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15. 定义一种幂的新运算：$x^a \oplus x^b = x^{ab} + x^{a+b}$. 请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)$2^2 \oplus 2^3 =$ ；
(2)$2^p=3,2^q=5,3^q=6$,求$2^p \oplus 2^q$的值.
(1)$2^2 \oplus 2^3 =$ ；
(2)$2^p=3,2^q=5,3^q=6$,求$2^p \oplus 2^q$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{96}$；(2) $\boldsymbol{21}$
解析
【分析】
解题前先明确新运算的规则：$x^a \oplus x^b = x^{ab} + x^{a+b}$，解题时只需将对应数值代入规则，转化为学过的幂的运算即可。
(1) 第一问直接确定x=2，a=2，b=3，代入规则后分别计算两个幂的值再相加即可；
(2) 第二问先代入新运算规则得到$2^{pq} + 2^{p+q}$，再利用同底数幂的乘法法则计算$2^{p+q}$，利用幂的乘方法则将$2^{pq}$变形为$(2^p)^q$，结合已知条件代入计算即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则可得：
$2^2 \oplus 2^3 = 2^{2×3} + 2^{2+3} = 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96$
(2) 先代入新运算规则：
$2^p \oplus 2^q = 2^{p· q} + 2^{p+q}$
根据同底数幂的乘法法则：$2^{p+q} = 2^p · 2^q$，代入$2^p=3,2^q=5$得：
$2^{p+q}=3×5=15$
根据幂的乘方法则：$2^{pq}=(2^p)^q$，代入$2^p=3$得$2^{pq}=3^q$，已知$3^q=6$，即$2^{pq}=6$
因此$2^p \oplus 2^q = 6 + 15 = 21$
【答案】
(1) $\boldsymbol{96}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题核心是对新运算规则的理解，需要将陌生的新运算转化为常规的幂运算，再结合幂的运算性质代入已知条件求解，注意幂的运算公式的逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题前先明确新运算的规则：$x^a \oplus x^b = x^{ab} + x^{a+b}$，解题时只需将对应数值代入规则，转化为学过的幂的运算即可。
(1) 第一问直接确定x=2，a=2，b=3，代入规则后分别计算两个幂的值再相加即可；
(2) 第二问先代入新运算规则得到$2^{pq} + 2^{p+q}$，再利用同底数幂的乘法法则计算$2^{p+q}$，利用幂的乘方法则将$2^{pq}$变形为$(2^p)^q$，结合已知条件代入计算即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则可得：
$2^2 \oplus 2^3 = 2^{2×3} + 2^{2+3} = 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96$
(2) 先代入新运算规则：
$2^p \oplus 2^q = 2^{p· q} + 2^{p+q}$
根据同底数幂的乘法法则：$2^{p+q} = 2^p · 2^q$，代入$2^p=3,2^q=5$得：
$2^{p+q}=3×5=15$
根据幂的乘方法则：$2^{pq}=(2^p)^q$，代入$2^p=3$得$2^{pq}=3^q$，已知$3^q=6$，即$2^{pq}=6$
因此$2^p \oplus 2^q = 6 + 15 = 21$
【答案】
(1) $\boldsymbol{96}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题核心是对新运算规则的理解，需要将陌生的新运算转化为常规的幂运算，再结合幂的运算性质代入已知条件求解，注意幂的运算公式的逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
16. 尝试解答下列有关幂的问题:
(1)若$4×16^x=2^{22}$,求$x$的值;
(2)$M=2×9^x -3×3^x +5$,$N=9^x -3^x -1$,请比较$M$与$N$的大小.[提示:设$3^x = t$.$t^2 -2t +1=(t-1)^2$,$(t-1)^2≥0$]
(1)若$4×16^x=2^{22}$,求$x$的值;
(2)$M=2×9^x -3×3^x +5$,$N=9^x -3^x -1$,请比较$M$与$N$的大小.[提示:设$3^x = t$.$t^2 -2t +1=(t-1)^2$,$(t-1)^2≥0$]
答案
解：
(1) 对等式左边变形，将底数统一为2：
$\because 4=2^2$，$16^x=(2^4)^x=2^{4x}$，
$\therefore 4×16^x=2^2×2^{4x}=2^{2+4x}$，
又$\because 4×16^x=2^{22}$，
$\therefore 2+4x=22$，
解得$x=5$。
(2) 用作差法比较大小：
$M-N=(2×9^x -3×3^x +5)-(9^x -3^x -1)$
$=2×9^x -3×3^x +5 -9^x +3^x +1$
$=9^x -2×3^x +6$
设$t=3^x$，则$9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2$，且$t＞0$，
代入得：
$M-N=t^2-2t+6$
$=(t^2-2t+1)+5$
$=(t-1)^2+5$
$\because (t-1)^2\ge0$，
$\therefore (t-1)^2+5\ge5＞0$，即$M-N＞0$，
$\therefore M＞N$。
(1) 对等式左边变形，将底数统一为2：
$\because 4=2^2$，$16^x=(2^4)^x=2^{4x}$，
$\therefore 4×16^x=2^2×2^{4x}=2^{2+4x}$，
又$\because 4×16^x=2^{22}$，
$\therefore 2+4x=22$，
解得$x=5$。
(2) 用作差法比较大小：
$M-N=(2×9^x -3×3^x +5)-(9^x -3^x -1)$
$=2×9^x -3×3^x +5 -9^x +3^x +1$
$=9^x -2×3^x +6$
设$t=3^x$，则$9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2$，且$t＞0$，
代入得：
$M-N=t^2-2t+6$
$=(t^2-2t+1)+5$
$=(t-1)^2+5$
$\because (t-1)^2\ge0$，
$\therefore (t-1)^2+5\ge5＞0$，即$M-N＞0$，
$\therefore M＞N$。
解析
【分析】
(1) 解题时先将等式两侧的幂统一为同底数，先根据幂的乘方法则将4、$16^x$转化为底数为2的幂，再依据同底数幂相乘的运算法则合并左侧式子，最后利用“同底数幂相等则对应指数相等”列一元一次方程，即可求出x的值。
(2) 比较两个代数式大小常用作差法，先计算$M-N$的表达式，再结合提示设$3^x=t$，将$9^x$转化为$t^2$代入差式，通过配方变形为完全平方式加常数的形式，利用平方的非负性判断差的正负，就能得到M与N的大小关系。
【解析】
(1) 对等式左边变形，将底数统一为2：
∵ $4=2^2$，$16^x=(2^4)^x=2^{4x}$，
∴ $4×16^x=2^2×2^{4x}=2^{2+4x}$，
又
∵ $4×16^x=2^{22}$，
∴ $2+4x=22$，
解得$x=5$。
(2) 用作差法比较大小：
$M-N=(2×9^x -3×3^x +5)-(9^x -3^x -1)$
$=2×9^x -3×3^x +5 -9^x +3^x +1$
$=9^x -2×3^x +6$
设$t=3^x$，则$9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2$，且$t＞0$，
代入得：
$M-N=t^2-2t+6$
$=(t^2-2t+1)+5$
$=(t-1)^2+5$
∵ $(t-1)^2\ge0$，
∴ $(t-1)^2+5\ge5＞0$，即$M-N＞0$，
∴ $M＞N$。
【答案】
(1) $x=5$；(2) $M＞N$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂乘法；作差法比较大小
【点评】
本题侧重考察幂的运算性质及常用代数方法的应用，第一问属于基础题型，第二问融合换元、配方的方法，结合非负数的性质解题，整体逻辑清晰，能有效巩固幂运算相关的基础知识点与解题技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先将等式两侧的幂统一为同底数，先根据幂的乘方法则将4、$16^x$转化为底数为2的幂，再依据同底数幂相乘的运算法则合并左侧式子，最后利用“同底数幂相等则对应指数相等”列一元一次方程，即可求出x的值。
(2) 比较两个代数式大小常用作差法，先计算$M-N$的表达式，再结合提示设$3^x=t$，将$9^x$转化为$t^2$代入差式，通过配方变形为完全平方式加常数的形式，利用平方的非负性判断差的正负，就能得到M与N的大小关系。
【解析】
(1) 对等式左边变形，将底数统一为2：
∵ $4=2^2$，$16^x=(2^4)^x=2^{4x}$，
∴ $4×16^x=2^2×2^{4x}=2^{2+4x}$，
又
∵ $4×16^x=2^{22}$，
∴ $2+4x=22$，
解得$x=5$。
(2) 用作差法比较大小：
$M-N=(2×9^x -3×3^x +5)-(9^x -3^x -1)$
$=2×9^x -3×3^x +5 -9^x +3^x +1$
$=9^x -2×3^x +6$
设$t=3^x$，则$9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2$，且$t＞0$，
代入得：
$M-N=t^2-2t+6$
$=(t^2-2t+1)+5$
$=(t-1)^2+5$
∵ $(t-1)^2\ge0$，
∴ $(t-1)^2+5\ge5＞0$，即$M-N＞0$，
∴ $M＞N$。
【答案】
(1) $x=5$；(2) $M＞N$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂乘法；作差法比较大小
【点评】
本题侧重考察幂的运算性质及常用代数方法的应用，第一问属于基础题型，第二问融合换元、配方的方法，结合非负数的性质解题，整体逻辑清晰，能有效巩固幂运算相关的基础知识点与解题技巧。
【难度系数】
0.7
17. (运算能力)阅读下列两则材料,解答问题.
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:$\because 4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$,且$3＞2$,
$\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^8$和$8^2$的大小.
解:$\because 8^2=(2^3)^2=2^6$,且$8＞6$,
$\therefore 2^8＞2^6$,即$2^8＞8^2$.
小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,确定两个幂的大小.
【方法运用】
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小;
(2)比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小;
(3)已知$a^2=2,b^3=3$,比较$a,b$的大小;
(4)比较$3^{12}×5^{10}$与$3^{10}×5^{12}$的大小.
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:$\because 4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$,且$3＞2$,
$\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^8$和$8^2$的大小.
解:$\because 8^2=(2^3)^2=2^6$,且$8＞6$,
$\therefore 2^8＞2^6$,即$2^8＞8^2$.
小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,确定两个幂的大小.
【方法运用】
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小;
(2)比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小;
(3)已知$a^2=2,b^3=3$,比较$a,b$的大小;
(4)比较$3^{12}×5^{10}$与$3^{10}×5^{12}$的大小.
答案
解：
(1)
$\because 3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
又$\because 81＞64＞25$，
$\therefore 81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
又$\because 124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$\because a^2=2$，
$\therefore (a^2)^3=a^6=2^3=8$，
$\because b^3=3$，
$\therefore (b^3)^2=b^6=3^2=9$，
又$\because 8＜9$，
$\therefore a^6＜b^6$，
即$a＜b$。
(4)
$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2=15^{10}×9$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2=15^{10}×25$，
又$\because 9＜25$，
$\therefore 15^{10}×9 ＜ 15^{10}×25$，
即$3^{12}×5^{10} ＜ 3^{10}×5^{12}$。
(1)
$\because 3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
又$\because 81＞64＞25$，
$\therefore 81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
又$\because 124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$\because a^2=2$，
$\therefore (a^2)^3=a^6=2^3=8$，
$\because b^3=3$，
$\therefore (b^3)^2=b^6=3^2=9$，
又$\because 8＜9$，
$\therefore a^6＜b^6$，
即$a＜b$。
(4)
$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2=15^{10}×9$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2=15^{10}×25$，
又$\because 9＜25$，
$\therefore 15^{10}×9 ＜ 15^{10}×25$，
即$3^{12}×5^{10} ＜ 3^{10}×5^{12}$。
解析
【分析】
本题考查幂的大小比较，解题核心是利用幂的运算性质，将待比较的幂转化为指数相同或底数相同的形式，再结合材料给出的规则比较大小：
1. 第(1)问：三个幂的指数44、33、22均为11的倍数，可逆用幂的乘方公式将指数统一为11，再比较底数大小即可得出结果；
2. 第(2)问：三个幂的底数81、27、9都可转化为以3为底的幂，逆用幂的乘方将底数统一为3，比较指数大小即可；
3. 第(3)问：要比较a、b的大小，可取2和3的最小公倍数6，将a、b的幂次都转化为6次，通过比较a⁶和b⁶的大小判断a、b的大小；
4. 第(4)问：两个乘式都含有公共部分3¹⁰×5¹⁰，逆用积的乘方提取公共部分后，比较剩余因数的大小即可。
【解析】
(1)
$\because 3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
又$\because 81＞64＞25$，
$\therefore 81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
又$\because 124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$\because a^2=2$，
$\therefore (a^2)^3=a^6=2^3=8$，
$\because b^3=3$，
$\therefore (b^3)^2=b^6=3^2=9$，
又$\because 8＜9$，
$\therefore a^6＜b^6$，
即$a＜b$。
(4)
$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2=15^{10}×9$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2=15^{10}×25$，
又$\because 9＜25$，
$\therefore 15^{10}×9 ＜ 15^{10}×25$，
即$3^{12}×5^{10} ＜ 3^{10}×5^{12}$。
【答案】
(1)$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$；
(2)$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$；
(3)$a＜b$；
(4)$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$。
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，幂的大小比较
【点评】
本题通过材料阅读的形式考查幂的运算性质的灵活应用，解题关键是掌握“化同指数”或“化同底数”的转化思想，能有效锻炼运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的大小比较，解题核心是利用幂的运算性质，将待比较的幂转化为指数相同或底数相同的形式，再结合材料给出的规则比较大小：
1. 第(1)问：三个幂的指数44、33、22均为11的倍数，可逆用幂的乘方公式将指数统一为11，再比较底数大小即可得出结果；
2. 第(2)问：三个幂的底数81、27、9都可转化为以3为底的幂，逆用幂的乘方将底数统一为3，比较指数大小即可；
3. 第(3)问：要比较a、b的大小，可取2和3的最小公倍数6，将a、b的幂次都转化为6次，通过比较a⁶和b⁶的大小判断a、b的大小；
4. 第(4)问：两个乘式都含有公共部分3¹⁰×5¹⁰，逆用积的乘方提取公共部分后，比较剩余因数的大小即可。
【解析】
(1)
$\because 3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
又$\because 81＞64＞25$，
$\therefore 81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
又$\because 124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
$\because a^2=2$，
$\therefore (a^2)^3=a^6=2^3=8$，
$\because b^3=3$，
$\therefore (b^3)^2=b^6=3^2=9$，
又$\because 8＜9$，
$\therefore a^6＜b^6$，
即$a＜b$。
(4)
$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10}×3^2×5^{10}=(3×5)^{10}×3^2=15^{10}×9$，
$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^2=(3×5)^{10}×5^2=15^{10}×25$，
又$\because 9＜25$，
$\therefore 15^{10}×9 ＜ 15^{10}×25$，
即$3^{12}×5^{10} ＜ 3^{10}×5^{12}$。
【答案】
(1)$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$；
(2)$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$；
(3)$a＜b$；
(4)$3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}$。
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，幂的大小比较
【点评】
本题通过材料阅读的形式考查幂的运算性质的灵活应用，解题关键是掌握“化同指数”或“化同底数”的转化思想，能有效锻炼运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
