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1.三角形的外角
三角形的一边与另一边的组成
的角叫作三角形的外角.
三角形的一边与另一边的组成
的角叫作三角形的外角.
答案
解：延长线
解析
【分析】
本题是针对三角形外角定义的基础识记题，解题核心是回忆教材中三角形外角的标准定义。首先明确三角形内角是由三角形相邻两条原生边组成的角，而外角的构成特征是：其中一条边是三角形的原生边，另一条边是三角形相邻边的延长线，因此直接对应定义空缺的内容即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角，可知空缺处应填“延长线”。
【答案】
延长线
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，重点考察对教材基础定义的记忆与掌握情况，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题是针对三角形外角定义的基础识记题，解题核心是回忆教材中三角形外角的标准定义。首先明确三角形内角是由三角形相邻两条原生边组成的角，而外角的构成特征是：其中一条边是三角形的原生边，另一条边是三角形相邻边的延长线，因此直接对应定义空缺的内容即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角，可知空缺处应填“延长线”。
【答案】
延长线
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，重点考察对教材基础定义的记忆与掌握情况，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.三角形的外角与内角的关系
(1)三角形的外角与它相邻的内角
.
(2)三角形的外角与它不相邻的
两个内角的和.
(1)三角形的外角与它相邻的内角
.
(2)三角形的外角与它不相邻的
两个内角的和.
答案
解：
(1) 互补
和为180°
(2) 等于
(1) 互补
和为180°
(2) 等于
解析
【分析】
解决本题需要结合平角的定义和三角形外角的相关性质思考：1. 第(1)问：三角形的外角由一边与另一边的延长线组成，它和相邻内角恰好构成平角，根据平角的特征就能得到二者的关系；2. 第(2)问：结合三角形内角和为180°，以及第(1)问中相邻内外角和为180°的结论，通过等量代换即可推导出外角和不相邻两个内角的关系。
【解析】
(1) 三角形的外角与它相邻的内角在同一直线上，可组成一个度数为180°的平角，因此二者互补，和为180°；
(2) 已知三角形三个内角的和为180°，结合(1)的结论可知，外角=180°-相邻内角，另外两个不相邻的内角和=180°-相邻内角，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【答案】
(1) 互补；和为180°
(2) 等于
【知识点】
平角的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角基础概念和性质的直接考查，属于基础题，熟练掌握相关性质是解决几何角度计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9
解决本题需要结合平角的定义和三角形外角的相关性质思考：1. 第(1)问：三角形的外角由一边与另一边的延长线组成，它和相邻内角恰好构成平角，根据平角的特征就能得到二者的关系；2. 第(2)问：结合三角形内角和为180°，以及第(1)问中相邻内外角和为180°的结论，通过等量代换即可推导出外角和不相邻两个内角的关系。
【解析】
(1) 三角形的外角与它相邻的内角在同一直线上，可组成一个度数为180°的平角，因此二者互补，和为180°；
(2) 已知三角形三个内角的和为180°，结合(1)的结论可知，外角=180°-相邻内角，另外两个不相邻的内角和=180°-相邻内角，因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【答案】
(1) 互补；和为180°
(2) 等于
【知识点】
平角的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角基础概念和性质的直接考查，属于基础题，熟练掌握相关性质是解决几何角度计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】图中$△ ABC$的外角是（）.
A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$
例1图
变式1图
A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$
例1图
变式1图
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的判定标准：三角形的外角需同时满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。解题时我们只需要对照这三个条件，逐一判断每个选项中的角是否符合要求即可。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，结合判定条件逐一分析：
A. ∠1：不满足“一条边为三角形的边、另一条边为三角形边的延长线”的要求，不是△ABC的外角；
B. ∠2：位于△ABC内部，属于三角形的内角，不是外角；
C. ∠3：顶点在△ABC的顶点上，一条边是△ABC的边，另一条边是△ABC相邻边的延长线，完全符合外角的定义，是△ABC的外角；
D. ∠4：顶点不在△ABC的顶点上，不符合外角的判定要求，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三角形外角定义的掌握，只要牢记外角的三个判定特征，逐一排查选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的判定标准：三角形的外角需同时满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。解题时我们只需要对照这三个条件，逐一判断每个选项中的角是否符合要求即可。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，结合判定条件逐一分析：
A. ∠1：不满足“一条边为三角形的边、另一条边为三角形边的延长线”的要求，不是△ABC的外角；
B. ∠2：位于△ABC内部，属于三角形的内角，不是外角；
C. ∠3：顶点在△ABC的顶点上，一条边是△ABC的边，另一条边是△ABC相邻边的延长线，完全符合外角的定义，是△ABC的外角；
D. ∠4：顶点不在△ABC的顶点上，不符合外角的判定要求，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三角形外角定义的掌握，只要牢记外角的三个判定特征，逐一排查选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图，下列角中是$△ ACD$的外角的是().
A.$∠ EAD$
B.$∠ BAC$
C.$∠ ACB$
D.$∠ CAE$
A.$∠ EAD$
B.$∠ BAC$
C.$∠ ACB$
D.$∠ CAE$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个角是△ACD的外角，首先需要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角，判断时需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一边是三角形的一条边；③另一边是三角形另一条边的反向延长线。解题时先确定△ACD的顶点和三条边，再逐个验证选项中的角是否符合上述三个条件即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义，我们逐一分析选项：
1. 选项A：∠EAD的顶点是A，两边为AE、AD，其中AD是△ACD的边，但AE不属于△ACD边的反向延长线，不符合外角定义，排除；
2. 选项B：∠BAC的顶点A是△ACD的顶点，一边AC是△ACD的边，另一边AB是△ACD的边AD的反向延长线（B、A、D三点共线），完全符合三角形外角的定义，符合要求；
3. 选项C：∠ACB的顶点是C，一边AC是△ACD的边，但另一边CB不是△ACD边CD的反向延长线，属于△ABC的内角，不符合要求，排除；
4. 选项D：∠CAE的顶点是A，两边为AC、AE，AE不是△ACD边AD的反向延长线，不符合外角定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形外角定义的掌握程度，解题时紧扣定义的三个判定条件结合图形逐一排查即可，注意不要混淆不同三角形的内角和外角。
【难度系数】
0.8
要判断哪个角是△ACD的外角，首先需要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角，判断时需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一边是三角形的一条边；③另一边是三角形另一条边的反向延长线。解题时先确定△ACD的顶点和三条边，再逐个验证选项中的角是否符合上述三个条件即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义，我们逐一分析选项：
1. 选项A：∠EAD的顶点是A，两边为AE、AD，其中AD是△ACD的边，但AE不属于△ACD边的反向延长线，不符合外角定义，排除；
2. 选项B：∠BAC的顶点A是△ACD的顶点，一边AC是△ACD的边，另一边AB是△ACD的边AD的反向延长线（B、A、D三点共线），完全符合三角形外角的定义，符合要求；
3. 选项C：∠ACB的顶点是C，一边AC是△ACD的边，但另一边CB不是△ACD边CD的反向延长线，属于△ABC的内角，不符合要求，排除；
4. 选项D：∠CAE的顶点是A，两边为AC、AE，AE不是△ACD边AD的反向延长线，不符合外角定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形外角定义的掌握程度，解题时紧扣定义的三个判定条件结合图形逐一排查即可，注意不要混淆不同三角形的内角和外角。
【难度系数】
0.8
【例2】如图,在$△ ABC$中,$∠ B=25°$,$∠ BAC=31°$,过点A作边BC上的高,交BC的延长线于点D,CE平分$∠ ACD$,交AD于点E.求:
(1)$∠ ACD$的度数;
(2)$∠ AEC$的度数.
(1)$∠ ACD$的度数;
(2)$∠ AEC$的度数.
答案
解：
(1) ∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质，得
∠ACD = ∠B + ∠BAC = 25° + 31° = 56°。
(2) 因为CE平分∠ACD，
所以 ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$×56° = 28°。
由题意知AD⊥BD，即∠D = 90°。
又因为∠AEC是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质，得
∠AEC = ∠D + ∠ECD = 90° + 28° = 118°。
综上，(1) ∠ACD的度数为$56°$；(2) ∠AEC的度数为$118°$。
(1) ∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质，得
∠ACD = ∠B + ∠BAC = 25° + 31° = 56°。
(2) 因为CE平分∠ACD，
所以 ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$×56° = 28°。
由题意知AD⊥BD，即∠D = 90°。
又因为∠AEC是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质，得
∠AEC = ∠D + ∠ECD = 90° + 28° = 118°。
综上，(1) ∠ACD的度数为$56°$；(2) ∠AEC的度数为$118°$。
解析
【分析】
(1) 求∠ACD的度数时，首先观察到∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
(2) 求∠AEC的度数时，先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACD算出∠ECD的度数；再结合AD是BC边上的高可得∠D=90°，此时观察到∠AEC是△CDE的外角，再次利用三角形外角的性质，将∠D与∠ECD的度数相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC = 25° + 31° = 56°$
(2)
∵CE平分$∠ ACD$
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 56° = 28°$
∵AD是BC边上的高，即$AD ⊥ BD$
∴$∠ D = 90°$
又
∵$∠ AEC$是△CDE的外角
∴$∠ AEC = ∠ D + ∠ ECD = 90° + 28° = 118°$
【答案】
(1) $\boxed{56°}$；(2) $\boxed{118°}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形高的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是准确识别图形中的外角，结合角平分线、高的性质，灵活运用三角形外角的性质完成角度计算，能够帮助学生巩固三角形相关角度计算的基本方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠ACD的度数时，首先观察到∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
(2) 求∠AEC的度数时，先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACD算出∠ECD的度数；再结合AD是BC边上的高可得∠D=90°，此时观察到∠AEC是△CDE的外角，再次利用三角形外角的性质，将∠D与∠ECD的度数相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ACD = ∠ B + ∠ BAC = 25° + 31° = 56°$
(2)
∵CE平分$∠ ACD$
∴$∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 56° = 28°$
∵AD是BC边上的高，即$AD ⊥ BD$
∴$∠ D = 90°$
又
∵$∠ AEC$是△CDE的外角
∴$∠ AEC = ∠ D + ∠ ECD = 90° + 28° = 118°$
【答案】
(1) $\boxed{56°}$；(2) $\boxed{118°}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形高的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是准确识别图形中的外角，结合角平分线、高的性质，灵活运用三角形外角的性质完成角度计算，能够帮助学生巩固三角形相关角度计算的基本方法。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且$∠ B=50°$，$∠ E=30°$，CE交BA的延长线于点E，则$∠ BAC$的度数是（）.
A.$60°$
B.$90°$
C.$110°$
D.$130°$
A.$60°$
B.$90°$
C.$110°$
D.$130°$
答案
C
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，我们可以利用三角形外角的性质和角平分线的定义逐步推导：首先观察到∠ECD是△BCE的外角，可先结合已知的∠B和∠E求出∠ECD的度数；再根据CE是∠ACD的平分线，得到∠ACE的度数；最后∠BAC是△ACE的外角，结合∠E和∠ACE的度数即可求出∠BAC。
【解析】
解：
∵∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$
已知$∠ B=50°$，$∠ E=30°$，代入得：
$∠ ECD = 50° + 30° = 80°$
∵CE平分$∠ ACD$，
∴$∠ ACE = ∠ ECD = 80°$
又
∵$∠ BAC$是△ACE的外角，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE = 30° + 80° = 110°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形外角性质与角平分线定义的基础综合题，解题关键是准确识别图形中的外角关系，将已知角和未知角建立联系。
【难度系数】
0.75
要计算∠BAC的度数，我们可以利用三角形外角的性质和角平分线的定义逐步推导：首先观察到∠ECD是△BCE的外角，可先结合已知的∠B和∠E求出∠ECD的度数；再根据CE是∠ACD的平分线，得到∠ACE的度数；最后∠BAC是△ACE的外角，结合∠E和∠ACE的度数即可求出∠BAC。
【解析】
解：
∵∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$
已知$∠ B=50°$，$∠ E=30°$，代入得：
$∠ ECD = 50° + 30° = 80°$
∵CE平分$∠ ACD$，
∴$∠ ACE = ∠ ECD = 80°$
又
∵$∠ BAC$是△ACE的外角，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE = 30° + 80° = 110°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形外角性质与角平分线定义的基础综合题，解题关键是准确识别图形中的外角关系，将已知角和未知角建立联系。
【难度系数】
0.75
1. 下列关于三角形外角的描述中,正确的是().
A.三角形的外角大于三角形的任意一个内角
B.三角形的外角中最多有两个锐角
C.钝角三角形的外角和大于$360°$
D.若三角形有一个外角为锐角,则这个三角形一定是钝角三角形
A.三角形的外角大于三角形的任意一个内角
B.三角形的外角中最多有两个锐角
C.钝角三角形的外角和大于$360°$
D.若三角形有一个外角为锐角,则这个三角形一定是钝角三角形
答案
D
解析
【分析】
解决本题需要结合三角形外角的性质、外角和定理以及三角形按角分类的知识，逐个分析每个选项的正误：首先回忆三角形外角的核心性质：一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，与相邻内角互补；任意三角形的外角和恒为360°；再结合三角形内角的取值特点推导外角的取值情况，即可判断所有选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：三角形的外角仅大于与它不相邻的任意一个内角，和外角相邻的内角与外角互补，例如钝角的外角是锐角，小于该钝角，因此A错误。
B选项：三角形的内角和为180°，因此内角中最多只能有1个钝角，而钝角对应的外角是锐角，可知三角形的外角中最多有1个锐角，因此B错误。
C选项：任意三角形的外角和都是固定的360°，和三角形的形状无关，因此C错误。
D选项：若三角形有一个外角为锐角，则与该外角相邻的内角为$180° - \mathrm{锐角}$，结果大于$90°$，是钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；三角形外角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，需要准确掌握三角形外角相关性质的前提条件，尤其要注意“外角大于不相邻内角”的限制，不能混淆相邻和不相邻的情况，同时牢记外角和恒为360°的固定结论。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合三角形外角的性质、外角和定理以及三角形按角分类的知识，逐个分析每个选项的正误：首先回忆三角形外角的核心性质：一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，与相邻内角互补；任意三角形的外角和恒为360°；再结合三角形内角的取值特点推导外角的取值情况，即可判断所有选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：三角形的外角仅大于与它不相邻的任意一个内角，和外角相邻的内角与外角互补，例如钝角的外角是锐角，小于该钝角，因此A错误。
B选项：三角形的内角和为180°，因此内角中最多只能有1个钝角，而钝角对应的外角是锐角，可知三角形的外角中最多有1个锐角，因此B错误。
C选项：任意三角形的外角和都是固定的360°，和三角形的形状无关，因此C错误。
D选项：若三角形有一个外角为锐角，则与该外角相邻的内角为$180° - \mathrm{锐角}$，结果大于$90°$，是钝角，因此这个三角形一定是钝角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；三角形外角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，需要准确掌握三角形外角相关性质的前提条件，尤其要注意“外角大于不相邻内角”的限制，不能混淆相邻和不相邻的情况，同时牢记外角和恒为360°的固定结论。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,点D在CB的延长线上,$∠ A = 50°$, $∠ ABD = 110°$, 则$∠ C$的度数为().
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
解题时可从两个思路入手：思路1：观察图形可知∠ABD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知外角∠ABD和其中一个不相邻内角∠A的度数，直接作差即可求出∠C。思路2：先根据平角的定义求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°，减去已知的∠A和∠ABC的度数，也能得到∠C的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD = ∠A + ∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
已知∠A=50°，∠ABD=110°，
∴∠C = ∠ABD - ∠A = 110° - 50° = 60°。
方法二：利用三角形内角和定理求解
∵点D在CB的延长线上，
∴∠ABD + ∠ABC = 180°（平角的定义），
∴∠ABC = 180° - 110° = 70°，
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°（三角形内角和为180°），
∴∠C = 180° - 50° - 70° = 60°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，两种解题思路都对应三角形的基础性质，熟练掌握相关定理即可快速得出结果，也可通过两种方法互相验证答案的正确性。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个思路入手：思路1：观察图形可知∠ABD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知外角∠ABD和其中一个不相邻内角∠A的度数，直接作差即可求出∠C。思路2：先根据平角的定义求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°，减去已知的∠A和∠ABC的度数，也能得到∠C的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD = ∠A + ∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
已知∠A=50°，∠ABD=110°，
∴∠C = ∠ABD - ∠A = 110° - 50° = 60°。
方法二：利用三角形内角和定理求解
∵点D在CB的延长线上，
∴∠ABD + ∠ABC = 180°（平角的定义），
∴∠ABC = 180° - 110° = 70°，
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°（三角形内角和为180°），
∴∠C = 180° - 50° - 70° = 60°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，两种解题思路都对应三角形的基础性质，熟练掌握相关定理即可快速得出结果，也可通过两种方法互相验证答案的正确性。
【难度系数】
0.8
