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单项式与单项式相乘
一般地,单项式与单项式相乘,把它们的、分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个.
一般地,单项式与单项式相乘,把它们的、分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个.
答案
解：
系数
同底数幂
因式
系数
同底数幂
因式
解析
【分析】
本题考查单项式与单项式相乘的基本运算法则，解题时可结合单项式的组成回忆法则内容：单项式由数字系数和含字母的幂构成，相乘时第一步先处理数字部分，即把两个单项式的系数相乘；第二步处理相同字母部分，相同字母对应的是同底数幂，需将同底数幂分别相乘；对于仅在一个单项式中出现的字母，不能遗漏，要连同它的指数一起作为积的组成部分，也就是积的一个因式，结合这三个法则要点即可完成填空。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。因此三个空依次填入系数、同底数幂、因式。
【答案】
系数；同底数幂；因式
【知识点】
单项式乘单项式法则
【点评】
本题是对整式乘法基础概念的直接考查，难度较低，只要准确记忆单项式乘单项式的运算法则就能快速作答，该法则是后续整式乘法运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式与单项式相乘的基本运算法则，解题时可结合单项式的组成回忆法则内容：单项式由数字系数和含字母的幂构成，相乘时第一步先处理数字部分，即把两个单项式的系数相乘；第二步处理相同字母部分，相同字母对应的是同底数幂，需将同底数幂分别相乘；对于仅在一个单项式中出现的字母，不能遗漏，要连同它的指数一起作为积的组成部分，也就是积的一个因式，结合这三个法则要点即可完成填空。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。因此三个空依次填入系数、同底数幂、因式。
【答案】
系数；同底数幂；因式
【知识点】
单项式乘单项式法则
【点评】
本题是对整式乘法基础概念的直接考查，难度较低，只要准确记忆单项式乘单项式的运算法则就能快速作答，该法则是后续整式乘法运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】计算：
(1)$3a^2 · 2a^3$；(2)$\frac{1}{4}m · 16mn^2$；
(3)$(-3a) · 2ab$；(4)$(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b$。
(1)$3a^2 · 2a^3$；(2)$\frac{1}{4}m · 16mn^2$；
(3)$(-3a) · 2ab$；(4)$(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b$。
答案
解：
(1) $3a^2 · 2a^3 = (3×2)·(a^2· a^3) = 6a^5$
(2) $\frac{1}{4}m · 16mn^2 = (\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^2 = 4m^2n^2$
(3) $(-3a) · 2ab = (-3×2)·(a· a)· b = -6a^2b$
(4) $(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b = (-8×\frac{3}{4})·(a· a^2)·(b· b) = -6a^3b^2$
(1) $3a^2 · 2a^3 = (3×2)·(a^2· a^3) = 6a^5$
(2) $\frac{1}{4}m · 16mn^2 = (\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^2 = 4m^2n^2$
(3) $(-3a) · 2ab = (-3×2)·(a· a)· b = -6a^2b$
(4) $(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b = (-8×\frac{3}{4})·(a· a^2)·(b· b) = -6a^3b^2$
解析
【分析】
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路分为三步：①先计算系数的乘积，注意正负号的运算规则；②再对相同字母的幂进行运算，按照同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则计算；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式，每道小题都按照这个逻辑逐步计算即可。
【解析】
(1) $3a^2 · 2a^3 = (3×2)·(a^2· a^3) = 6a^5$
(2) $\frac{1}{4}m · 16mn^2 = (\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^2 = 4m^2n^2$
(3) $(-3a) · 2ab = (-3×2)·(a· a)· b = -6a^2b$
(4) $(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b = (-8×\frac{3}{4})·(a· a^2)·(b· b) = -6a^3b^2$
【答案】
(1)$6a^5$；(2)$4m^2n^2$；(3)$-6a^2b$；(4)$-6a^3b^2$
【知识点】
单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法，有理数乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，核心是掌握单项式相乘的运算顺序，计算时要注意系数的符号判断、同底数幂的指数运算，避免漏写仅在单个单项式中出现的字母。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路分为三步：①先计算系数的乘积，注意正负号的运算规则；②再对相同字母的幂进行运算，按照同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则计算；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式，每道小题都按照这个逻辑逐步计算即可。
【解析】
(1) $3a^2 · 2a^3 = (3×2)·(a^2· a^3) = 6a^5$
(2) $\frac{1}{4}m · 16mn^2 = (\frac{1}{4}×16)·(m· m)· n^2 = 4m^2n^2$
(3) $(-3a) · 2ab = (-3×2)·(a· a)· b = -6a^2b$
(4) $(-8ab) · \frac{3}{4}a^2b = (-8×\frac{3}{4})·(a· a^2)·(b· b) = -6a^3b^2$
【答案】
(1)$6a^5$；(2)$4m^2n^2$；(3)$-6a^2b$；(4)$-6a^3b^2$
【知识点】
单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法，有理数乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，核心是掌握单项式相乘的运算顺序，计算时要注意系数的符号判断、同底数幂的指数运算，避免漏写仅在单个单项式中出现的字母。
【难度系数】
0.8
【变式1】计算 $9(xy)^3(-\dfrac{1}{3}x^2y)^2 + (-x^2y)^2 + (-x^2y)^3 · xy^2$
答案
解：
原式$=9· x^3y^3 · \frac{1}{9}x^4y^2 + x^4y^2 + (-x^6y^3)· xy^2$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2} + x^4y^2 - x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^7y^5 + x^4y^2 - x^7y^5$
$=x^4y^2$
原式$=9· x^3y^3 · \frac{1}{9}x^4y^2 + x^4y^2 + (-x^6y^3)· xy^2$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2} + x^4y^2 - x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^7y^5 + x^4y^2 - x^7y^5$
$=x^4y^2$
解析
【分析】
这是整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：第一步先处理所有积的乘方运算，根据积的乘方法则，把积里的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时注意负数乘方的符号判断；第二步计算单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同它的指数作为积的因式；第三步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，最终得到化简结果。
【解析】
原式$=9· x^3y^3 · \frac{1}{9}x^4y^2 + x^4y^2 + (-x^6y^3)· xy^2$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2} + x^4y^2 - x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^7y^5 + x^4y^2 - x^7y^5$
$=x^4y^2$
【答案】
$x^4y^2$
【知识点】
积的乘方；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是严格遵循运算顺序，准确掌握幂的相关运算法则，计算时需注意负数乘方的符号以及同底数幂的指数运算规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
这是整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：第一步先处理所有积的乘方运算，根据积的乘方法则，把积里的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时注意负数乘方的符号判断；第二步计算单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同它的指数作为积的因式；第三步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，最终得到化简结果。
【解析】
原式$=9· x^3y^3 · \frac{1}{9}x^4y^2 + x^4y^2 + (-x^6y^3)· xy^2$
$=(9×\frac{1}{9})x^{3+4}y^{3+2} + x^4y^2 - x^{6+1}y^{3+2}$
$=x^7y^5 + x^4y^2 - x^7y^5$
$=x^4y^2$
【答案】
$x^4y^2$
【知识点】
积的乘方；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是严格遵循运算顺序，准确掌握幂的相关运算法则，计算时需注意负数乘方的符号以及同底数幂的指数运算规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
【例2】若一个长方形的长为$6x^2y$，宽为$3xy$，则它的面积为（）.
A.$9x^3y^2$
B.$18x^3y^2$
C.$18x^2y$
D.$6xy^2$
A.$9x^3y^2$
B.$18x^3y^2$
C.$18x^2y$
D.$6xy^2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，因此我们只需要把题目给出的长和宽代入公式，将问题转化为单项式乘单项式的运算即可。接下来回忆单项式乘单项式的运算法则：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，按照这个法则计算就能得到结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：长方形的面积=长×宽，已知长为$6x^2y$，宽为$3xy$，代入公式得：
$S=6x^2y · 3xy$
第一步：计算系数的乘积：$6 × 3 = 18$
第二步：计算同底数幂的乘积：
$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
$y · y = y^{1+1} = y^2$
第三步：将各部分结果相乘，得$S=18x^3y^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算，单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将几何面积问题转化为整式乘法运算，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，因此我们只需要把题目给出的长和宽代入公式，将问题转化为单项式乘单项式的运算即可。接下来回忆单项式乘单项式的运算法则：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，按照这个法则计算就能得到结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：长方形的面积=长×宽，已知长为$6x^2y$，宽为$3xy$，代入公式得：
$S=6x^2y · 3xy$
第一步：计算系数的乘积：$6 × 3 = 18$
第二步：计算同底数幂的乘积：
$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
$y · y = y^{1+1} = y^2$
第三步：将各部分结果相乘，得$S=18x^3y^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算，单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将几何面积问题转化为整式乘法运算，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【变式2】已知$x,y$满足$|x-3|+(y+1)^2=0$，试求式子$-2xy · 5xy^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 · 2y^2 + (2xy^2)^2$的值。
答案
解：
∵ $|x-3|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-3|+(y+1)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y+1=0$
解得 $x=3$，$y=-1$
化简原式：
$\begin{aligned}&-2xy · 5xy^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 · 2y^2 + (2xy^2)^2\\=&-10x^2y^4 + x^2y^4 + 4x^2y^4\\=&-5x^2y^4\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入$-5x^2y^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-5× 3^2 × (-1)^4\\&=-5×9×1\\&=-45\end{aligned}$
∵ $|x-3|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-3|+(y+1)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y+1=0$
解得 $x=3$，$y=-1$
化简原式：
$\begin{aligned}&-2xy · 5xy^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 · 2y^2 + (2xy^2)^2\\=&-10x^2y^4 + x^2y^4 + 4x^2y^4\\=&-5x^2y^4\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入$-5x^2y^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-5× 3^2 × (-1)^4\\&=-5×9×1\\&=-45\end{aligned}$
解析
【分析】
首先分析已知条件：绝对值和平方数均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可先求出x、y的取值；再处理待求的整式，按照单项式乘单项式法则、积的乘方法则先化简整式，合并同类项得到最简结果后，代入x、y的值计算即可，先化简再求值能简化计算过程，避免出错。
【解析】
∵ $|x-3|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-3|+(y+1)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y+1=0$
解得 $x=3$，$y=-1$
化简原式：
$\begin{aligned}&-2xy · 5xy^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 · 2y^2 + (2xy^2)^2\\=&-10x^2y^4 + x^2y^4 + 4x^2y^4\\=&-5x^2y^4\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入$-5x^2y^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-5× 3^2 × (-1)^4\\&=-5×9×1\\&=-45\end{aligned}$
【答案】
$-45$
【知识点】
非负数的性质、单项式乘单项式、整式化简求值
【点评】
本题综合考查非负数性质与整式乘法运算，解题遵循“先求字母取值，再化简整式，最后代入计算”的思路，能有效降低运算难度，计算时要注意幂的运算规则和符号的正确性。
【难度系数】
0.7
首先分析已知条件：绝对值和平方数均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可先求出x、y的取值；再处理待求的整式，按照单项式乘单项式法则、积的乘方法则先化简整式，合并同类项得到最简结果后，代入x、y的值计算即可，先化简再求值能简化计算过程，避免出错。
【解析】
∵ $|x-3|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$|x-3|+(y+1)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y+1=0$
解得 $x=3$，$y=-1$
化简原式：
$\begin{aligned}&-2xy · 5xy^3 + \frac{1}{2}x^2y^2 · 2y^2 + (2xy^2)^2\\=&-10x^2y^4 + x^2y^4 + 4x^2y^4\\=&-5x^2y^4\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入$-5x^2y^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-5× 3^2 × (-1)^4\\&=-5×9×1\\&=-45\end{aligned}$
【答案】
$-45$
【知识点】
非负数的性质、单项式乘单项式、整式化简求值
【点评】
本题综合考查非负数性质与整式乘法运算，解题遵循“先求字母取值，再化简整式，最后代入计算”的思路，能有效降低运算难度，计算时要注意幂的运算规则和符号的正确性。
【难度系数】
0.7
1. 计算$\frac{1}{3}a^3b^2 · (-6a^2b)$，结果是（）.
A.$-2a^5b^3$
B.$2a^5b^3$
C.$-2a^6b^2$
D.$2a^6b^2$
A.$-2a^5b^3$
B.$2a^5b^3$
C.$-2a^6b^2$
D.$2a^6b^2$
答案
A
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式与单项式相乘的运算法则：将两个单项式的系数、同底数幂分别相乘，最终将各部分的乘积合并得到结果。解题时分三步进行：第一步先计算系数的乘积，注意负号的运算；第二步计算a的同底数幂乘积，遵循底数不变、指数相加的规则；第三步计算b的同底数幂乘积，同样遵循同底数幂乘法规则；最后合并结果对照选项选择即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$\frac{1}{3} × (-6) = -2$
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^3 · a^2 = a^{3+2} = a^5$
3. 计算同底数幂$b$的乘积：$b^2 · b = b^{2+1} = b^3$
将三部分结果相乘，可得原式$=-2a^5b^3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题，核心是掌握单项式乘法的运算规则，解题时需注意系数的符号判断，避免将同底数幂的指数相加误算为指数相乘，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式与单项式相乘的运算法则：将两个单项式的系数、同底数幂分别相乘，最终将各部分的乘积合并得到结果。解题时分三步进行：第一步先计算系数的乘积，注意负号的运算；第二步计算a的同底数幂乘积，遵循底数不变、指数相加的规则；第三步计算b的同底数幂乘积，同样遵循同底数幂乘法规则；最后合并结果对照选项选择即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$\frac{1}{3} × (-6) = -2$
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^3 · a^2 = a^{3+2} = a^5$
3. 计算同底数幂$b$的乘积：$b^2 · b = b^{2+1} = b^3$
将三部分结果相乘，可得原式$=-2a^5b^3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题，核心是掌握单项式乘法的运算规则，解题时需注意系数的符号判断，避免将同底数幂的指数相加误算为指数相乘，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$6x^2y^3 · (-xy)^2$等于（ ）。
A.$6x^4y^5$
B.$-6x^4y^3$
C.$6x^4y^6$
D.$-6x^4y^6$
A.$6x^4y^5$
B.$-6x^4y^3$
C.$6x^4y^6$
D.$-6x^4y^6$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查单项式与单项式的乘法运算，解题时需遵循先算乘方、再算乘法的运算顺序。首先利用积的乘方法则计算$(-xy)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别相乘，合并后即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算乘方运算
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(-xy)^2=(-1)^2· x^2· y^2=x^2y^2$
第二步：计算单项式乘法
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式：
$6x^2y^3 · x^2y^2 = 6×(x^2· x^2)×(y^3· y^2)$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$计算：
$x^2· x^2=x^{2+2}=x^4$，$y^3· y^2=y^{3+2}=y^5$
因此原式的结果为$6x^4y^5$。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，解题的关键是牢记运算顺序和相关运算法则，计算乘方时要注意符号的运算，避免因符号判断失误或者次数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
这道题考查单项式与单项式的乘法运算，解题时需遵循先算乘方、再算乘法的运算顺序。首先利用积的乘方法则计算$(-xy)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别相乘，合并后即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算乘方运算
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(-xy)^2=(-1)^2· x^2· y^2=x^2y^2$
第二步：计算单项式乘法
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式：
$6x^2y^3 · x^2y^2 = 6×(x^2· x^2)×(y^3· y^2)$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$计算：
$x^2· x^2=x^{2+2}=x^4$，$y^3· y^2=y^{3+2}=y^5$
因此原式的结果为$6x^4y^5$。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，解题的关键是牢记运算顺序和相关运算法则，计算乘方时要注意符号的运算，避免因符号判断失误或者次数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
3.计算：$(-5a^{4}) · (-6ab^{3}) = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：原式$= [(-5)×(-6)] · (a^4 · a) · b^3$
$= 30a^{4+1}b^3$
$= 30a^5b^3$
$= 30a^{4+1}b^3$
$= 30a^5b^3$
解析
【分析】
这是单项式乘单项式的计算问题，可按照单项式乘法法则分步求解：首先计算系数的乘积，先根据“负负得正”确定符号，再计算绝对值的积；其次计算同底数幂的乘积，遵循同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则；最后将只在一个单项式中出现的字母连同它的指数直接作为积的因式即可。
【解析】
原式$= [(-5)×(-6)] · (a^4 · a) · b^3$
$= 30a^{4+1}b^3$
$= 30a^5b^3$
【答案】
$30a^5b^3$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于单项式乘法的基础题，主要考查对单项式乘法运算规则的掌握，计算时要注意系数符号的判断，同底数幂的指数运算不要出错，单独出现的字母不要漏写。
【难度系数】
0.9
这是单项式乘单项式的计算问题，可按照单项式乘法法则分步求解：首先计算系数的乘积，先根据“负负得正”确定符号，再计算绝对值的积；其次计算同底数幂的乘积，遵循同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则；最后将只在一个单项式中出现的字母连同它的指数直接作为积的因式即可。
【解析】
原式$= [(-5)×(-6)] · (a^4 · a) · b^3$
$= 30a^{4+1}b^3$
$= 30a^5b^3$
【答案】
$30a^5b^3$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于单项式乘法的基础题，主要考查对单项式乘法运算规则的掌握，计算时要注意系数符号的判断，同底数幂的指数运算不要出错，单独出现的字母不要漏写。
【难度系数】
0.9
4. 如果$x^n y^4$与$2xy^m$相乘的结果是$2x^5 y^7$，那么$m=$，$n=$。
答案
解：
根据单项式与单项式相乘的运算法则：
$x^n y^4 · 2xy^m = 2x^{n+1}y^{4+m}$
由题意可知$2x^{n+1}y^{4+m}=2x^5 y^7$，因此对应字母的指数相等：
$n+1=5$，解得$n=4$
$4+m=7$，解得$m=3$
所以$m=\boldsymbol{3}$，$n=\boldsymbol{4}$。
根据单项式与单项式相乘的运算法则：
$x^n y^4 · 2xy^m = 2x^{n+1}y^{4+m}$
由题意可知$2x^{n+1}y^{4+m}=2x^5 y^7$，因此对应字母的指数相等：
$n+1=5$，解得$n=4$
$4+m=7$，解得$m=3$
所以$m=\boldsymbol{3}$，$n=\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解答本题的思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则，即两个单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，相同字母分别按同底数幂的乘法规则计算，作为积的因式。先按照该法则计算出$x^n y^4$与$2xy^m$的乘积，再根据两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等的规律，分别列出关于n和m的一元一次方程，最后解方程即可求出未知数的值。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：
$x^n y^4 · 2xy^m = 2x^{n+1}y^{4+m}$
由题意可知$2x^{n+1}y^{4+m}=2x^5 y^7$，因此相同字母的指数对应相等：
对于x的指数：$n+1=5$，解得$n=4$
对于y的指数：$4+m=7$，解得$m=3$
【答案】
$m=3$，$n=4$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、一元一次方程的解法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考察单项式乘法的运算法则，解题关键是掌握相等单项式的指数对应关系，运算量小，细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.85
解答本题的思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则，即两个单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，相同字母分别按同底数幂的乘法规则计算，作为积的因式。先按照该法则计算出$x^n y^4$与$2xy^m$的乘积，再根据两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等的规律，分别列出关于n和m的一元一次方程，最后解方程即可求出未知数的值。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：
$x^n y^4 · 2xy^m = 2x^{n+1}y^{4+m}$
由题意可知$2x^{n+1}y^{4+m}=2x^5 y^7$，因此相同字母的指数对应相等：
对于x的指数：$n+1=5$，解得$n=4$
对于y的指数：$4+m=7$，解得$m=3$
【答案】
$m=3$，$n=4$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、一元一次方程的解法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考察单项式乘法的运算法则，解题关键是掌握相等单项式的指数对应关系，运算量小，细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.85
5. 计算：
(1) $(2x)^3(-5xy^2)$；
(2) $(-3xy^4)(-\dfrac{2}{3}x^2)$。
(1) $(2x)^3(-5xy^2)$；
(2) $(-3xy^4)(-\dfrac{2}{3}x^2)$。
答案
解：
(1) 先计算乘方：
$(2x)^3 = 8x^3$
原式$=8x^3 · (-5xy^2)$
$=[8×(-5)]·(x^3· x)· y^2$
$=-40x^4y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-\dfrac{2}{3})]·(x· x^2)· y^4$
$=2x^3y^4$
(1) 先计算乘方：
$(2x)^3 = 8x^3$
原式$=8x^3 · (-5xy^2)$
$=[8×(-5)]·(x^3· x)· y^2$
$=-40x^4y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-\dfrac{2}{3})]·(x· x^2)· y^4$
$=2x^3y^4$
解析
【分析】
这两道题均属于单项式乘单项式的整式运算题，解题思路如下：
对于(1)，式子包含积的乘方运算，需遵循先乘方后乘法的运算顺序：先根据积的乘方法则计算$(2x)^3$，再用单项式乘单项式的运算法则计算，即先把各单项式的系数相乘，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接作为积的因式，运算时注意系数的符号判断。
对于(2)，可直接运用单项式乘单项式的运算法则计算，注意负系数相乘时符号为正，同底数幂相乘时指数相加，不要和系数的乘法运算混淆。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(2x)^3 = 2^3 · x^3 = 8x^3$
原式$=8x^3 · (-5xy^2)$
$=[8×(-5)]·(x^3· x)· y^2$
$=-40x^{3+1}y^2$
$=-40x^4y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-\dfrac{2}{3})]·(x· x^2)· y^4$
$=2· x^{1+2}y^4$
$=2x^3y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-40x^4y^2}$；(2) $\boldsymbol{2x^3y^4}$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考察单项式乘法的运算规则，运算时要注意优先处理乘方运算，格外注意系数符号和同底数幂的指数运算规则，避免出现符号错误、指数相加记成相乘的低级失误，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂整式运算打基础。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于单项式乘单项式的整式运算题，解题思路如下：
对于(1)，式子包含积的乘方运算，需遵循先乘方后乘法的运算顺序：先根据积的乘方法则计算$(2x)^3$，再用单项式乘单项式的运算法则计算，即先把各单项式的系数相乘，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接作为积的因式，运算时注意系数的符号判断。
对于(2)，可直接运用单项式乘单项式的运算法则计算，注意负系数相乘时符号为正，同底数幂相乘时指数相加，不要和系数的乘法运算混淆。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(2x)^3 = 2^3 · x^3 = 8x^3$
原式$=8x^3 · (-5xy^2)$
$=[8×(-5)]·(x^3· x)· y^2$
$=-40x^{3+1}y^2$
$=-40x^4y^2$
(2) 原式$=[(-3)×(-\dfrac{2}{3})]·(x· x^2)· y^4$
$=2· x^{1+2}y^4$
$=2x^3y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-40x^4y^2}$；(2) $\boldsymbol{2x^3y^4}$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考察单项式乘法的运算规则，运算时要注意优先处理乘方运算，格外注意系数符号和同底数幂的指数运算规则，避免出现符号错误、指数相加记成相乘的低级失误，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂整式运算打基础。
【难度系数】
0.8
