要点，注意区分二次函数与一次函数，同时要注意如果函数表达式中含有分式则一定不是二次函数。
【难度系数】
0.9
