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6. 下列命题：
①等腰三角形是轴对称图形；
②若$ a＞1 $，且$ b＞1 $，则$ a+b＞2 $；
③直角三角形的两锐角互余.
其中逆命题正确的有().
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①等腰三角形是轴对称图形；
②若$ a＞1 $，且$ b＞1 $，则$ a+b＞2 $；
③直角三角形的两锐角互余.
其中逆命题正确的有().
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
B
解析
【分析】
解题的关键是先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换即可得到其逆命题。我们需要依次写出3个命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假：判断假命题可以通过举反例验证，判断真命题需要结合所学定理推导，最后统计正确逆命题的个数即可选出对应选项。
【解析】
首先明确逆命题的改写规则：把原命题的题设作为结论，原命题的结论作为题设，即可得到原命题的逆命题，逐个分析如下：
①原命题：等腰三角形是轴对称图形
题设：一个三角形是等腰三角形；结论：这个三角形是轴对称图形
逆命题：轴对称图形是等腰三角形
反例：矩形是轴对称图形，但不是等腰三角形，因此该逆命题是假命题。
②原命题：若$a＞1$，且$b＞1$，则$a+b＞2$
题设：$a＞1$且$b＞1$；结论：$a+b＞2$
逆命题：若$a+b＞2$，则$a＞1$且$b＞1$
反例：$a=3$，$b=0$，此时$a+b=3＞2$，但$b=0＜1$，因此该逆命题是假命题。
③原命题：直角三角形的两锐角互余
题设：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余
逆命题：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形
推导：根据三角形内角和为$180°$，若两个锐角和为$90°$，则第三个角为$180°-90°=90°$，符合直角三角形的定义，因此该逆命题是真命题。
综上，逆命题正确的仅有1个。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查逆命题的改写方法和真假判断逻辑，解题时要注意准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题用举反例的方法更简便高效。
【难度系数】
0.7
解题的关键是先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换即可得到其逆命题。我们需要依次写出3个命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假：判断假命题可以通过举反例验证，判断真命题需要结合所学定理推导，最后统计正确逆命题的个数即可选出对应选项。
【解析】
首先明确逆命题的改写规则：把原命题的题设作为结论，原命题的结论作为题设，即可得到原命题的逆命题，逐个分析如下：
①原命题：等腰三角形是轴对称图形
题设：一个三角形是等腰三角形；结论：这个三角形是轴对称图形
逆命题：轴对称图形是等腰三角形
反例：矩形是轴对称图形，但不是等腰三角形，因此该逆命题是假命题。
②原命题：若$a＞1$，且$b＞1$，则$a+b＞2$
题设：$a＞1$且$b＞1$；结论：$a+b＞2$
逆命题：若$a+b＞2$，则$a＞1$且$b＞1$
反例：$a=3$，$b=0$，此时$a+b=3＞2$，但$b=0＜1$，因此该逆命题是假命题。
③原命题：直角三角形的两锐角互余
题设：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余
逆命题：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形
推导：根据三角形内角和为$180°$，若两个锐角和为$90°$，则第三个角为$180°-90°=90°$，符合直角三角形的定义，因此该逆命题是真命题。
综上，逆命题正确的仅有1个。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查逆命题的改写方法和真假判断逻辑，解题时要注意准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题用举反例的方法更简便高效。
【难度系数】
0.7
7. 如图，DE是$△ ABC$的边AC的垂直平分线，若$BC=18\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，则$△ ABD$的周长为().
A.$16\ \mathrm{cm}$
B.$28\ \mathrm{cm}$
C.$26\ \mathrm{cm}$
D.$18\ \mathrm{cm}$
A.$16\ \mathrm{cm}$
B.$28\ \mathrm{cm}$
C.$26\ \mathrm{cm}$
D.$18\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，看到DE是AC的垂直平分线，先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD。再明确所求△ABD的周长为AB+BD+AD，将AD等量替换为CD后，周长可转化为AB+(BD+CD)，而BD+CD就是已知的BC的长度，直接代入已知数值计算即可得到结果，无需单独求解未知线段的长度。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD = DC$
△ABD的周长为三边之和，即：
$C_{△ ABD}=AB + BD + AD$
将AD替换为DC，可得：
$C_{△ ABD}=AB + BD + DC = AB + BC$
代入已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=18\ \mathrm{cm}$：
$C_{△ ABD}=10 + 18 = 28\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题目，解题关键是利用性质完成线段的等量转化，通过整体代换的方式计算周长，避免了不必要的计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，看到DE是AC的垂直平分线，先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD。再明确所求△ABD的周长为AB+BD+AD，将AD等量替换为CD后，周长可转化为AB+(BD+CD)，而BD+CD就是已知的BC的长度，直接代入已知数值计算即可得到结果，无需单独求解未知线段的长度。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD = DC$
△ABD的周长为三边之和，即：
$C_{△ ABD}=AB + BD + AD$
将AD替换为DC，可得：
$C_{△ ABD}=AB + BD + DC = AB + BC$
代入已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=18\ \mathrm{cm}$：
$C_{△ ABD}=10 + 18 = 28\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题目，解题关键是利用性质完成线段的等量转化，通过整体代换的方式计算周长，避免了不必要的计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中,①若$AB=BC=CA$,则$△ ABC$是等边三角形;②若$∠ A=∠ B=∠ C$,则$△ ABC$是等边三角形;③有两个角都是$60°$的三角形是等边三角形;④有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形. 其中结论正确的有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
本题主要考查等边三角形的判定，解题时可结合等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理，逐一验证4个结论是否成立，最终统计正确结论的个数即可选出答案。首先回忆相关判定依据：1. 三边相等的三角形是等边三角形；2. 三个内角都相等的三角形是等边三角形；3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再对应每个结论分别判断。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
① 由等边三角形的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形，已知AB=BC=CA即三角形三边相等，因此△ABC是等边三角形，结论①正确；
② 若三角形三个内角相等，结合三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为180°÷3=60°，符合等边三角形的角的特征，因此△ABC是等边三角形，结论②正确；
③ 已知三角形有两个角是60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为180°-60°-60°=60°，即三个内角都相等，因此该三角形是等边三角形，结论③正确；
④ 分两种情况讨论：若60°是等腰三角形的顶角，则两个底角的度数均为(180°-60°)÷2=60°，三个角都为60°，是等边三角形；若60°是等腰三角形的底角，则另一个底角也为60°，顶角的度数为180°-60°×2=60°，三个角都为60°，是等边三角形。因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结论④正确。
综上，4个结论都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对等边三角形判定规则的理解与记忆，熟练掌握相关定义和定理就能快速判断所有结论的正误，是对三角形分类相关基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题主要考查等边三角形的判定，解题时可结合等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理，逐一验证4个结论是否成立，最终统计正确结论的个数即可选出答案。首先回忆相关判定依据：1. 三边相等的三角形是等边三角形；2. 三个内角都相等的三角形是等边三角形；3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再对应每个结论分别判断。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
① 由等边三角形的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形，已知AB=BC=CA即三角形三边相等，因此△ABC是等边三角形，结论①正确；
② 若三角形三个内角相等，结合三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为180°÷3=60°，符合等边三角形的角的特征，因此△ABC是等边三角形，结论②正确；
③ 已知三角形有两个角是60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为180°-60°-60°=60°，即三个内角都相等，因此该三角形是等边三角形，结论③正确；
④ 分两种情况讨论：若60°是等腰三角形的顶角，则两个底角的度数均为(180°-60°)÷2=60°，三个角都为60°，是等边三角形；若60°是等腰三角形的底角，则另一个底角也为60°，顶角的度数为180°-60°×2=60°，三个角都为60°，是等边三角形。因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结论④正确。
综上，4个结论都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对等边三角形判定规则的理解与记忆，熟练掌握相关定义和定理就能快速判断所有结论的正误，是对三角形分类相关基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
二、填空题
9. 已知$A(a-2,-1)$与点$B(-1,b+2)$关于$x$轴对称，则$a+b=$。
9. 已知$A(a-2,-1)$与点$B(-1,b+2)$关于$x$轴对称，则$a+b=$。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，分别列出关于a、b的方程，解出a和b的值后，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
∵ 点$A(a-2,-1)$与点$B(-1,b+2)$关于$x$轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
① $a - 2 = -1$，解得：$a = 1$
② $b + 2 = -(-1) = 1$，解得：$b = -1$
∴ $a + b = 1 + (-1) = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，熟练记忆“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”的特征即可快速解题，是坐标类基础考点的典型考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，分别列出关于a、b的方程，解出a和b的值后，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
∵ 点$A(a-2,-1)$与点$B(-1,b+2)$关于$x$轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
① $a - 2 = -1$，解得：$a = 1$
② $b + 2 = -(-1) = 1$，解得：$b = -1$
∴ $a + b = 1 + (-1) = 0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，熟练记忆“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”的特征即可快速解题，是坐标类基础考点的典型考题。
【难度系数】
0.9
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,分别以点$B$和点$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点$D$,作直线$AD$交$BC$于点$E$.若$∠ BAC=110°$,则$∠ BAE$的度数为.
答案
$\boldsymbol{55°}$
解析
【分析】
首先根据题目中的作图方法，可判断出直线AD是线段BC的垂直平分线；再结合已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE平分∠BAC，最后代入∠BAC的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
由作图步骤可知，直线AD为线段BC的垂直平分线。
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC=110°$，代入得：
$∠ BAE = \frac{1}{2} × 110° = 55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线作图；角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的性质与基本尺规作图的识别，解题的关键是明确作图得到的直线AD是BC的垂直平分线，结合等腰三角形三线合一的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中的作图方法，可判断出直线AD是线段BC的垂直平分线；再结合已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE平分∠BAC，最后代入∠BAC的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
由作图步骤可知，直线AD为线段BC的垂直平分线。
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$。
已知$∠ BAC=110°$，代入得：
$∠ BAE = \frac{1}{2} × 110° = 55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线作图；角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的性质与基本尺规作图的识别，解题的关键是明确作图得到的直线AD是BC的垂直平分线，结合等腰三角形三线合一的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图，$∠ AOB=60°$，$OC$平分$∠ AOB$，如果射线$OA$上的点$E$满足$△ OCE$是等腰三角形，那么$∠ OEC$的度数为.
答案
解：
∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴ ∠COE = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，$∠ OCE=∠ COE=30°$，
∴ $∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，$∠ OCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC = (180° - ∠ COE)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$；
3. 当$OC=CE$时，$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，$∠ OEC$的度数为$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{30°}$。
∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴ ∠COE = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，$∠ OCE=∠ COE=30°$，
∴ $∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，$∠ OCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC = (180° - ∠ COE)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$；
3. 当$OC=CE$时，$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，$∠ OEC$的度数为$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{30°}$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用角平分线的性质求出∠COE的度数；由于△OCE是等腰三角形且未明确哪两条边为腰，因此需要分三种情况讨论：①OE=CE，②OC=OE，③OC=CE，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况下∠OEC的度数即可，注意不要遗漏任何一种等腰的情况。
【解析】
∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴ ∠COE = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，根据等边对等角得$∠ OCE=∠ COE=30°$，
由三角形内角和定理得$∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，根据等边对等角得$∠ OCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC = (180° - ∠ COE)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$；
3. 当$OC=CE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，$∠ OEC$的度数为120°或75°或30°。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题的关键是明确等腰三角形未指定腰和底边时，要分所有可能的情况逐一计算，避免漏解，同时要熟练掌握角和三角形的相关性质进行运算。
【难度系数】
0.5
解题时先从已知条件入手，首先利用角平分线的性质求出∠COE的度数；由于△OCE是等腰三角形且未明确哪两条边为腰，因此需要分三种情况讨论：①OE=CE，②OC=OE，③OC=CE，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况下∠OEC的度数即可，注意不要遗漏任何一种等腰的情况。
【解析】
∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴ ∠COE = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，根据等边对等角得$∠ OCE=∠ COE=30°$，
由三角形内角和定理得$∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，根据等边对等角得$∠ OCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC = (180° - ∠ COE)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°$；
3. 当$OC=CE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，$∠ OEC$的度数为120°或75°或30°。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题的关键是明确等腰三角形未指定腰和底边时，要分所有可能的情况逐一计算，避免漏解，同时要熟练掌握角和三角形的相关性质进行运算。
【难度系数】
0.5
12.如图,点O在直线l上,点A在直线l外,要在直线l上找出一点P,使$△ APO$为等腰三角形,这样的点P有个.
答案
解：分三种情况讨论：
1. 以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于2个点，两点均满足$OP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
2. 以点A为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于1个点（点O除外），该点满足$AP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
3. 作线段OA的垂直平分线，交直线l于1个点，该点满足$AP=OP$，可构成等腰$△ APO$。
综上，符合条件的点P共有$\boldsymbol{4}$个。
1. 以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于2个点，两点均满足$OP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
2. 以点A为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于1个点（点O除外），该点满足$AP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
3. 作线段OA的垂直平分线，交直线l于1个点，该点满足$AP=OP$，可构成等腰$△ APO$。
综上，符合条件的点P共有$\boldsymbol{4}$个。
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定条件分类讨论，避免漏解。首先明确等腰三角形中OA既可以作腰，也可以作底：①当OA为腰时，分别以O、A为等腰三角形的顶角顶点，利用“同圆半径相等”的特点画弧找交点；②当OA为底时，点P到O、A的距离相等，利用线段垂直平分线的性质找交点即可，最后统计所有符合条件的点的总数。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线$l$交于2个点，这两个点都满足$OP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
2. 以点A为圆心，OA长为半径画弧，与直线$l$交于1个点（排除点O，否则三点共线无法构成三角形），该点满足$AP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
3. 作线段OA的垂直平分线，与直线$l$交于1个点，该点满足$AP=OP$，可构成等腰$△ APO$。
将三种情况的点相加：$2+1+1=4$，因此符合条件的点P共有4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型分类讨论题，解题的关键是明确等腰三角形未指定腰和底时，要分情况讨论，同时要注意排除无法构成三角形的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定条件分类讨论，避免漏解。首先明确等腰三角形中OA既可以作腰，也可以作底：①当OA为腰时，分别以O、A为等腰三角形的顶角顶点，利用“同圆半径相等”的特点画弧找交点；②当OA为底时，点P到O、A的距离相等，利用线段垂直平分线的性质找交点即可，最后统计所有符合条件的点的总数。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线$l$交于2个点，这两个点都满足$OP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
2. 以点A为圆心，OA长为半径画弧，与直线$l$交于1个点（排除点O，否则三点共线无法构成三角形），该点满足$AP=OA$，可构成等腰$△ APO$；
3. 作线段OA的垂直平分线，与直线$l$交于1个点，该点满足$AP=OP$，可构成等腰$△ APO$。
将三种情况的点相加：$2+1+1=4$，因此符合条件的点P共有4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型分类讨论题，解题的关键是明确等腰三角形未指定腰和底时，要分情况讨论，同时要注意排除无法构成三角形的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.(2025昆明期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,并写出对称点C₁的坐标;
(2)在y轴上求作一点P,使得AP+CP的值最小,请在图中作出点P.
13.(2025昆明期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,并写出对称点C₁的坐标;
(2)在y轴上求作一点P,使得AP+CP的值最小,请在图中作出点P.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(1,-1)$、$B_1(4,-2)$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
点$C_1$的坐标为$(3,-4)$。
(2) 作点A关于y轴的对称点$A'(-1,1)$，连接$A'C$，$A'C$与y轴的交点即为所求的点P，此时$AP+CP$的值最小。
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(1,-1)$、$B_1(4,-2)$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
点$C_1$的坐标为$(3,-4)$。
(2) 作点A关于y轴的对称点$A'(-1,1)$，连接$A'C$，$A'C$与y轴的交点即为所求的点P，此时$AP+CP$的值最小。
解析
【分析】
(1) 要作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。先找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可得到对称三角形，根据C点坐标可直接写出C₁的坐标。
(2) 该问属于最短路径（将军饮马）问题，要使y轴上的点P满足AP+CP最小，可利用轴对称的性质，将其中一个点关于y轴对称，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和y轴的交点即为所求P点。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数：
点A(1,1)关于x轴的对称点为A₁(1,-1)，点B(4,2)关于x轴的对称点为B₁(4,-2)，点C(3,4)关于x轴的对称点为C₁(3,-4)；顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质，y轴上任意一点到A和A'的距离相等，即AP=A'P，因此AP+CP=A'P+CP；根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，A'P+CP取得最小值，等于线段A'C的长度，因此连接A'C，A'C与y轴的交点即为所求的点P。
【答案】
(1) 所作△A₁B₁C₁如图所示，点C₁的坐标为$\boldsymbol{(3,-4)}$；
(2) 所作点P如图所示。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 轴对称的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称作图和最短路径的实际应用，解题关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，以及将军饮马模型的解题思路，作图时需注意规范准确。
【难度系数】
0.8
(1) 要作△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。先找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可得到对称三角形，根据C点坐标可直接写出C₁的坐标。
(2) 该问属于最短路径（将军饮马）问题，要使y轴上的点P满足AP+CP最小，可利用轴对称的性质，将其中一个点关于y轴对称，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和y轴的交点即为所求P点。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数：
点A(1,1)关于x轴的对称点为A₁(1,-1)，点B(4,2)关于x轴的对称点为B₁(4,-2)，点C(3,4)关于x轴的对称点为C₁(3,-4)；顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质，y轴上任意一点到A和A'的距离相等，即AP=A'P，因此AP+CP=A'P+CP；根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，A'P+CP取得最小值，等于线段A'C的长度，因此连接A'C，A'C与y轴的交点即为所求的点P。
【答案】
(1) 所作△A₁B₁C₁如图所示，点C₁的坐标为$\boldsymbol{(3,-4)}$；
(2) 所作点P如图所示。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 轴对称的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称作图和最短路径的实际应用，解题关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，以及将军饮马模型的解题思路，作图时需注意规范准确。
【难度系数】
0.8
