9. 在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ B=30°$，点$D$在边$AB$上，连接$CD$.若$△ ACD$为直角三角形，则$∠ BCD$的度数为________.

解：
在△ABC中，
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 30° = 100°。
分两种情况讨论：
① 当∠ADC = 90°时，
∵ ∠A = 50°，
∴ ∠ACD = 90° - 50° = 40°，
∴ ∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 100° - 40° = 60°。
② 当∠ACD = 90°时，
∴ ∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 100° - 90° = 10°。
综上，∠BCD的度数为$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{10°}$。

【分析】
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数；题目仅说明△ACD为直角三角形，未明确哪个内角是直角，因此需要分类讨论：已知∠A=50°，不可能为直角，所以仅需考虑两种情况：①∠ADC=90°，②∠ACD=90°，分别计算每种情况下∠ACD的度数，再用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 30° = 100°$
分两种情况讨论：
① 当$∠ ADC=90°$时，在$Rt△ ACD$中，直角三角形两锐角互余：
$∠ ACD = 90° - ∠ A = 90° - 50° = 40°$
因此$∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 100° - 40° = 60°$
② 当$∠ ACD=90°$时：
$∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 100° - 90° = 10°$
综上，$∠ BCD$的度数为$60°$或$10°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{10°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的易错题，解题核心是当直角三角形的直角未明确指定时，要结合已知条件排除不可能的情况，分类讨论所有符合要求的直角情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

10. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $∠ B=62°$,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,将$△ ADE$沿$DE$折叠得到$△ FDE$,且满足$EF// AB$,则$∠ 1=$.

$\boldsymbol{76°}$

【分析】
解题时先从直角三角形的性质入手，先求出∠A的度数；再结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，得到∠AED=∠FED；接着利用EF平行AB的平行线性质，得到∠A与∠AEF互补，求出∠AEF的度数；最后结合角的和差关系就能求出∠1的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=62°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A=90°-∠ B=90°-62°=28°$
由折叠的性质可知$△ FDE≌△ ADE$，因此$∠ AED=∠ FED$。
$\because EF// AB$，根据两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ A+∠ AEF=180°$
$\therefore ∠ AEF=180°-∠ A=180°-28°=152°$
观察图形可知$∠ 1=∠ AED$，且$∠ AEF=∠ AED+∠ FED=2∠ 1$，因此：
$∠ 1=152°÷2=76°$
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，需要熟练掌握直角三角形、折叠和平行线的相关性质，通过角度之间的转化关系求解，解题时要注意挖掘折叠前后对应角相等的隐含条件。
【难度系数】
0.6

11. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上.
(1) 如图(1)，$∠ ADE = ∠ B$，求证：$△ ADE$是直角三角形；
(2) 如图(2)，连接$BD$，$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=40°$，求$∠ ADB$的度数.

证明：(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\because ∠ ADE = ∠ B$，
$\therefore ∠ A + ∠ ADE = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 180° - (∠ A + ∠ ADE) = 90°$，
$\therefore △ ADE$是直角三角形。
(2) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ ABC = 90° - ∠ A = 50°$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 25°$，
在$△ ABD$中，
$∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 40° - 25° = 115°$。

【分析】
（1）要证明△ADE是直角三角形，只需证明其有一个内角为90°。首先由Rt△ABC中∠C=90°，可得∠A与∠B互余，结合已知∠ADE=∠B，通过等量代换可推出∠A与∠ADE互余，再根据三角形内角和为180°即可得到∠AED=90°，完成证明。
（2）要求∠ADB的度数，可先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，最后在△ABD中利用三角形内角和定理即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
(1) 证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\because ∠ ADE = ∠ B$，
$\therefore ∠ A + ∠ ADE = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 180° - (∠ A + ∠ ADE) = 90°$，
$\therefore △ ADE$是直角三角形。
(2) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ ABC = 90° - ∠ A = 50°$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 25°$，
在$△ ABD$中，
$∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 40° - 25° = 115°$。
【答案】
(1) 已证△ADE是直角三角形；
(2) $\boldsymbol{∠ADB=115°}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础题型，主要考察三角形相关基础性质的应用，解题时需准确找到已知条件和待求量之间的关联，合理运用性质进行等量代换和计算，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

12.(几何直观、应用意识)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在$△ ABC$中,如果$∠ A=80°,∠ B=40°$,那么$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”,$△ ABC$为“友爱三角形”.
(1)如图(1),$△ ABC$是“友爱三角形”,且$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”($∠ A＞∠ B$),$∠ ACB=90°$.
①$∠ A=$,$∠ B=$.
②若$CD$是$△ ABC$的边$AB$上的高,则$△ ACD,△ BCD$都是“友爱三角形”吗?为什么?
(2)如图(2),在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°,∠ A=66°$,$D$是边$AB$上一点(不与点$A,B$重合),连接$CD$,若$△ ACD$是“友爱三角形”,写出$∠ ACD$的度数.

$\boldsymbol{60°}$，$\boldsymbol{30°}$。
② $△ ACD$和$△ BCD$都是“友爱三角形”，理由如下：
∵ CD是$△ ABC$的边AB上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°。
在$△ ACD$中，∠A=60°，
∴ ∠ACD = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A，∠ACD与∠A互为“友爱角”，
∴ $△ ACD$是“友爱三角形”。
在$△ BCD$中，∠B=30°，
∴ ∠BCD = 180° - 90° - 30° = 60°，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$∠BCD，∠B与∠BCD互为“友爱角”，
∴ $△ BCD$是“友爱三角形”。
(2) 在$△ ABC$中，
∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 66° - 70° = 44°。
设∠ACD = $x$，则在$△ ACD$中，∠ADC = 180° - 66° - $x$ = 114° - $x$，且0° ＜ $x$ ＜ 70°。
根据“友爱三角形”定义分类讨论：
1. 若∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A，则$x$ = $\frac{1}{2}$×66° = 33°，符合取值范围；
2. 若∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ADC，则$x$ = $\frac{1}{2}$(114° - $x$)，解得$x$=38°，符合取值范围；
其余情况解得的$x$均大于70°或为负数，不符合题意，舍去。
∴ ∠ACD的度数为$\boldsymbol{33°}$或$\boldsymbol{38°}$。

【分析】
本题为新定义类几何计算题，解题思路可分步骤梳理：
1. 解决第(1)问①时，先根据“友爱角”定义明确∠A=2∠B，再结合直角三角形两锐角和为90°，即可算出两个角的度数；
2. 解决第(1)问②时，先利用高的性质得到两个直角，再分别计算两个小三角形的未知内角度数，验证是否存在一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$，即可判断是否为“友爱三角形”；
3. 解决第(2)问时，先算出△ABC中∠B的度数，设∠ACD为$x$，表示出△ACD三个内角的度数，再根据“友爱三角形”定义分类讨论，结合$x$的取值范围（$0°＜x＜70°$）舍去不符合题意的解，即可得到结果。
【解析】
(1) ①
∵∠A与∠B互为“友爱角”且$∠ A＞∠ B$，
∴$∠ A=2∠ B$。
又
∵$∠ ACB=90°$，三角形内角和为$180°$，
∴$∠ A+∠ B=90°$，代入$∠ A=2∠ B$得$3∠ B=90°$，解得$∠ B=30°$，$∠ A=60°$。
② $△ ACD$和$△ BCD$都是“友爱三角形”，理由如下：
∵CD是$△ ABC$边AB上的高，
∴$∠ ADC=∠ BDC=90°$。
在$△ ACD$中，$∠ A=60°$，
∴$∠ ACD=180°-90°-60°=30°$，可得$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$，即∠ACD与∠A互为“友爱角”，因此$△ ACD$是“友爱三角形”。
在$△ BCD$中，$∠ B=30°$，
∴$∠ BCD=180°-90°-30°=60°$，可得$∠ B=\frac{1}{2}∠ BCD$，即∠B与∠BCD互为“友爱角”，因此$△ BCD$是“友爱三角形”。
(2) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-66°-70°=44°$。
设$∠ ACD=x$，由点D不与A、B重合可知$0°＜x＜70°$，在$△ ACD$中，$∠ ADC=180°-66°-x=114°-x$。
根据“友爱三角形”定义分类讨论：
1. 若$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$，则$x=\frac{1}{2}×66°=33°$，符合$0°＜x＜70°$的取值要求；
2. 若$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ADC$，则$x=\frac{1}{2}(114°-x)$，解方程得$3x=114°$，$x=38°$，符合取值要求；
其余情况解得的$x$均小于$0°$或大于$70°$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{60°}$，$\boldsymbol{30°}$；②$△ ACD$和$△ BCD$都是“友爱三角形”，理由见解析；(2)$\boldsymbol{33°}$或$\boldsymbol{38°}$
【知识点】
三角形内角和定理，新定义应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的实际应用，重点要求学生准确理解新定义的规则，分类讨论时需注意结合角的实际取值范围排除无效解，对逻辑推理能力和几何分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.65