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基础知识·预习
问题1 举例说明如何进行幂的乘方运算.
问题2 举例说明如何进行积的乘方运算.
问题1 举例说明如何进行幂的乘方运算.
问题2 举例说明如何进行积的乘方运算.
答案
解：
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
解析
【分析】
本题需要分别掌握幂的乘方、积的乘方两类运算的规则，解题思路如下：首先明确对应运算的法则内容和字母公式，再选取简单的典型例题，先从乘方的定义出发逐步推导计算，验证法则的合理性，再总结直接运用法则计算的简便步骤，既理解法则来源，又能掌握实际运算方法。其中幂的乘方核心是底数不变、指数相乘，积的乘方核心是每个因式分别乘方后再相乘，解题时需注意区分两类运算的规则差异。
【解析】
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可快速得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别乘4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
【答案】
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
【知识点】
幂的乘方运算,积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础概念题，通过法则记忆加实例推导的方式，能帮助更深刻地理解两类运算的规则，避免后续计算中出现指数运算混淆的问题，熟练掌握后可直接套用公式快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题需要分别掌握幂的乘方、积的乘方两类运算的规则，解题思路如下：首先明确对应运算的法则内容和字母公式，再选取简单的典型例题，先从乘方的定义出发逐步推导计算，验证法则的合理性，再总结直接运用法则计算的简便步骤，既理解法则来源，又能掌握实际运算方法。其中幂的乘方核心是底数不变、指数相乘，积的乘方核心是每个因式分别乘方后再相乘，解题时需注意区分两类运算的规则差异。
【解析】
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可快速得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别乘4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
【答案】
问题1
幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
举例：计算$(x^3)^2$
$\begin{aligned}(x^3)^2&=x^3 · x^3\\&=x^{3+3}\\&=x^{3×2}\\&=x^6\end{aligned}$
运算时直接保留底数$x$，将指数3和2相乘，即可得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3x)^4$
$\begin{aligned}(3x)^4&=3x · 3x · 3x · 3x\\&=(3×3×3×3)·(x· x· x· x)\\&=3^4 · x^4\\&=81x^4\end{aligned}$
运算时将积中的数字因式3和字母因式$x$分别4次方，再将得到的幂相乘，即可得到最终结果。
【知识点】
幂的乘方运算,积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础概念题，通过法则记忆加实例推导的方式，能帮助更深刻地理解两类运算的规则，避免后续计算中出现指数运算混淆的问题，熟练掌握后可直接套用公式快速得出结果。
【难度系数】
0.8
1. 下列式子成立的是 （
A.$(x^3)^3=x^6$
B.$(7^2)^m=(7^m)^2$
C.$(y^x)^5=y^{x+5}$
D.$(-a)^2=-a^2$
B
）A.$(x^3)^3=x^6$
B.$(7^2)^m=(7^m)^2$
C.$(y^x)^5=y^{x+5}$
D.$(-a)^2=-a^2$
答案
1.B 【解析】$(x^3)^3=x^9$；$(7^2)^m=(7^m)^2=7^{2m}$；$(y^x)^5=y^{5x}$；$(-a)^2=a^2$。故只有选项B正确。
解析
【分析】
这道题考查幂的乘方运算规则及乘方的符号性质，解题思路是先回忆核心知识点：1.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；2.负数的偶次幂为正数。再依次对四个选项逐一计算验证，判断式子是否成立即可。
【解析】
我们结合幂的乘方法则和乘方符号规则逐一判断各选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^3)^3=x^{3×3}=x^9≠ x^6$，式子不成立；
选项B：左边计算得$(7^2)^m=7^{2× m}=7^{2m}$，右边计算得$(7^m)^2=7^{m×2}=7^{2m}$，左右两边相等，式子成立；
选项C：根据幂的乘方法则，$(y^x)^5=y^{x×5}=y^{5x}≠ y^{x+5}$，式子不成立；
选项D：根据乘方符号规则，$(-a)^2=(-1)^2· a^2=a^2≠ -a^2$（a≠0时不成立），式子不成立。
综上只有B选项式子成立。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，乘方的符号性质
【点评】
这道题是幂的运算模块的基础考查题，核心是区分幂的乘方指数相乘、同底数幂相乘指数相加的不同适用场景，同时要注意含负号的偶次乘方的符号判断，避免混淆运算规则出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查幂的乘方运算规则及乘方的符号性质，解题思路是先回忆核心知识点：1.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；2.负数的偶次幂为正数。再依次对四个选项逐一计算验证，判断式子是否成立即可。
【解析】
我们结合幂的乘方法则和乘方符号规则逐一判断各选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^3)^3=x^{3×3}=x^9≠ x^6$，式子不成立；
选项B：左边计算得$(7^2)^m=7^{2× m}=7^{2m}$，右边计算得$(7^m)^2=7^{m×2}=7^{2m}$，左右两边相等，式子成立；
选项C：根据幂的乘方法则，$(y^x)^5=y^{x×5}=y^{5x}≠ y^{x+5}$，式子不成立；
选项D：根据乘方符号规则，$(-a)^2=(-1)^2· a^2=a^2≠ -a^2$（a≠0时不成立），式子不成立。
综上只有B选项式子成立。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，乘方的符号性质
【点评】
这道题是幂的运算模块的基础考查题，核心是区分幂的乘方指数相乘、同底数幂相乘指数相加的不同适用场景，同时要注意含负号的偶次乘方的符号判断，避免混淆运算规则出错。
【难度系数】
0.8
2. 计算:(1)$(12^5)^2$；
(2)$[(-6)^3]^4$；
(3)$-(a^2)^7$；
(4)$(y^n)^4$；
(5)$-[(a-b)^3]^4$；
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3$。
(2)$[(-6)^3]^4$；
(3)$-(a^2)^7$；
(4)$(y^n)^4$；
(5)$-[(a-b)^3]^4$；
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3$。
答案
(1)$(12^5)^2=12^{5×2}=12^{10}$。
(2)$[(-6)^3]^4=(-6)^{3×4}=6^{12}$。
(3)$-(a^2)^7=-a^{2×7}=-a^{14}$。
(4)$(y^n)^4=y^{n×4}=y^{4n}$。
(5)$-[(a-b)^3]^4=-(a-b)^{3×4}=-(a-b)^{12}$。
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3=x^{3×2} · x^{2×3}=x^6 · x^6=x^{12}$。
(2)$[(-6)^3]^4=(-6)^{3×4}=6^{12}$。
(3)$-(a^2)^7=-a^{2×7}=-a^{14}$。
(4)$(y^n)^4=y^{n×4}=y^{4n}$。
(5)$-[(a-b)^3]^4=-(a-b)^{3×4}=-(a-b)^{12}$。
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3=x^{3×2} · x^{2×3}=x^6 · x^6=x^{12}$。
解析
【分析】
这几道题均属于幂的运算类题目，核心考查幂的乘方法则，第(6)题还涉及同底数幂的乘法法则。解题思路如下：①先回忆幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），即底数不变，指数相乘；②对于带负号的式子，要注意区分负号是在底数内还是底数外，负数的偶次幂为正，奇次幂为负；③对于底数是多项式的（如$a-b$），可将多项式看作整体套用法则；④第(6)题先分别计算两个幂的乘方，再按照同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数）计算最终结果。
【解析】
(1) 依据幂的乘方法则，底数12不变，指数相乘：
$(12^5)^2=12^{5×2}=12^{10}$
(2) 底数为$-6$，先按幂的乘方法则计算，再根据负数偶次幂为正化简：
$[(-6)^3]^4=(-6)^{3×4}=(-6)^{12}=6^{12}$
(3) 负号在幂的外部，先计算幂的乘方再保留负号：
$-(a^2)^7=-a^{2×7}=-a^{14}$
(4) 底数为$y$，指数含字母$n$，直接按法则计算：
$(y^n)^4=y^{n×4}=y^{4n}$
(5) 将$(a-b)$看作整体作为底数，负号在外部，计算后保留负号：
$-[(a-b)^3]^4=-(a-b)^{3×4}=-(a-b)^{12}$
(6) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(x^3)^2 · (x^2)^3=x^{3×2} · x^{2×3}=x^6 · x^6=x^{6+6}=x^{12}$
【答案】
(1)$12^{10}$；(2)$6^{12}$；(3)$-a^{14}$；(4)$y^{4n}$；(5)$-(a-b)^{12}$；(6)$x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的符号判定
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，重点考查对幂的乘方法则的掌握程度，解题时要注意区分幂的乘方“指数相乘”和同底数幂乘法“指数相加”的差异，同时要注意运算过程中的符号处理，遇到多项式底数时可以运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.85
这几道题均属于幂的运算类题目，核心考查幂的乘方法则，第(6)题还涉及同底数幂的乘法法则。解题思路如下：①先回忆幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），即底数不变，指数相乘；②对于带负号的式子，要注意区分负号是在底数内还是底数外，负数的偶次幂为正，奇次幂为负；③对于底数是多项式的（如$a-b$），可将多项式看作整体套用法则；④第(6)题先分别计算两个幂的乘方，再按照同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数）计算最终结果。
【解析】
(1) 依据幂的乘方法则，底数12不变，指数相乘：
$(12^5)^2=12^{5×2}=12^{10}$
(2) 底数为$-6$，先按幂的乘方法则计算，再根据负数偶次幂为正化简：
$[(-6)^3]^4=(-6)^{3×4}=(-6)^{12}=6^{12}$
(3) 负号在幂的外部，先计算幂的乘方再保留负号：
$-(a^2)^7=-a^{2×7}=-a^{14}$
(4) 底数为$y$，指数含字母$n$，直接按法则计算：
$(y^n)^4=y^{n×4}=y^{4n}$
(5) 将$(a-b)$看作整体作为底数，负号在外部，计算后保留负号：
$-[(a-b)^3]^4=-(a-b)^{3×4}=-(a-b)^{12}$
(6) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂的乘法：
$(x^3)^2 · (x^2)^3=x^{3×2} · x^{2×3}=x^6 · x^6=x^{6+6}=x^{12}$
【答案】
(1)$12^{10}$；(2)$6^{12}$；(3)$-a^{14}$；(4)$y^{4n}$；(5)$-(a-b)^{12}$；(6)$x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的符号判定
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，重点考查对幂的乘方法则的掌握程度，解题时要注意区分幂的乘方“指数相乘”和同底数幂乘法“指数相加”的差异，同时要注意运算过程中的符号处理，遇到多项式底数时可以运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.85
