3. 如图，$AB// CD$，$BC$与$AD$相交于点$M$，$N$是射线$CD$上的一点.若$∠ B=64°$，$∠ MDN=136°$，则$∠ AMB=$.

$\boldsymbol{72°}$

【分析】
首先观察已知条件，AB平行于CD，根据平行线性质可得到内错角相等的关系；其次∠MDN是△CDM的外角，结合三角形外角的性质可求出∠CMD的度数；最后∠AMB和∠CMD是对顶角，利用对顶角相等的性质即可求出∠AMB的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ C=∠ B=64°$（两直线平行，内错角相等）
$\because ∠ MDN$是$△ CDM$的外角
$\therefore ∠ MDN=∠ C+∠ CMD$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）
$\therefore ∠ CMD=∠ MDN-∠ C=136°-64°=72°$
又$\because ∠ AMB$与$∠ CMD$是对顶角
$\therefore ∠ AMB=∠ CMD=72°$（对顶角相等）
【答案】
$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握平行线、三角形外角、对顶角的相关性质，理清角与角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 将含$30°$角和$45°$角的两直角三角尺按如图的方式叠放,则$∠ 1$的度数为.

$\boldsymbol{105°}$

【分析】
首先要熟悉常用直角三角尺的固有角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的两个锐角分别为30°和60°。观察图形可知，∠1与叠放后形成的小三角形的一个内角为对顶角，我们可以先通过三角形内角和定理求出这个内角的度数，再结合对顶角相等得到∠1的度数；也可以直接利用三角形外角的性质，将∠1转化为两个不相邻内角的和快速计算。
【解析】
方法1：利用三角形内角和计算
叠放后形成的小三角形中，两个不重叠的内角分别为45°、30°，根据三角形内角和为180°，可得该三角形第三个角的度数为：
$180° - 45° - 30° = 105°$
∠1与该角是对顶角，根据对顶角相等，可得$∠ 1=105°$。
方法2：利用三角形外角性质计算
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。∠1是对应三角形的外角，不相邻的两个内角分别为45°和60°（60°为含30°角三角尺的另一个锐角），因此：
$∠ 1=45° + 60° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
1. 三角板角度特征
2. 三角形内角和定理
3. 对顶角性质
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，重点考查对三角板固有角度的识记和三角形角度相关性质的应用，解题核心是准确梳理图形中角的位置关系，结合对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,AN是$∠ BAC$的平分线,$∠ B=50°,∠ ANC=80°$.求$∠ C$的度数.

解：
∵ ∠ANC是△ABN的外角，
∴ ∠ANC = ∠B + ∠BAN，
∴ ∠BAN = ∠ANC - ∠B = 80° - 50° = 30°。
∵ AN是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAC = 2∠BAN = 2×30° = 60°。
在△ABC中，
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 50° - 60° = 70°。

【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，观察∠ANC的位置，它是△ABN的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠ANC和∠B的度数，就能算出∠BAN的度数；第二步，AN是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义，∠BAC是∠BAN的2倍，由此可求出∠BAC的度数；第三步，在△ABC中，利用三角形内角和为180°，减去已知的∠B和求出的∠BAC的度数，即可得到∠C的度数。
【解析】
∵ ∠ANC是△ABN的外角，
∴ ∠ANC = ∠B + ∠BAN，
∴ ∠BAN = ∠ANC - ∠B = 80° - 50° = 30°。
∵ AN是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAC = 2∠BAN = 2×30° = 60°。
在△ABC中，
∠C = 180° - ∠B - ∠BAC = 180° - 50° - 60° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，难度较低，核心是将外角性质、角平分线性质和三角形内角和定理结合使用，解题的突破口是先利用外角关系求出∠BAN的度数，再逐步推导得到所求角的度数。
【难度系数】
0.7

1. 如图，∠1等于().

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

D

【分析】
解题时可从两种思路切入：思路1：观察到130°是三角形的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这个外角对应的不相邻内角为60°和∠1，直接用外角度数减去60°即可求出∠1。思路2：先利用平角为180°，计算出三角形右下角的内角度数，再结合三角形内角和为180°，用内角和减去已知的两个内角度数，即可得到∠1的度数。
【解析】
方法一（利用外角性质求解）：
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
图中130°为三角形的外角，与它不相邻的两个内角是60°和∠1，因此可得：
$∠ 1 + 60° = 130°$
计算得$∠ 1 = 130° - 60° = 70°$
方法二（利用内角和求解）：
130°角和三角形右下角的内角组成平角，因此该内角的度数为：
$180° - 130° = 50°$
根据三角形内角和为180°，已知两个内角分别为60°和50°，因此：
$∠ 1 = 180° - 60° - 50° = 70°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，两种解题方法均对应三角形的核心性质，只要熟练掌握相关定理，准确判断图形中角的位置关系，即可快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图(1)是一盏路灯的示意图，将其抽象为如图(2)所示的几何图形，$∠ MAC = 50°$，$∠ ACB=20°$，则$∠ CBA$的度数为().


A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$50°$

C

【分析】
首先观察图形，可知∠MAC是△ABC的外角，我们可以利用三角形外角的性质解题：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知外角∠MAC和其中一个不相邻的内角∠ACB，直接作差就能求出另一个不相邻的内角∠CBA的度数。也可以先求∠BAC的度数，再用三角形内角和定理计算∠CBA，两种方法都可行。
【解析】
方法一：利用三角形外角的性质求解
∵∠MAC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠MAC = ∠CBA + ∠ACB
已知∠MAC=50°，∠ACB=20°，代入得：
∠CBA = ∠MAC - ∠ACB = 50° - 20° = 30°
方法二：利用三角形内角和定理求解
∵∠MAC与∠BAC是邻补角，
∴∠BAC = 180° - ∠MAC = 180° - 50° = 130°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠CBA = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 130° - 20° = 30°
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，既可以用外角性质快速求解，也可以用内角和定理计算，核心是熟练掌握三角形相关的角度计算定理，仔细观察图形找准角的位置关系即可得分。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$∠ 1=∠ 2=150°$,则$∠ 3$等于().


A.$30°$
B.$150°$
C.$120°$
D.$60°$

D

【分析】
首先观察图形中角的位置关系：∠1和△ABC的内角∠BAC互为邻补角，∠2和△ABC的内角∠ABC互为邻补角，我们可以先利用邻补角和为180°的性质，求出∠BAC和∠ABC的度数；再结合∠3是△ABC的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可计算出∠3的度数，也可通过三角形内角和先求∠ACB，再利用邻补角关系求∠3。
【解析】
解：
∵ ∠1与∠BAC互为邻补角，∠1=150°
∴ ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 150° = 30°
同理，
∵ ∠2与∠ABC互为邻补角，∠2=150°
∴ ∠ABC = 180° - ∠2 = 180° - 150° = 30°
又
∵ ∠3是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠3 = ∠BAC + ∠ABC = 30° + 30° = 60°
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是正确识别图形中角的位置关系，灵活运用邻补角和三角形外角的相关性质进行计算，避免因错认角的关系导致计算错误。
【难度系数】
0.8

4. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ A = x°$, $∠ B = (2x + 10)°$, 与$∠ ACB$相邻的外角度数为$(x + 40)°$, 则$x$的值等于().

A.15
B.20
C.30
D.40

A

【分析】
解题时首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。本题中与∠ACB相邻的外角，对应的不相邻内角就是∠A和∠B，我们可以根据这个性质列出关于x的一元一次方程，再解方程即可求出x的值。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
与∠ACB相邻的外角$= ∠ A + ∠ B$
将已知角度代入得：
$x + 40 = x + (2x + 10)$
解方程：
$x + 40 = 3x + 10$
移项得：$3x - x = 40 - 10$
$2x = 30$
解得：$x = 15$
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的两个不相邻内角，结合方程思想即可快速求解，熟练掌握基础性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8

5.如图,把图中∠1,∠2,∠3按由小到大的顺序排列为.

解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∵ ∠2是△ABC的外角，
∴ ∠2 ＞ ∠1。
∵ ∠3是△BDE的外角，
∴ ∠3 ＞ ∠2。
∴ 从小到大的排列顺序为∠1 ＜ ∠2 ＜ ∠3。

【分析】
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可利用三角形外角的性质求解，解题思路如下：首先回忆三角形外角的核心性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。第一步先判断∠2所属的外角对应三角形，观察图形可知∠2是△ABC的外角，它不相邻的内角包含∠1，因此可得到∠2和∠1的大小关系；第二步判断∠3所属的外角对应三角形，可知∠3是△BDE的外角，它不相邻的内角包含∠2，因此可得到∠3和∠2的大小关系；最后结合两步的大小关系，即可得出三个角从小到大的排列顺序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∵ ∠2是△ABC的外角，
∴ ∠2 ＞ ∠1。
∵ ∠3是△BDE的外角，
∴ ∠3 ＞ ∠2。
∴ 从小到大的排列顺序为∠1 ＜ ∠2 ＜ ∠3。
【答案】
∠1＜∠2＜∠3
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别每个外角对应的不相邻内角，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图,已知D是△ABC的边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A=35°,∠ACD=83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D=42°,求∠AFE的度数.

解：
(1) 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B，
∴ ∠B = ∠ACD - ∠A = 83° - 35° = 48°。
(2) 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∵ ∠AFE是△BDF的外角，
∴ ∠AFE = ∠B + ∠D，
代入∠B=48°，∠D=42°，得
∠AFE = 48° + 42° = 90°。
综上，∠B的度数为48°，∠AFE的度数为90°。

【分析】
(1) 求解∠B时，首先观察图形特征，发现∠ACD是△ABC的外角，结合已知的∠A和∠ACD的度数，利用三角形外角等于与它不相邻两个内角和的性质，通过作差即可求出∠B的度数。(2) 求解∠AFE时，可判断∠AFE是△BDF的外角，再次利用三角形外角的性质，将第一问求得的∠B和已知∠D的度数相加，即可得到∠AFE的度数。
【解析】
(1) 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B，
代入∠A=35°，∠ACD=83°，得：
∠B = ∠ACD - ∠A = 83° - 35° = 48°。
(2) 同理根据三角形外角的性质，
∵ ∠AFE是△BDF的外角，
∴ ∠AFE = ∠B + ∠D，
代入∠B=48°，∠D=42°，得：
∠AFE = 48° + 42° = 90°。
【答案】
(1)∠B的度数为48°；(2)∠AFE的度数为90°
【知识点】
三角形外角的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确识别图形中外角对应的不相邻内角，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8