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(1)两点之间，最短.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.
(3)在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而得出最短路径.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.
(3)在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而得出最短路径.
答案
解：
(1) 线段
(2) 垂线段
(1) 线段
(2) 垂线段
解析
【分析】
本题考查最短路径相关的基础几何性质，属于识记类考点：(1)需要回忆两点之间不同连线的长度对比，折线、曲线的长度都大于连接两点的线段长度，对应的基本事实就是两点之间线段最短；(2)需要回忆点到直线的线段的性质，直线外一点到直线上各点的连线中，和直线垂直的线段长度是最小的，即垂线段最短，这两个性质是解决所有复杂最短路径问题的基础依据。
【解析】
(1) 根据几何基本事实：两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”，因此本空填线段。
(2) 根据垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此本空填垂线段。
【答案】
(1) 线段；(2) 垂线段
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段的性质；最短路径基础
【点评】
本题是最短路径相关的基础题，考查的两个性质都是几何中关于最短距离的核心基础结论，是后续解决轴对称、平移类最短路径问题的重要依据，需要熟练识记并灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查最短路径相关的基础几何性质，属于识记类考点：(1)需要回忆两点之间不同连线的长度对比，折线、曲线的长度都大于连接两点的线段长度，对应的基本事实就是两点之间线段最短；(2)需要回忆点到直线的线段的性质，直线外一点到直线上各点的连线中，和直线垂直的线段长度是最小的，即垂线段最短，这两个性质是解决所有复杂最短路径问题的基础依据。
【解析】
(1) 根据几何基本事实：两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”，因此本空填线段。
(2) 根据垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此本空填垂线段。
【答案】
(1) 线段；(2) 垂线段
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段的性质；最短路径基础
【点评】
本题是最短路径相关的基础题，考查的两个性质都是几何中关于最短距离的核心基础结论，是后续解决轴对称、平移类最短路径问题的重要依据，需要熟练识记并灵活运用。
【难度系数】
0.9
【例1】如图,村庄A,B在一条笔直的公路l的同侧,现要在公路上修建一个供应站,使供应站到两村庄之间的距离之和最短,应将供应站修建在哪里？请依据轴对称的性质作出符合要求的点,并写出证明过程.
答案
解：
作法：
(1) 作点A关于直线l的对称点A'；
(2) 连接A'B，交直线l于点P。
点P即为所求的供应站的位置。
证明：
在直线l上任取异于点P的点P'，连接AP、AP'、A'P'、BP'。
∵ 点A与点A'关于直线l对称，
∴ 由轴对称的性质可得：AP = A'P，AP' = A'P'。
∴ AP + BP = A'P + BP = A'B。
在△A'P'B中，由三角形的三边关系可知：A'P' + BP' ＞ A'B，
∴ AP' + BP' ＞ AP + BP。
即AP + BP是公路上的点到两村庄A、B的距离之和的最小值，供应站修建在点P处满足要求。
作法：
(1) 作点A关于直线l的对称点A'；
(2) 连接A'B，交直线l于点P。
点P即为所求的供应站的位置。
证明：
在直线l上任取异于点P的点P'，连接AP、AP'、A'P'、BP'。
∵ 点A与点A'关于直线l对称，
∴ 由轴对称的性质可得：AP = A'P，AP' = A'P'。
∴ AP + BP = A'P + BP = A'B。
在△A'P'B中，由三角形的三边关系可知：A'P' + BP' ＞ A'B，
∴ AP' + BP' ＞ AP + BP。
即AP + BP是公路上的点到两村庄A、B的距离之和的最小值，供应站修建在点P处满足要求。
解析
【分析】
本题要求在直线l上找一点，使该点到同侧的A、B两点的距离之和最短，解题思路可分为两步：首先利用转化思想，由于A、B在直线l同侧，直接连接A、B无法与l相交得到符合要求的点，因此借助轴对称的性质，将其中一个点对称到直线l的另一侧，把“同侧两点到直线上一点的距离和最短”问题转化为“异侧两点连线最短”问题，利用两点之间线段最短找到交点；再通过任取直线上其他点，结合三角形三边关系证明该点对应的距离和最小即可。
【解析】
作法：
(1) 作点A关于直线l的对称点$A'$；
(2) 连接$A'B$，交直线$l$于点$P$，点$P$即为所求的供应站位置。
证明：
在直线$l$上任取异于点$P$的点$P'$，连接$AP$、$AP'$、$A'P'$、$BP'$。
∵ 点$A$与点$A'$关于直线$l$对称，
∴ 由轴对称的性质可得：$AP = A'P$，$AP' = A'P'$。
∴ $AP + BP = A'P + BP = A'B$。
在$△ A'P'B$中，由三角形的三边关系可知：$A'P' + BP' ＞ A'B$，
∴ $AP' + BP' ＞ AP + BP$。
即$AP + BP$是公路$l$上的点到两村庄$A$、$B$的距离之和的最小值，供应站修建在点$P$处满足要求。
【答案】
作法：(1)作点A关于直线l的对称点$A'$；(2)连接$A'B$，交直线l于点P。点P即为所求的供应站的位置，证明过程如上。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径类问题的经典“将军饮马”模型，解题核心是通过轴对称实现线段的等价转化，将同侧的路径和问题转化为异侧两点连线最短的问题，同时结合三角形三边关系完成严谨证明，这类转化思想在几何最值类题目中应用广泛，需熟练掌握该模型的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
本题要求在直线l上找一点，使该点到同侧的A、B两点的距离之和最短，解题思路可分为两步：首先利用转化思想，由于A、B在直线l同侧，直接连接A、B无法与l相交得到符合要求的点，因此借助轴对称的性质，将其中一个点对称到直线l的另一侧，把“同侧两点到直线上一点的距离和最短”问题转化为“异侧两点连线最短”问题，利用两点之间线段最短找到交点；再通过任取直线上其他点，结合三角形三边关系证明该点对应的距离和最小即可。
【解析】
作法：
(1) 作点A关于直线l的对称点$A'$；
(2) 连接$A'B$，交直线$l$于点$P$，点$P$即为所求的供应站位置。
证明：
在直线$l$上任取异于点$P$的点$P'$，连接$AP$、$AP'$、$A'P'$、$BP'$。
∵ 点$A$与点$A'$关于直线$l$对称，
∴ 由轴对称的性质可得：$AP = A'P$，$AP' = A'P'$。
∴ $AP + BP = A'P + BP = A'B$。
在$△ A'P'B$中，由三角形的三边关系可知：$A'P' + BP' ＞ A'B$，
∴ $AP' + BP' ＞ AP + BP$。
即$AP + BP$是公路$l$上的点到两村庄$A$、$B$的距离之和的最小值，供应站修建在点$P$处满足要求。
【答案】
作法：(1)作点A关于直线l的对称点$A'$；(2)连接$A'B$，交直线l于点P。点P即为所求的供应站的位置，证明过程如上。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径类问题的经典“将军饮马”模型，解题核心是通过轴对称实现线段的等价转化，将同侧的路径和问题转化为异侧两点连线最短的问题，同时结合三角形三边关系完成严谨证明，这类转化思想在几何最值类题目中应用广泛，需熟练掌握该模型的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
1. 小王准备在某街道旁建一个送奶站C,向居民区A,B提供牛奶,要使A,B两居民区到送奶站的距离之和最小,则送奶站C的位置应该在().
答案
解：根据轴对称的性质与两点之间线段最短的原理，要在街道所在直线上找一点C，使位于直线同侧的A、B两点到点C的距离之和最小，正确作法为：作其中一个点关于街道所在直线的对称点，连接该对称点与另一个居民区的点，所得线段与街道的交点即为所求的点C，此时距离之和等于两点连线的线段长，为最小值。
对比四个选项的作图，符合上述要求的是选项C。
答：送奶站C的位置应该在选项C对应的位置。
对比四个选项的作图，符合上述要求的是选项C。
答：送奶站C的位置应该在选项C对应的位置。
解析
【分析】
这是典型的直线同侧两点到直线上一点距离和最小的最短路径问题，思考步骤如下：①先明确核心原理：我们学过“两点之间线段最短”，但A、B在街道所在直线的同侧，直接连接AB的线段不经过街道，无法直接应用该结论；②想到用轴对称做转化：作其中一个点关于街道的对称点，根据轴对称的性质，直线上任意点到原点点和对称点的距离相等，就可以把“AC+BC”的长度转化为“对称点到C的距离+BC”的长度；③此时要让两段距离和最小，只需让对称点、C、另一个居民区三点共线，此时距离和等于两点连线的线段长，为最小值，对应连线与街道的交点就是所求的C点，最后对比选项找到符合该作图的选项即可。
【解析】
我们将街道看作一条直线，A、B是直线同侧的两个点，解题步骤如下：
1. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，对街道上任意一点C，都有AC = A'C，因此AC + BC = A'C + BC；
2. 根据“两点之间线段最短”的结论，当A'、C、B三点共线时，A'C + BC的和最小，最小值等于线段A'B的长度，因此连接A'B，与街道的交点就是所求的送奶站C的位置；
3. 逐一对比选项：
选项A：仅过B作街道的垂线，不符合上述作图要求，错误；
选项B：作AB的垂直平分线，得到的是到A、B距离相等的点，无法保证AC+BC最小，错误；
选项C：作图符合上述方法，正确；
选项D：取的是到A、B在街道上垂足距离相等的点，不符合最短路径要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查“同侧两点到直线上一点距离和最小”的解决思路，只要掌握利用轴对称将同侧点转化为异侧点、再结合两点之间线段最短的转化逻辑，就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的直线同侧两点到直线上一点距离和最小的最短路径问题，思考步骤如下：①先明确核心原理：我们学过“两点之间线段最短”，但A、B在街道所在直线的同侧，直接连接AB的线段不经过街道，无法直接应用该结论；②想到用轴对称做转化：作其中一个点关于街道的对称点，根据轴对称的性质，直线上任意点到原点点和对称点的距离相等，就可以把“AC+BC”的长度转化为“对称点到C的距离+BC”的长度；③此时要让两段距离和最小，只需让对称点、C、另一个居民区三点共线，此时距离和等于两点连线的线段长，为最小值，对应连线与街道的交点就是所求的C点，最后对比选项找到符合该作图的选项即可。
【解析】
我们将街道看作一条直线，A、B是直线同侧的两个点，解题步骤如下：
1. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，对街道上任意一点C，都有AC = A'C，因此AC + BC = A'C + BC；
2. 根据“两点之间线段最短”的结论，当A'、C、B三点共线时，A'C + BC的和最小，最小值等于线段A'B的长度，因此连接A'B，与街道的交点就是所求的送奶站C的位置；
3. 逐一对比选项：
选项A：仅过B作街道的垂线，不符合上述作图要求，错误；
选项B：作AB的垂直平分线，得到的是到A、B距离相等的点，无法保证AC+BC最小，错误；
选项C：作图符合上述方法，正确；
选项D：取的是到A、B在街道上垂足距离相等的点，不符合最短路径要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查“同侧两点到直线上一点距离和最小”的解决思路，只要掌握利用轴对称将同侧点转化为异侧点、再结合两点之间线段最短的转化逻辑，就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是30,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,若点D为边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
要计算△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中CD是定值（D为BC中点，BC=6，故CD=3），因此只需让DM+CM的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，因此点M在EF上时CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。结合“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为线段AD的长。再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC的高，通过三角形面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到最小周长。
【解析】
1. 计算定值CD：
∵点D为BC的中点，BC=6，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = 3$。
2. 线段转化：
连接AD、AM，
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴$AM = CM$，
∴$CM + DM = AM + DM$。
3. 求AM+DM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM$取得最小值，最小值为AD的长度。
4. 计算AD的长度：
∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
已知△ABC的面积为30，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，
代入数值：$30 = \frac{1}{2} × 6 × AD$，
解得$AD=10$。
5. 计算最小周长：
△CDM周长的最小值 = $CD + AD = 3 + 10 = 13$。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质对线段进行等量转化，将两条动线段的和的最小值转化为两点之间的线段长度，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式计算相关线段长度，需要熟练掌握线段转化的思路来解决同类最短路径问题。
【难度系数】
0.7
要计算△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中CD是定值（D为BC中点，BC=6，故CD=3），因此只需让DM+CM的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，因此点M在EF上时CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。结合“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为线段AD的长。再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC的高，通过三角形面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到最小周长。
【解析】
1. 计算定值CD：
∵点D为BC的中点，BC=6，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = 3$。
2. 线段转化：
连接AD、AM，
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴$AM = CM$，
∴$CM + DM = AM + DM$。
3. 求AM+DM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM$取得最小值，最小值为AD的长度。
4. 计算AD的长度：
∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
已知△ABC的面积为30，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，
代入数值：$30 = \frac{1}{2} × 6 × AD$，
解得$AD=10$。
5. 计算最小周长：
△CDM周长的最小值 = $CD + AD = 3 + 10 = 13$。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质对线段进行等量转化，将两条动线段的和的最小值转化为两点之间的线段长度，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式计算相关线段长度，需要熟练掌握线段转化的思路来解决同类最短路径问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(1,1),B(4,2),C(3,4)$，在 $x$ 轴上找一点 $P$，使 $PA+PB$ 的值最小，则点 $P$ 的坐标为 。
答案
解：
作点A关于x轴的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-1)$。
连接$A'B$，与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入得：
$\begin{cases}k + b = -1 \\4k + b = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = 1 \\b = -2\end{cases}$
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$。
令$y=0$，得$x-2=0$，解得$x=2$。
则点P的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
作点A关于x轴的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-1)$。
连接$A'B$，与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入得：
$\begin{cases}k + b = -1 \\4k + b = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = 1 \\b = -2\end{cases}$
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$。
令$y=0$，得$x-2=0$，解得$x=2$。
则点P的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
解析
【分析】
这是典型的直线上求点使两点距离和最小的最短路径问题，A、B均在x轴同侧，根据轴对称性质，先作点A关于x轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，此时$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时，$PA'+PB$最小，即$PA+PB$最小。接下来只需求出直线$A'B$的解析式，再求其与x轴的交点坐标，就是点P的坐标。
【解析】
解：作点A关于x轴的对称点$A'$，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(1,-1)$。
连接$A'B$，$A'B$与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = -1 \\4k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=3$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$k+b=-1$，得$1+b=-1$，解得$b=-2$。
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$。
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得$x-2=0$，解得$x=2$。
则点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的常规考法，解题核心是利用轴对称将同侧点的线段和转化为异侧点的线段和，结合两点之间线段最短确定点的位置，再通过一次函数知识求交点，方法固定，掌握通用思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是典型的直线上求点使两点距离和最小的最短路径问题，A、B均在x轴同侧，根据轴对称性质，先作点A关于x轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，此时$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时，$PA'+PB$最小，即$PA+PB$最小。接下来只需求出直线$A'B$的解析式，再求其与x轴的交点坐标，就是点P的坐标。
【解析】
解：作点A关于x轴的对称点$A'$，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，可得$A'$的坐标为$(1,-1)$。
连接$A'B$，$A'B$与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = -1 \\4k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=3$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$k+b=-1$，得$1+b=-1$，解得$b=-2$。
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$。
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得$x-2=0$，解得$x=2$。
则点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的常规考法，解题核心是利用轴对称将同侧点的线段和转化为异侧点的线段和，结合两点之间线段最短确定点的位置，再通过一次函数知识求交点，方法固定，掌握通用思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
