1. 计算$3x^2y · (-4xy^4)$,结果是().

A.$7x^2y^4$
B.$-7x^3y^5$
C.$12x^2y^4$
D.$-12x^3y^5$

D

【分析】
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题时可依据单项式乘单项式的运算法则分步计算：首先计算两个单项式系数的乘积，注意符号判断；再分别对相同字母的幂按照同底数幂的乘法规则计算（底数不变，指数相加）；最后将各部分计算结果合并，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的乘积：$3×(-4)=-12$；
2. 计算$x$的幂的乘积：$x^2 · x = x^{2+1}=x^3$；
3. 计算$y$的幂的乘积：$y · y^4 = y^{1+4}=y^5$；
将上述结果合并可得：$3x^2y · (-4xy^4) = -12x^3y^5$。
【答案】
D
【知识点】
单项式与单项式相乘；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考查单项式乘单项式的运算法则，解题时需要注意系数的符号判断，以及不要遗漏指数为1的字母的指数，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 下列运算中,正确的是().

A.$3a^2 · 2a^3 = 6a^6$
B.$-3x · 3x^4 = -9x^4$
C.$2x^3 · 3x^5 = 6x^8$
D.$(-2x)^3(-5xy^2) = 30x^4y^2$

C

【分析】
本题考查单项式与单项式相乘的运算，解题思路是：先回忆单项式乘法的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项。单项式乘法法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变、指数相加，只在一个单项式中出现的字母，连同指数一起作为积的因式。
【解析】
我们根据单项式乘法法则逐一验证选项：
选项A：$3a^2 · 2a^3$，系数计算$3×2=6$，同底数幂计算$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，结果为$6a^5$，与选项中$6a^6$不符，A错误。
选项B：$-3x · 3x^4$，系数计算$-3×3=-9$，同底数幂计算$x·x^4=x^{1+4}=x^5$，结果为$-9x^5$，与选项中$-9x^4$不符，B错误。
选项C：$2x^3 · 3x^5$，系数计算$2×3=6$，同底数幂计算$x^3·x^5=x^{3+5}=x^8$，结果为$6x^8$，与选项表述一致，C正确。
选项D：先计算乘方$(-2x)^3=-8x^3$，再计算乘法$(-8x^3)·(-5xy^2)$，系数计算$(-8)×(-5)=40$，同底数幂计算$x^3·x=x^{4}$，保留$y^2$，结果为$40x^4y^2$，与选项中$30x^4y^2$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式乘单项式法则
2. 同底数幂的乘法
3. 积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查单项式乘法相关的运算规则，解题时要注意系数的符号、同底数幂的指数计算，避免因粗心看错指数或算错系数导致失分。
【难度系数】
0.8

3.计算:
(1)$(2x)^{2} · x^{3}=$;
(2)$2x · (-3x^{2}y^{3})=$.

(1) $\boldsymbol{4x^5}$；(2) $\boldsymbol{-6x^3y^3}$

【分析】
本题考查单项式的乘法相关运算，解题思路如下：①先明确运算顺序：有乘方运算先算乘方，再进行单项式乘法运算；②单项式乘单项式遵循法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按同底数幂乘法规则（底数不变，指数相加）计算，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式；③计算时注意系数的符号不要出错。
第(1)小题先计算$(2x)^2$的积的乘方结果，再将所得结果与$x^3$相乘即可；第(2)小题直接套用单项式乘单项式法则计算即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$
再计算单项式乘法：
$4x^2· x^3=4×(x^{2+3})=4x^5$
(2) 直接根据单项式乘单项式法则计算：
$2x· (-3x^2y^3)=[2×(-3)]×(x^{1+2})× y^3=-6x^3y^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4x^5}$；(2) $\boldsymbol{-6x^3y^3}$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘法的基础法则，解题时要注意运算顺序、系数符号以及同底数幂的指数运算规则，熟练掌握相关法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1) $-2x^2 yz · (-\dfrac{1}{6}xy^2 z) · 9xyz^2$；
(2) $(-\dfrac{1}{8}ab)(-4a^2 b) + 6a · (-2ab)^2$。

解：
(1) 原式$= [ (-2) × (-\dfrac{1}{6}) × 9 ] · (x^2 · x · x) · (y · y^2 · y) · (z · z · z^2)$
$= 3 · x^{2+1+1} · y^{1+2+1} · z^{1+1+2}$
$= 3x^4y^4z^4$
(2) 原式$= [ (-\dfrac{1}{8}) × (-4) ] · (a · a^2) · (b · b) + 6a · 4a^2b^2$
$= \dfrac{1}{2}a^3b^2 + (6 × 4) · (a · a^2) · b^2$
$= \dfrac{1}{2}a^3b^2 + 24a^3b^2$
$= \dfrac{49}{2}a^3b^2$

【分析】
这两道题均围绕整式乘法运算考查，解题思路如下：(1)是三个单项式连乘，遵循单项式乘单项式法则：先计算所有系数的乘积，注意符号运算，再对相同字母的幂按“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规则分别计算，最后合并各部分结果即可。(2)是整式混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：先计算乘方项$(-2ab)^2$，再分别计算两个单项式乘法的结果，最后合并同类项得到最终答案。
【解析】
(1) 原式$= [ (-2) × (-\dfrac{1}{6}) × 9 ] · (x^2 · x · x) · (y · y^2 · y) · (z · z · z^2)$
$= 3 · x^{2+1+1} · y^{1+2+1} · z^{1+1+2}$
$= 3x^4y^4z^4$
(2) 原式$= [ (-\dfrac{1}{8}) × (-4) ] · (a · a^2) · (b · b) + 6a · 4a^2b^2$
$= \dfrac{1}{2}a^3b^2 + (6 × 4) · (a · a^2) · b^2$
$= \dfrac{1}{2}a^3b^2 + 24a^3b^2$
$= \dfrac{49}{2}a^3b^2$
【答案】
(1) $3x^4y^4z^4$；(2) $\dfrac{49}{2}a^3b^2$
【知识点】
单项式与单项式相乘，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘法的运算规则与整式混合运算的顺序，运算时需注意系数的符号判断、同底数幂的指数运算规律，合并同类项时仅把系数相加减，字母与字母指数不变，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

5.若($)·xy=3x^{2}y^{2}$，则括号内应该填写的单项式是().

A.-3y
B.3xy
C.-3xy

$D.3x^{2}y$

B

【分析】
本题已知两个单项式的乘积与其中一个单项式，求另一个单项式，可利用乘法与除法的互逆关系求解：括号内的单项式等于乘积除以已知的单项式xy，再按照单项式除以单项式的运算法则计算即可。
【解析】
根据乘除互逆关系，括号内应填的单项式为：
$3x^{2}y^{2} ÷ xy$
按照单项式除法法则计算：
系数相除：$3÷1=3$，
同底数幂分别相除：$x^{2}÷ x=x^{2-1}=x$，$y^{2}÷ y=y^{2-1}=y$，
合并结果得$3xy$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法，乘除互逆运算
【点评】
本题属于单项式乘除相关的基础题型，核心考查对单项式除法运算法则的掌握，只要熟练掌握运算规则，借助乘除逆运算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

6. 已知$-2x^m y^2$与$4x^2 y^{n-1}$的积与$-x^4 y^3$是同类项，则$mn$的值为().

A.2
B.3
C.4
D.5

C

【分析】
要计算mn的值，需先求出m、n的取值。解题思路如下：①先根据单项式乘单项式的运算法则，计算出$-2x^m y^2$与$4x^2 y^{n-1}$的乘积；②根据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同），让乘积中x、y的指数分别与$-x^4 y^3$中x、y的指数相等，列方程求出m、n的值；③代入计算mn的结果即可。
【解析】
第一步：计算两个单项式的乘积
根据单项式乘单项式的法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，可得：
$\begin{aligned}(-2x^m y^2) · 4x^2 y^{n-1}&=(-2×4) · x^{m+2} · y^{2+(n-1)}\\&=-8x^{m+2}y^{n+1}\end{aligned}$
第二步：根据同类项的定义列方程
因为$-8x^{m+2}y^{n+1}$与$-x^4 y^3$是同类项，所以相同字母的指数相等：
对x的指数：$m+2=4$，解得$m=2$
对y的指数：$n+1=3$，解得$n=2$
第三步：计算mn的值
$mn=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心是结合单项式乘法法则和同类项的性质求解参数，计算时要注意同底数幂相乘是指数相加，避免混淆指数运算规则。
【难度系数】
0.8

7.如果表示3xyz，表示$-2a^{b}c^{d}$，那么 =

解：
由题意可得，三角形对应的代数式为$3mn· 2=6mn$，
正方形对应的代数式为$-2a^bc^d=-2n^2m^3$，
则原式$=6mn · (-2n^2m^3)$
$=[6×(-2)]· m^{1+3}· n^{1+2}$
$=-12m^4n^3$

【分析】
本题属于新定义类运算题，解题时首先要读懂题干给出的示例，明确图形各部分和代数式的对应规则；接下来提取图3中两个图形分别对应的单项式，最后按照单项式乘单项式的运算法则计算即可：单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加。
【解析】
由题意可得：
图3中的三角形对应的代数式为$6mn$，正方形对应的代数式为$-2m^3n^2$，二者为乘积关系，计算如下：
$\begin{split}&6mn · (-2m^3n^2)\\=&[6×(-2)]· m^{1+3}· n^{1+2}\\=&-12m^4n^3\end{split}$
【答案】
$-12m^4n^3$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 单项式乘单项式 3. 同底数幂乘法
【点评】
本题结合新定义的形式考查整式乘法运算，解题的关键是准确理解新定义的对应规则，将图形正确转化为对应的代数式，计算时要注意系数的符号，避免同底数幂的指数运算出现错误。
【难度系数】
0.7

8. 如果 $ x^2y^3 ＜ 0 $，那么化简 $ -2xy · \left| -\frac{1}{2}x^6(-y)^7 \right| = $ .

$\boldsymbol{x^7y^8}$

【分析】
首先根据已知不等式$x^2y^3＜0$判断字母的符号：因为平方数非负，若$x=0$则不等式不成立，故$x≠0$，$x^2＞0$，由此可推出$y^3＜0$，即$y＜0$。接下来先计算绝对值内的幂运算，结合$y＜0$判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后再按照单项式乘单项式的法则计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定符号：
由$x^2y^3＜0$，$\because x^2≥0$，若$x=0$则$x^2y^3=0$，不符合题意，$\therefore x≠0$，$x^2＞0$，因此$y^3＜0$，即$y＜0$。
2. 化简绝对值内的式子：
先计算幂的运算：$(-y)^7=-y^7$，
则绝对值内的部分为：$-\frac{1}{2}x^6(-y)^7=-\frac{1}{2}x^6·(-y^7)=\frac{1}{2}x^6y^7$，
$\because y＜0$，$\therefore y^7＜0$，又$x^6＞0$，$\therefore \frac{1}{2}x^6y^7＜0$。
3. 去绝对值并计算：
负数的绝对值是它的相反数，故$\left|-\frac{1}{2}x^6(-y)^7\right|=\left|\frac{1}{2}x^6y^7\right|=-\frac{1}{2}x^6y^7$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2xy·(-\frac{1}{2}x^6y^7)\\&=(-2)×(-\frac{1}{2})· x· x^6· y· y^7\\&=1· x^{1+6}· y^{1+7}\\&=x^7y^8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{x^7y^8}$
【知识点】
绝对值的性质，幂的运算，单项式乘单项式
【点评】
本题的易错点是符号判断，解题时需要先结合已知条件确定$y$的正负，再正确去掉绝对值符号，计算单项式乘法时要注意同底数幂的运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.6

9. 先化简，再求值：
$(-2a^2b^3)(-ab^2)^2 + (-\frac{1}{2}a^2b^3)^2 · 4b$，其中a=2,b=1.

解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2a^2b^3)· a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4b^6 · 4b\\&=-2a^{4}b^{7} + a^4b^{7}\\&=-a^4b^7\end{aligned}$
当$a=2,b=1$时，
代入得：原式$=-2^4 × 1^7 = -16$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序。第一步先根据积的乘方、幂的乘方法则计算式中的乘方项$(-ab^2)^2$和$(-\frac{1}{2}a^2b^3)^2$；第二步根据单项式乘单项式的法则计算两个乘法运算；第三步合并同类项得到最简结果；最后将a=2、b=1代入最简式计算即可得到最终值。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2a^2b^3)· a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4b^6 · 4b\\&=-2a^{2+2}b^{3+4} + (\frac{1}{4}×4)a^4b^{6+1}\\&=-2a^{4}b^{7} + a^4b^{7}\\&=-a^4b^7\end{aligned}$
当$a=2,b=1$时，
代入得：原式$=-2^4 × 1^7 = -16×1=-16$
【答案】
$-16$
【知识点】
积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察整式混合运算的运算顺序及相关运算法则，解题时需注意符号的处理，尤其是负数乘方的符号，同时计算单项式乘法时要准确计算同底数幂的指数，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

10. 若$1+2+3+\dots +n=m$，求$(ab^n)· (a^2b^{n-1})· \dots · (a^{n-1}b^2)· (a^nb)$的值.

解：
$\begin{aligned}(ab^n)·(a^2b^{n-1})·\dots·(a^{n-1}b^2)·(a^nb)&=a^{1+2+\dots+(n-1)+n}· b^{n+(n-1)+\dots+2+1}\end{aligned}$
已知$1+2+3+\dots +n=m$，可得a的指数和为$m$，b的指数和也为$m$，
代入得：
原式$=a^m · b^m = a^m b^m$

【分析】
解题时首先回忆单项式与单项式相乘的运算法则：多个单项式相乘时，同底数幂分别相乘，即相同字母的指数相加。因此我们可以先将原式中所有含a的项的指数求和，所有含b的项的指数求和；观察可知a的指数和为$1+2+\dots+n$，题目已给出该和为m；b的指数和为$n+(n-1)+\dots+1$，其与$1+2+\dots+n$的和相等，也为m，最后代入即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$\begin{aligned}(ab^n)·(a^2b^{n-1})·\dots·(a^{n-1}b^2)·(a^nb)&=a^{1+2+\dots+(n-1)+n}· b^{n+(n-1)+\dots+2+1}\end{aligned}$
已知$1+2+3+\dots +n=m$，而$n+(n-1)+\dots+2+1$是$1+2+\dots+n$倒序排列，和也为$m$，因此a的指数和为$m$，b的指数和也为$m$，代入得：
原式$=a^m · b^m = a^m b^m$
【答案】
$a^mb^m$
【知识点】
单项式与单项式相乘、同底数幂的乘法、整体代入求值
【点评】
本题考查单项式乘法的相关运算，核心是熟练掌握同底数幂相乘的运算性质，准确找到a、b对应的指数和的规律，结合已知条件整体代入即可求解，是整式乘法中的基础题型。
【难度系数】
0.7