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平面直角坐标系中的位似图形
(1)在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的图形与原图形是以
(2)在平面直角坐标系中,把一个多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的
(1)在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的图形与原图形是以
原点
为位似中心的位似图形,位似比为k
.(2)在平面直角坐标系中,把一个多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k倍(k＞0),则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的
k
倍的图形.答案
(1) 原点，k (2) k
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换规律，解题时可以结合位似图形的定义逐步推导：
1. 解答第(1)问时，先回忆位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心。已知原多边形有一个顶点为原点，将所有顶点坐标乘k后，原点坐标保持不变，其余对应点的连线均经过原点，因此位似中心为原点；新图形与原图形对应边的比值为k，即位似比为k。
2. 解答第(2)问时，结合坐标变化对图形大小的影响分析：图形所有顶点坐标均扩大或缩小为原来的k倍时，图形的各边长度也对应变为原来的k倍，因此图形整体被放大或缩小为原来的k倍。
【解析】
(1) 当位似中心在原点时，位似图形对应顶点的坐标比等于位似比。本题中原多边形存在顶点在原点，所有顶点坐标乘k后，对应点连线均经过原点，因此位似中心为原点，新图形与原图形的位似比为k。
(2) 多边形顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍时，多边形的各边长也对应缩放为原来的k倍，因此原多边形被放大或缩小为原来的k倍。
【答案】
(1) 原点，k (2) k
【知识点】
坐标系中位似变换、位似中心、位似比
【点评】
本题是位似变换的基础概念题，主要考查位似中心在原点时的坐标变化规律，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查平面直角坐标系中的位似变换规律，解题时可以结合位似图形的定义逐步推导：
1. 解答第(1)问时，先回忆位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心。已知原多边形有一个顶点为原点，将所有顶点坐标乘k后，原点坐标保持不变，其余对应点的连线均经过原点，因此位似中心为原点；新图形与原图形对应边的比值为k，即位似比为k。
2. 解答第(2)问时，结合坐标变化对图形大小的影响分析：图形所有顶点坐标均扩大或缩小为原来的k倍时，图形的各边长度也对应变为原来的k倍，因此图形整体被放大或缩小为原来的k倍。
【解析】
(1) 当位似中心在原点时，位似图形对应顶点的坐标比等于位似比。本题中原多边形存在顶点在原点，所有顶点坐标乘k后，对应点连线均经过原点，因此位似中心为原点，新图形与原图形的位似比为k。
(2) 多边形顶点坐标扩大或缩小为原来的k倍时，多边形的各边长也对应缩放为原来的k倍，因此原多边形被放大或缩小为原来的k倍。
【答案】
(1) 原点，k (2) k
【知识点】
坐标系中位似变换、位似中心、位似比
【点评】
本题是位似变换的基础概念题，主要考查位似中心在原点时的坐标变化规律，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例】(2025 扬州月考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(-1,2),C(2,3).请以原点O为位似中心,在x轴上方画出△ABC的位似图形△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为点A₁,B₁,C₁),使得△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1.
答案
解:如图,△A₁B₁C₁即为所求.
解析
【分析】
要画出以原点为位似中心、相似比为2:1且在x轴上方的△ABC的位似图形，首先回忆原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘以k。本题要求图形在x轴上方，因此k取正值2，先算出A、B、C三点对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
【解析】
1. 确定位似比：已知△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1，且图形在x轴上方，因此位似比k=2；
2. 计算对应点坐标：根据原点为位似中心的坐标变化规律，各对应点坐标为原坐标乘2：
A₁的坐标：$(1×2, 4×2)=(2,8)$
B₁的坐标：$(-1×2, 2×2)=(-2,4)$
C₁的坐标：$(2×2, 3×2)=(4,6)$
3. 在平面直角坐标系中分别描出点A₁(2,8)、B₁(-2,4)、C₁(4,6)，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变化-位似，描点作图
【点评】
本题是基础的位似作图题，解题的核心是掌握以原点为位似中心时，位似变换的坐标变化规律，注意结合题目给出的图形位置要求确定位似比的符号，避免得到x轴下方的错误图形。
【难度系数】
0.8
要画出以原点为位似中心、相似比为2:1且在x轴上方的△ABC的位似图形，首先回忆原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘以k。本题要求图形在x轴上方，因此k取正值2，先算出A、B、C三点对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
【解析】
1. 确定位似比：已知△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1，且图形在x轴上方，因此位似比k=2；
2. 计算对应点坐标：根据原点为位似中心的坐标变化规律，各对应点坐标为原坐标乘2：
A₁的坐标：$(1×2, 4×2)=(2,8)$
B₁的坐标：$(-1×2, 2×2)=(-2,4)$
C₁的坐标：$(2×2, 3×2)=(4,6)$
3. 在平面直角坐标系中分别描出点A₁(2,8)、B₁(-2,4)、C₁(4,6)，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
如图,△A₁B₁C₁即为所求.
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变化-位似，描点作图
【点评】
本题是基础的位似作图题，解题的核心是掌握以原点为位似中心时，位似变换的坐标变化规律，注意结合题目给出的图形位置要求确定位似比的符号，避免得到x轴下方的错误图形。
【难度系数】
0.8
1.如图,在平面直角坐标系的第一象限内,正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似,且位似比为$\frac{2}{3}$.若点B的坐标为(2,2),则点E的坐标为 (
A.(1,1)
B.(3,3)
C.(4,4)
D.(5,5)
B
)A.(1,1)
B.(3,3)
C.(4,4)
D.(5,5)
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系下位似图形的坐标计算，解题思路如下：首先明确两个正方形的位似中心是原点O，且均位于第一象限，因此对应点的坐标符号相同；其次明确位似比是正方形OABC与正方形ODEF的比为$\frac{2}{3}$，即OABC上点的坐标与对应ODEF上点的坐标的比值为$\frac{2}{3}$；最后找到点B的对应点为E，结合位似的坐标规律即可求出E的坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，且位似比为$\frac{2}{3}$，两个图形均在第一象限
∴点B与点E是对应点，且点B的坐标与点E的坐标的比值为$\frac{2}{3}$
已知点B坐标为$(2,2)$，设点E坐标为$(x,y)$，则：
$\frac{2}{x}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{y}=\frac{2}{3}$
解得$x=3$，$y=3$
即点E的坐标为$(3,3)$
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确位似中心的位置、位似比的前后对应关系，熟练掌握原点为位似中心时对应点的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系下位似图形的坐标计算，解题思路如下：首先明确两个正方形的位似中心是原点O，且均位于第一象限，因此对应点的坐标符号相同；其次明确位似比是正方形OABC与正方形ODEF的比为$\frac{2}{3}$，即OABC上点的坐标与对应ODEF上点的坐标的比值为$\frac{2}{3}$；最后找到点B的对应点为E，结合位似的坐标规律即可求出E的坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，且位似比为$\frac{2}{3}$，两个图形均在第一象限
∴点B与点E是对应点，且点B的坐标与点E的坐标的比值为$\frac{2}{3}$
已知点B坐标为$(2,2)$，设点E坐标为$(x,y)$，则：
$\frac{2}{x}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{y}=\frac{2}{3}$
解得$x=3$，$y=3$
即点E的坐标为$(3,3)$
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确位似中心的位置、位似比的前后对应关系，熟练掌握原点为位似中心时对应点的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. (2025绥化月考)在平面直角坐标系中，已知点$A(6,2),B(6,-2)$，以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，把$△ ABO$缩小，则点$A$的对应点$A'$的坐标是（
A.$(12,4)$
B.$(-3,-1)$
C.$(3,1)$或$(-3,-1)$
D.$(-12,4)$或$(12,4)$
C
）A.$(12,4)$
B.$(-3,-1)$
C.$(3,1)$或$(-3,-1)$
D.$(-12,4)$或$(12,4)$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若相似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k。本题中是将△ABO按相似比2:1缩小，即新图形与原图形的相似比$k=\frac{1}{2}$，且位似图形可位于位似中心（原点）的同侧或异侧，因此对应点坐标有两种可能，分别计算两种情况下点A的对应点坐标即可。
【解析】
已知以原点O为位似中心，相似比为2:1把△ABO缩小，即位似变换的相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据位似坐标变换规律，位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k：
当位似图形与原图形位于原点同侧时，点$A(6,2)$的对应点$A'$的坐标为：
$(6×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(3,1)$
当位似图形与原图形位于原点异侧时，点$A(6,2)$的对应点$A'$的坐标为：
$(6×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-3,-1)$
因此点A的对应点$A'$的坐标是$(3,1)$或$(-3,-1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系位似变换，相似比
【点评】
本题核心考查原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，易错点是容易忽略位似图形可分布在原点两侧的情况，导致漏解。解题时需牢记位似变换对应坐标存在正负两种可能。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若相似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k。本题中是将△ABO按相似比2:1缩小，即新图形与原图形的相似比$k=\frac{1}{2}$，且位似图形可位于位似中心（原点）的同侧或异侧，因此对应点坐标有两种可能，分别计算两种情况下点A的对应点坐标即可。
【解析】
已知以原点O为位似中心，相似比为2:1把△ABO缩小，即位似变换的相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据位似坐标变换规律，位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k：
当位似图形与原图形位于原点同侧时，点$A(6,2)$的对应点$A'$的坐标为：
$(6×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(3,1)$
当位似图形与原图形位于原点异侧时，点$A(6,2)$的对应点$A'$的坐标为：
$(6×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-3,-1)$
因此点A的对应点$A'$的坐标是$(3,1)$或$(-3,-1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系位似变换，相似比
【点评】
本题核心考查原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，易错点是容易忽略位似图形可分布在原点两侧的情况，导致漏解。解题时需牢记位似变换对应坐标存在正负两种可能。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,$△ ABO$与$△ A'B'O'$是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为 (
A.$(-3,2)$
B.$(0,1)$
C.$(0,0)$
D.$(3,-2)$
A
)A.$(-3,2)$
B.$(0,1)$
C.$(0,0)$
D.$(3,-2)$
答案
3. A
解析
【分析】
要确定位似中心P的坐标，依据位似图形的性质：位似中心是所有对应点连线的公共交点。解题时先找到两组对应点，再求出对应点所在直线的交点，即可得到位似中心的坐标，也可直接在网格中延长对应点连线直观找到交点。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心为对应点连线的交点。
1. 先确定对应点坐标：$A(-1,1)$，$A'(1,0)$；$B(-3,0)$，$B'(-3,-2)$。
2. 求直线$AA'$的解析式：设直线$AA'$的解析式为$y=kx+b(k\ne0)$，将$A(-1,1)$、$A'(1,0)$代入得方程组：
$\begin{cases}-k+b=1 \\k+b=0 \end{cases}$
解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$，因此直线$AA'$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
3. 观察$B$、$B'$的坐标，两点横坐标均为$-3$，因此直线$BB'$为$x=-3$。
4. 求两直线交点：将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}×(-3)+\frac{1}{2}=2$，即交点坐标为$(-3,2)$，也就是位似中心$P$的坐标。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，平面直角坐标系
【点评】
本题考查位似中心的确定，解题核心是牢记位似中心是对应点连线的交点，既可以通过计算直线交点求解，也可以直接延长对应点连线在网格中快速定位，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
要确定位似中心P的坐标，依据位似图形的性质：位似中心是所有对应点连线的公共交点。解题时先找到两组对应点，再求出对应点所在直线的交点，即可得到位似中心的坐标，也可直接在网格中延长对应点连线直观找到交点。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心为对应点连线的交点。
1. 先确定对应点坐标：$A(-1,1)$，$A'(1,0)$；$B(-3,0)$，$B'(-3,-2)$。
2. 求直线$AA'$的解析式：设直线$AA'$的解析式为$y=kx+b(k\ne0)$，将$A(-1,1)$、$A'(1,0)$代入得方程组：
$\begin{cases}-k+b=1 \\k+b=0 \end{cases}$
解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$，因此直线$AA'$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
3. 观察$B$、$B'$的坐标，两点横坐标均为$-3$，因此直线$BB'$为$x=-3$。
4. 求两直线交点：将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=-\frac{1}{2}×(-3)+\frac{1}{2}=2$，即交点坐标为$(-3,2)$，也就是位似中心$P$的坐标。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，平面直角坐标系
【点评】
本题考查位似中心的确定，解题核心是牢记位似中心是对应点连线的交点，既可以通过计算直线交点求解，也可以直接延长对应点连线在网格中快速定位，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A₁B₁C₁位似,原点O是位似中心,且$\frac{AB}{A_1B_1}=3$.若A(9,3),则点A₁的坐标是（
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(27,9)
D.(9,27)
B
）A.(1,3)
B.(3,1)
C.(27,9)
D.(9,27)
答案
4. B
解析
【分析】
解决这道题首先回忆位似中心在原点时的坐标变化规律：若位似中心是原点，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。首先确定两个图形的位似比：已知$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，说明△A₁B₁C₁是△ABC缩小为原来的$\frac{1}{3}$得到的，且两个图形都在第一象限，坐标符号均为正，因此直接将点A的横、纵坐标分别乘$\frac{1}{3}$即可得到点A₁的坐标。
【解析】
解：
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，且$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，
∴△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为$\frac{1}{3}$，
又
∵两个图形都在第一象限，对应点坐标符号相同，
已知A点坐标为(9,3)，
∴点A₁的横坐标为：$9×\frac{1}{3}=3$，
点A₁的纵坐标为：$3×\frac{1}{3}=1$，
即点A₁的坐标为(3,1)。
【答案】
B
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的坐标变化规律，解题的关键是准确判断位似比的大小，结合图形所在象限确定坐标符号。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先回忆位似中心在原点时的坐标变化规律：若位似中心是原点，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。首先确定两个图形的位似比：已知$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，说明△A₁B₁C₁是△ABC缩小为原来的$\frac{1}{3}$得到的，且两个图形都在第一象限，坐标符号均为正，因此直接将点A的横、纵坐标分别乘$\frac{1}{3}$即可得到点A₁的坐标。
【解析】
解：
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，且$\frac{AB}{A_1B_1}=3$，
∴△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为$\frac{1}{3}$，
又
∵两个图形都在第一象限，对应点坐标符号相同，
已知A点坐标为(9,3)，
∴点A₁的横坐标为：$9×\frac{1}{3}=3$，
点A₁的纵坐标为：$3×\frac{1}{3}=1$，
即点A₁的坐标为(3,1)。
【答案】
B
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的坐标变化规律，解题的关键是准确判断位似比的大小，结合图形所在象限确定坐标符号。
【难度系数】
0.8
