14. (2025 昆明西山区期中)如图，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$。
(1)若$∠ A=40°$，求$∠ DBC$的度数；
(2)若$AE=5$，$△ BCD$的周长为17，求$△ ABC$的周长。

解：
(1) ∵ $AB=AC$，$∠ A=40°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD=∠ A=40°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$。
(2) ∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，$AE=5$，
∴ $AB=2AE=10$，且$AD=BD$。
∵ $△ BCD$的周长为17，
∴ $BD+DC+BC=17$，
将$BD=AD$代入得：$AD+DC+BC=17$，即$AC+BC=17$。
∴ $△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=10+17=27$。
综上，(1) $∠ DBC=30°$；(2) $△ ABC$的周长为27。

【分析】
(1)解题思路：首先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合已知∠A的度数，利用等腰三角形等边对等角及三角形内角和可算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
(2)解题思路：首先根据线段垂直平分线平分线段的性质，由AE=5得AB的长度；再结合垂直平分线的性质AD=BD，将△BCD的周长中的BD替换为AD，可推出AC+BC的值，最后将AB、AC、BC的长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
(1)
∵ $AB=AC$，$∠ A=40°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD=∠ A=40°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$。
(2)
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，$AE=5$，
∴ $AB=2AE=10$，且$AD=BD$。
∵ $△ BCD$的周长为17，
∴ $BD+DC+BC=17$，
将$BD=AD$代入得：$AD+DC+BC=17$，即$AC+BC=17$。
∴ $△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=10+17=27$。
【答案】
(1) $∠ DBC=30°$；(2) $△ ABC$的周长为27。
【知识点】
1.等腰三角形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础题，核心考查等腰三角形与线段垂直平分线性质的综合运用，解题关键是通过垂直平分线的性质完成角度和线段的等量代换，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.75

15. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD$是中线，$P$是直线$BC$上一点.
(1) 若 $CP = CD$，求证：$△ DBP$ 是等腰三角形；
(2) 在图(1)中建立以$△ ABC$的边$BC$的中点为原点，$BC$所在直线为$x$轴，边$BC$上的高所在直线为$y$轴的平面直角坐标系，如图(2)，已知等边三角形$ABC$的边长为2，$AO=\sqrt{3}$，在$x$轴上是否存在除点$P$以外的点$Q$，使$△ BDQ$是等腰三角形？如果存在，请求出点$Q$的坐标；如果不存在，请说明理由.

(1) 证明：
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB = 60°$，
∵ $BD$是$AC$边上的中线，由等边三角形三线合一性质，$BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 30°$，
∵ $CP = CD$，
∴ $∠ CPD = ∠ CDP$，
又∵ $∠ ACB$是$△ CDP$的外角，
∴ $∠ ACB = ∠ CPD + ∠ CDP = 2∠ CPD = 60°$，
∴ $∠ CPD = 30°$，
∴ $∠ DBC = ∠ CPD$，
∴ $DB = DP$，
∴ $△ DBP$是等腰三角形。
---
(2) 解：
存在符合条件的点$Q$。
由题意得各点坐标：$B(-1, 0)$，$C(1, 0)$，$A(0, \sqrt{3})$，
∵ $D$是$AC$中点，
∴ $D$点坐标为$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，
由距离公式计算得：
$BD = \sqrt{(-1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3}$。
设$x$轴上点$Q$的坐标为$(x, 0)$，分三种情况讨论：
1. 当$BQ = BD = \sqrt{3}$时：
由$B(-1, 0)$得$|x + 1| = \sqrt{3}$，
解得$x = \sqrt{3} - 1$或$x = -\sqrt{3} - 1$，
得到点$Q_1(\sqrt{3} - 1, 0)$，$Q_2(-\sqrt{3} - 1, 0)$，均不与点$P(2,0)$重合，符合条件。
2. 当$DB = DQ = \sqrt{3}$时：
列方程$\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3}$，
两边平方整理得$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
解得$x = 2$或$x = -1$：其中$x=2$对应点$P$，$x=-1$与点$B$重合，无法构成三角形，均不符合要求。
3. 当$QB = QD$时：
列方程$|x + 1| = \sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2}$，
两边平方整理得$3x = 0$，解得$x=0$，
得到点$Q_3(0, 0)$，不与点$P$重合，符合条件。
综上，符合条件的点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3} - 1, 0)}$、$\boldsymbol{(0, 0)}$、$\boldsymbol{(\sqrt{3} - 1, 0)}$。

【分析】
(1) 要证明△DBP是等腰三角形，核心是证明有两条边相等，本题可通过证明∠DBC=∠CPD推出DB=DP。首先利用等边三角形“三线合一”的性质，由BD是中线得BD平分∠ABC，求出∠DBC的度数；再结合CP=CD，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质求出∠CPD的度数，通过角相等即可得到边相等。
(2) 本题是平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题，由于未明确等腰三角形的腰和底，需分三种情况分类讨论：①BQ=BD；②DB=DQ；③QB=QD。先根据坐标系的设定求出各已知点的坐标，计算出BD的长度，设Q点坐标为(x,0)，分别根据三种情况的等量关系列方程求解，最后排除与点P、点B重合的无法构成三角形的点，即可得到符合条件的Q点坐标。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°，
∵ BD是AC边上的中线，由等边三角形三线合一性质，BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∵ CP = CD，
∴ ∠CPD = ∠CDP，
又
∵ ∠ACB是△CDP的外角，
∴ ∠ACB = ∠CPD + ∠CDP = 2∠CPD = 60°，
∴ ∠CPD = 30°，
∴ ∠DBC = ∠CPD，
∴ DB = DP，
∴ △DBP是等腰三角形。
(2) 解：
存在符合条件的点Q。
由题意得各点坐标：B(-1, 0)，C(1, 0)，A(0, $\sqrt{3}$)，
∵ D是AC中点，
∴ D点坐标为$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，
由两点间距离公式计算得：
$BD = \sqrt{(-1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3}$。
设x轴上点Q的坐标为$(x, 0)$，分三种情况讨论：
1. 当$BQ = BD = \sqrt{3}$时：
由B(-1, 0)得$|x + 1| = \sqrt{3}$，
解得$x = \sqrt{3} - 1$或$x = -\sqrt{3} - 1$，
得到点$Q_1(\sqrt{3} - 1, 0)$，$Q_2(-\sqrt{3} - 1, 0)$，均不与点P(2,0)重合，符合条件。
2. 当$DB = DQ = \sqrt{3}$时：
列方程$\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3}$，
两边平方整理得$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
解得$x = 2$或$x = -1$：其中$x=2$对应点P，$x=-1$与点B重合，无法构成三角形，均不符合要求。
3. 当$QB = QD$时：
列方程$|x + 1| = \sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2}$，
两边平方整理得$3x = 0$，解得$x=0$，
得到点$Q_3(0, 0)$，不与点P重合，符合条件。
【答案】
(1) △DBP是等腰三角形，得证；
(2) 存在，符合条件的点Q的坐标为$\boldsymbol{(-\sqrt{3} - 1, 0)}$、$\boldsymbol{(0, 0)}$、$\boldsymbol{(\sqrt{3} - 1, 0)}$。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 两点间距离公式
【点评】
本题第一问侧重基础几何性质的应用，难度较低；第二问是典型的等腰三角形存在性问题，核心考查分类讨论的数学思想，解题时需注意排除无法构成三角形的重合点，避免出现多解或漏解的情况，对学生的思维严谨性和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6