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8.已知$2^{x+2}=20$，则$2^x$的值为
5
.答案
5 【解析】因为$2^{x+2}=2^x·2^2=20$,所以$2^x=5$.
解析
【分析】
首先观察已知等式左边的指数是相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，我们可以逆用这个法则，把$2^{x+2}$拆成$2^x$和$2^2$的乘积，再代入已知等式计算，即可求出$2^x$的值。
【解析】
逆用同底数幂的乘法法则，可得：
$2^{x+2}=2^x · 2^2$
已知$2^{x+2}=20$，代入上式得：
$2^x × 4=20$
等式两边同时除以4，解得：
$2^x=20÷4=5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法，逆用幂的运算法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂乘法法则的灵活运用，熟练掌握幂的运算性质的正用和逆用，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.9
首先观察已知等式左边的指数是相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，我们可以逆用这个法则，把$2^{x+2}$拆成$2^x$和$2^2$的乘积，再代入已知等式计算，即可求出$2^x$的值。
【解析】
逆用同底数幂的乘法法则，可得：
$2^{x+2}=2^x · 2^2$
已知$2^{x+2}=20$，代入上式得：
$2^x × 4=20$
等式两边同时除以4，解得：
$2^x=20÷4=5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法，逆用幂的运算法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂乘法法则的灵活运用，熟练掌握幂的运算性质的正用和逆用，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.9
9. 计算:
(1)$7× 7^2× 7^5$;
(2)$-x^3· (-x)^3· (-x)^4$;
(3)$a^{n+2}· a^{n+1}· a^n· a$;
(4)$(x-y)^5· (y-x)^6$.
(1)$7× 7^2× 7^5$;
(2)$-x^3· (-x)^3· (-x)^4$;
(3)$a^{n+2}· a^{n+1}· a^n· a$;
(4)$(x-y)^5· (y-x)^6$.
答案
(1)原式$=7^{1+2+5}=7^8$.
(2)原式$=x^3·x^3·x^4=x^{3+3+4}=x^{10}$.
(3)原式$=a^{n+2+n+1+n+1}=a^{3n+4}$.
(4)原式$=(x-y)^5·(x-y)^6=(x-y)^{11}$.
(2)原式$=x^3·x^3·x^4=x^{3+3+4}=x^{10}$.
(3)原式$=a^{n+2+n+1+n+1}=a^{3n+4}$.
(4)原式$=(x-y)^5·(x-y)^6=(x-y)^{11}$.
解析
【分析】
这组题目考查同底数幂的乘法运算，解题核心是运用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，具体思路如下：①先统一各因式的底数：遇到底数互为相反数的，根据“奇次幂变号、偶次幂不变号”的性质把底数转化为相同的；②注意单独的数字或字母的指数为1，不要遗漏；③最后将所有指数相加化简即可。
(1)三个因式底数都是7，直接套用同底数幂乘法法则计算；(2)先处理负号和$(-x)$的幂次，把底数统一为$x$再计算；(3)底数都是$a$，注意最后一个$a$的指数为1，合并所有指数即可；(4)$(y-x)$的指数是偶数，可转化为$(x-y)^6$，再套用法则计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=7^{1+2+5}=7^8$
(2) 先化简带负号的幂：$(-x)^3=-x^3$，$(-x)^4=x^4$，再计算：
原式$=-x^3· (-x^3)· x^4 = x^3·x^3·x^4=x^{3+3+4}=x^{10}$
(3) 注意最后一项$a$的指数为1，合并指数：
原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 偶次幂的底数变相反数时结果不变，即$(y-x)^6=(x-y)^6$，再计算：
原式$=(x-y)^5·(x-y)^6=(x-y)^{5+6}=(x-y)^{11}$
【答案】
(1)$7^8$；(2)$x^{10}$；(3)$a^{3n+4}$；(4)$(x-y)^{11}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号判断；相反数幂的转化
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础练习题，重点考查对运算法则的掌握程度，易错点为忽略单独字母的指数为1、符号处理错误、底数转化时混淆奇偶次幂的变号规则，做题时要先统一底数再计算，养成检查指数和符号的习惯。
【难度系数】
0.75
这组题目考查同底数幂的乘法运算，解题核心是运用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，具体思路如下：①先统一各因式的底数：遇到底数互为相反数的，根据“奇次幂变号、偶次幂不变号”的性质把底数转化为相同的；②注意单独的数字或字母的指数为1，不要遗漏；③最后将所有指数相加化简即可。
(1)三个因式底数都是7，直接套用同底数幂乘法法则计算；(2)先处理负号和$(-x)$的幂次，把底数统一为$x$再计算；(3)底数都是$a$，注意最后一个$a$的指数为1，合并所有指数即可；(4)$(y-x)$的指数是偶数，可转化为$(x-y)^6$，再套用法则计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=7^{1+2+5}=7^8$
(2) 先化简带负号的幂：$(-x)^3=-x^3$，$(-x)^4=x^4$，再计算：
原式$=-x^3· (-x^3)· x^4 = x^3·x^3·x^4=x^{3+3+4}=x^{10}$
(3) 注意最后一项$a$的指数为1，合并指数：
原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 偶次幂的底数变相反数时结果不变，即$(y-x)^6=(x-y)^6$，再计算：
原式$=(x-y)^5·(x-y)^6=(x-y)^{5+6}=(x-y)^{11}$
【答案】
(1)$7^8$；(2)$x^{10}$；(3)$a^{3n+4}$；(4)$(x-y)^{11}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号判断；相反数幂的转化
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础练习题，重点考查对运算法则的掌握程度，易错点为忽略单独字母的指数为1、符号处理错误、底数转化时混淆奇偶次幂的变号规则，做题时要先统一底数再计算，养成检查指数和符号的习惯。
【难度系数】
0.75
10.若$x$，$y$都是正整数，且$2^x × 2^y = 2^5$，则$x$，$y$的值有
4
对。答案
4 【解析】根据题意,得$x+y=5$,又因为$x,y$都是正整数,所以$x$只能取值1,2,3,4,相应的可算出$y$的值,共4对.
解析
【分析】首先回忆同底数幂的乘法运算性质，将已知等式左边化简，得到x与y的数量关系；再结合x、y均为正整数的限制条件，列举所有符合要求的解，统计解的对数即可。解题时要注意正整数的取值范围是大于等于1的整数，避免将0计入取值范围。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x × 2^y = 2^{x+y}$
已知$2^x × 2^y = 2^5$，因此$2^{x+y}=2^5$，根据等式两边底数相同则指数相等可得：
$x + y = 5$
又因为x、y都是正整数，即$x≥1$，$y≥1$，对x依次取值验证：
当x=1时，y=5-1=4，符合要求；
当x=2时，y=5-2=3，符合要求；
当x=3时，y=5-3=2，符合要求；
当x=4时，y=5-4=1，符合要求；
当x≥5时，y≤0，不符合正整数的要求，无需继续列举。
综上，符合条件的x、y的值共有4对。
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程的正整数解
【点评】本题属于基础题，重点考查同底数幂乘法法则的应用以及不定方程正整数解的计数，解题时要注意正整数的取值范围，避免因忽略限制条件多算x=0或y=0的情况。
【难度系数】0.8
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x × 2^y = 2^{x+y}$
已知$2^x × 2^y = 2^5$，因此$2^{x+y}=2^5$，根据等式两边底数相同则指数相等可得：
$x + y = 5$
又因为x、y都是正整数，即$x≥1$，$y≥1$，对x依次取值验证：
当x=1时，y=5-1=4，符合要求；
当x=2时，y=5-2=3，符合要求；
当x=3时，y=5-3=2，符合要求；
当x=4时，y=5-4=1，符合要求；
当x≥5时，y≤0，不符合正整数的要求，无需继续列举。
综上，符合条件的x、y的值共有4对。
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程的正整数解
【点评】本题属于基础题，重点考查同底数幂乘法法则的应用以及不定方程正整数解的计数，解题时要注意正整数的取值范围，避免因忽略限制条件多算x=0或y=0的情况。
【难度系数】0.8
11.若$2^{10} × 8 × 16 = 2^n$，则$n=$
17
。答案
17 【解析】$2^{10}×8×16=2^{10}×2^3×2^4=2^{17}=2^n$,则$n=17$.
解析
【分析】解题时首先观察等式左侧的项，8和16均可以转化为以2为底的幂的形式，转化后左侧变为同底数幂相乘的结构，再利用同底数幂乘法的运算规则计算出左侧结果的指数，最后根据底数相同的等幂指数相等的性质，即可求出n的值。
【解析】先将8、16转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16=2^4$，代入原式可得：
$2^{10}×8×16=2^{10}×2^3×2^4$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{10}×2^3×2^4=2^{10+3+4}=2^{17}$
已知$2^{17}=2^n$，因此$n=17$。
【答案】17
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的定义；幂相等的性质
【点评】本题是幂运算的基础题，重点考察同底数幂乘法法则的应用，解题的关键是将不同底数的因数转化为和其他项同底数的幂，再按运算法则计算即可。
【难度系数】0.9
【解析】先将8、16转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16=2^4$，代入原式可得：
$2^{10}×8×16=2^{10}×2^3×2^4$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{10}×2^3×2^4=2^{10+3+4}=2^{17}$
已知$2^{17}=2^n$，因此$n=17$。
【答案】17
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的定义；幂相等的性质
【点评】本题是幂运算的基础题，重点考察同底数幂乘法法则的应用，解题的关键是将不同底数的因数转化为和其他项同底数的幂，再按运算法则计算即可。
【难度系数】0.9
12.若$4^m=8,4^n=2$,则$m+n=$
2
.答案
2 【解析】由$4^m=8,4^n=2$,得$4^m·4^n=4^{m+n}=8×2=4^2$,所以$m+n=2$.
解析
【分析】
本题要求m+n的值，观察已知条件是同底数4的m次幂、n次幂的值，首先联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。我们可以将两个已知等式左右两边分别相乘，左边就能得到$4^{m+n}$的形式，刚好对应所求的指数和，再把右边的乘积转化为以4为底的幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，就能直接求出m+n的值。
【解析】
已知$4^m=8$，$4^n=2$，根据同底数幂的乘法法则，将两式相乘得：
$4^m · 4^n = 4^{m+n}$
右边计算得：$8 × 2 = 16 = 4^2$
因此$4^{m+n}=4^2$，因为底数$4≠0$且$4≠1$，所以指数相等，即$m+n=2$。
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的性质
【点评】
本题是同底数幂乘法法则的基础应用题型，解题的核心是灵活运用运算法则构造出含有待求式的幂的形式，熟练掌握幂的相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题要求m+n的值，观察已知条件是同底数4的m次幂、n次幂的值，首先联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。我们可以将两个已知等式左右两边分别相乘，左边就能得到$4^{m+n}$的形式，刚好对应所求的指数和，再把右边的乘积转化为以4为底的幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，就能直接求出m+n的值。
【解析】
已知$4^m=8$，$4^n=2$，根据同底数幂的乘法法则，将两式相乘得：
$4^m · 4^n = 4^{m+n}$
右边计算得：$8 × 2 = 16 = 4^2$
因此$4^{m+n}=4^2$，因为底数$4≠0$且$4≠1$，所以指数相等，即$m+n=2$。
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的性质
【点评】
本题是同底数幂乘法法则的基础应用题型，解题的核心是灵活运用运算法则构造出含有待求式的幂的形式，熟练掌握幂的相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 计算：
(1) $(-x)^4 · x^3 - x^7 - 2x^3 · (-x)^4$；
(2) $y · y^2 · y^{m+2} - 2y^m · y^5$；
(3) $(x-y)^2 · (x-y)^3 - (x-y)^4 · (y-x)$。
(1) $(-x)^4 · x^3 - x^7 - 2x^3 · (-x)^4$；
(2) $y · y^2 · y^{m+2} - 2y^m · y^5$；
(3) $(x-y)^2 · (x-y)^3 - (x-y)^4 · (y-x)$。
答案
(1)原式$=x^4·x^3 - x^7 - 2x^3·x^4 = x^7 - x^7 -2x^7=-2x^7$.
(2) 原式 $= y^{1+2+m+2} - 2y^{m+5} = y^{m+5} - 2y^{m+5}=-y^{m+5}$.
(3)原式$=(x-y)^5 + (x-y)^4·(x-y)=(x-y)^5+(x-y)^5=2(x-y)^5$.
(2) 原式 $= y^{1+2+m+2} - 2y^{m+5} = y^{m+5} - 2y^{m+5}=-y^{m+5}$.
(3)原式$=(x-y)^5 + (x-y)^4·(x-y)=(x-y)^5+(x-y)^5=2(x-y)^5$.
解析
【分析】
这三道题均为整式的混合运算题，解题思路可分为三步：①先化简带有负号的幂：偶次幂的负号可直接消去，互为相反数的底数可统一为同一底数（如将$y-x$转化为$-(x-y)$），注意符号变化；②运用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m,n$为正整数）计算每一项；③合并同类项，将同类项的系数相加减，字母及指数保持不变即可。
【解析】
(1) 先化简$(-x)^4=x^4$，再依次计算同底数幂乘法、合并同类项：
原式$=x^4·x^3 - x^7 - 2x^3·x^4 = x^{4+3} - x^7 - 2x^{3+4} = x^7 - x^7 -2x^7=-2x^7$
(2) 直接运用同底数幂乘法法则计算，再合并同类项：
原式 $= y^{1+2+m+2} - 2y^{m+5} = y^{m+5} - 2y^{m+5}=-y^{m+5}$
(3) 先统一底数：将$y-x$转化为$-(x-y)$，再计算、合并同类项：
原式$=(x-y)^{2+3} - (x-y)^4·[-(x-y)]=(x-y)^5 + (x-y)^{4+1}=(x-y)^5+(x-y)^5=2(x-y)^5$
【答案】
(1) $-2x^7$；(2) $-y^{m+5}$；(3) $2(x-y)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、幂的符号化简
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考察运算法则的掌握和符号处理能力，解题时需先统一底数再按顺序运算，尤其要注意互为相反数的底数转化时的符号变化，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
这三道题均为整式的混合运算题，解题思路可分为三步：①先化简带有负号的幂：偶次幂的负号可直接消去，互为相反数的底数可统一为同一底数（如将$y-x$转化为$-(x-y)$），注意符号变化；②运用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m,n$为正整数）计算每一项；③合并同类项，将同类项的系数相加减，字母及指数保持不变即可。
【解析】
(1) 先化简$(-x)^4=x^4$，再依次计算同底数幂乘法、合并同类项：
原式$=x^4·x^3 - x^7 - 2x^3·x^4 = x^{4+3} - x^7 - 2x^{3+4} = x^7 - x^7 -2x^7=-2x^7$
(2) 直接运用同底数幂乘法法则计算，再合并同类项：
原式 $= y^{1+2+m+2} - 2y^{m+5} = y^{m+5} - 2y^{m+5}=-y^{m+5}$
(3) 先统一底数：将$y-x$转化为$-(x-y)$，再计算、合并同类项：
原式$=(x-y)^{2+3} - (x-y)^4·[-(x-y)]=(x-y)^5 + (x-y)^{4+1}=(x-y)^5+(x-y)^5=2(x-y)^5$
【答案】
(1) $-2x^7$；(2) $-y^{m+5}$；(3) $2(x-y)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、幂的符号化简
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考察运算法则的掌握和符号处理能力，解题时需先统一底数再按顺序运算，尤其要注意互为相反数的底数转化时的符号变化，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $ x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9 $，求 $ (-3)^b · (-3)^3 $ 的值.
答案
由$x^{a+b}·x^{2b-a}=x^9$,得$a+b+2b-a=9$,解得$b=3$,所以$(-3)^b·(-3)^3=(-3)^3×(-3)^3=3^6$.
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先对已知等式左边的同底数幂运算化简，合并指数后利用“底数不为0的同底数幂相等时，指数也相等”的性质列等式，化简后可消去参数a求出b的值；再将b的值代入所求代数式，再次用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则，对已知等式左边化简：
$x^{a+b}·x^{2b - a} = x^{(a+b)+(2b - a)} = x^{3b}$
结合已知$x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9$，可得$x^{3b}=x^9$，因此指数对应相等：
$3b=9$，解得$b=3$
将$b=3$代入$(-3)^b · (-3)^3$，根据同底数幂乘法法则计算：
$(-3)^3 · (-3)^3 = (-3)^{3+3} = (-3)^6 = 3^6 = 729$
【答案】
$729$（或$3^6$）
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.一元一次方程求解
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础应用型题目，解题关键是熟练掌握同底数幂的运算法则，通过幂相等的性质建立方程求出参数b，计算负数幂时要注意符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先对已知等式左边的同底数幂运算化简，合并指数后利用“底数不为0的同底数幂相等时，指数也相等”的性质列等式，化简后可消去参数a求出b的值；再将b的值代入所求代数式，再次用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则，对已知等式左边化简：
$x^{a+b}·x^{2b - a} = x^{(a+b)+(2b - a)} = x^{3b}$
结合已知$x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9$，可得$x^{3b}=x^9$，因此指数对应相等：
$3b=9$，解得$b=3$
将$b=3$代入$(-3)^b · (-3)^3$，根据同底数幂乘法法则计算：
$(-3)^3 · (-3)^3 = (-3)^{3+3} = (-3)^6 = 3^6 = 729$
【答案】
$729$（或$3^6$）
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.一元一次方程求解
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础应用型题目，解题关键是熟练掌握同底数幂的运算法则，通过幂相等的性质建立方程求出参数b，计算负数幂时要注意符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
15.已知$2^a=3,2^b=5,2^c=30$,求$a,b,c$之间的数量关系.
答案
因为$2^a=3,2^b=5,2^c=30$,所以$2^a×2^b=15$,所以$2×2^a×2^b=30$,即$2^{a+b+1}=30$,所以$2^{a+b+1}=2^c$,所以$a+b+1=c$.
解析
【分析】
首先观察已知的三个幂底数均为2，要推导指数a、b、c的数量关系，可先从幂对应的常数入手找运算关系：3、5、30满足3×5×2=30，其中2可写成$2^1$，再结合同底数幂相乘的运算法则，将幂的运算转化为指数的运算，即可得到三者的数量关系。
【解析】
解：已知$2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=30$，
先计算同底数幂的乘积：$2^a × 2^b = 3 × 5 = 15$，
等式两边同时乘2得：$2 × 2^a × 2^b = 2 × 15 = 30$，
根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，左边可整理为$2^{a+b+1}$，
又因为$2^c=30$，因此可得$2^{a+b+1}=2^c$，
底数为非0非1的两个幂相等时，指数必然相等，因此$a+b+1=c$。
【答案】
$a+b+1=c$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂相等的条件
【点评】
本题是同底数幂乘法章节的典型基础题，解题核心是先找到已知常数之间的运算关系，再将常数运算转化为同底数幂的运算，进而推导得到指数的数量关系，侧重考查对同底数幂乘法法则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的三个幂底数均为2，要推导指数a、b、c的数量关系，可先从幂对应的常数入手找运算关系：3、5、30满足3×5×2=30，其中2可写成$2^1$，再结合同底数幂相乘的运算法则，将幂的运算转化为指数的运算，即可得到三者的数量关系。
【解析】
解：已知$2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=30$，
先计算同底数幂的乘积：$2^a × 2^b = 3 × 5 = 15$，
等式两边同时乘2得：$2 × 2^a × 2^b = 2 × 15 = 30$，
根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，左边可整理为$2^{a+b+1}$，
又因为$2^c=30$，因此可得$2^{a+b+1}=2^c$，
底数为非0非1的两个幂相等时，指数必然相等，因此$a+b+1=c$。
【答案】
$a+b+1=c$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂相等的条件
【点评】
本题是同底数幂乘法章节的典型基础题，解题核心是先找到已知常数之间的运算关系，再将常数运算转化为同底数幂的运算，进而推导得到指数的数量关系，侧重考查对同底数幂乘法法则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
16. (1)定义一种新运算$(a,b)$，若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，例$(2,8)=3$，$(3,81)=4$。若$(4,n)=3$，则$n=$
(2)已知$x$满足$2^{2x+2} - 2^{2x+1}=32$，则$x$的值为
64
；若$(3,7)+(3,11)=(3,m)$，则$m$的值为77
。(2)已知$x$满足$2^{2x+2} - 2^{2x+1}=32$，则$x$的值为
2
。答案
(1)64 77 (2)2 【解析】(1)因为$(4,n)=3$,所以$4^3=n$,则$n=64$.
设$(3,7)=x$,$(3,11)=y$,$(3,m)=z$,
则$3^x=7$,$3^y=11$,$3^z=m$.
因为$(3,7)+(3,11)=(3,m)$,
所以$x+y=z$,则$3^{x+y}=3^z$,那么$m=3^x·3^y=7×11=77$.
(2)由$2^{2x+2}-2^{2x+1}=32$,得$2×2^{2x+1}-2^{2x+1}=32$,所以$2^{2x+1}=2^5$,即$2x+1=5$,解得$x=2$.
设$(3,7)=x$,$(3,11)=y$,$(3,m)=z$,
则$3^x=7$,$3^y=11$,$3^z=m$.
因为$(3,7)+(3,11)=(3,m)$,
所以$x+y=z$,则$3^{x+y}=3^z$,那么$m=3^x·3^y=7×11=77$.
(2)由$2^{2x+2}-2^{2x+1}=32$,得$2×2^{2x+1}-2^{2x+1}=32$,所以$2^{2x+1}=2^5$,即$2x+1=5$,解得$x=2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先读懂新运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$。①已知$(4,n)=3$，直接套用规则可得$4^3 = n$，计算即可得$n$的值；②对于$(3,7)+(3,11)=(3,m)$，可先设三个新运算对应的指数分别为$x、y、z$，根据规则转化为幂的形式，再利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将指数相加转化为幂的乘积，即可求出$m$的值。
(2) 对于含幂的方程，先观察左边两项的底数和指数特征，提取公因式$2^{2x+1}$化简左边，再将右边的32转化为以2为底的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”列方程求解$x$即可。
【解析】
(1) 由新运算规则可知，若$(4,n)=3$，则$4^3 = n$，计算得$n=4×4×4=64$。
设$(3,7)=x$，$(3,11)=y$，$(3,m)=z$，根据新运算规则得：$3^x=7$，$3^y=11$，$3^z=m$。
因为$(3,7)+(3,11)=(3,m)$，所以$x+y=z$，根据同底数幂的乘法法则：$3^{x+y}=3^x · 3^y = 3^z$，因此$m=3^x · 3^y =7×11=77$。
(2) 对$2^{2x+2} - 2^{2x+1}=32$化简：
将$2^{2x+2}$变形为$2×2^{2x+1}$，代入原式得：$2×2^{2x+1} - 2^{2x+1}=32$，
提取公因式得：$2^{2x+1}×(2-1)=32$，即$2^{2x+1}=32$，
又因为$32=2^5$，所以$2^{2x+1}=2^5$，根据同底数幂相等则指数相等，得：$2x+1=5$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) 64；77 (2) 2
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，幂的方程求解
【点评】
本题将新定义运算与幂的运算性质结合考查，既需要准确理解新规则完成转化，又需要熟练运用同底数幂的相关性质化简计算，是幂运算章节的典型题型，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先读懂新运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$。①已知$(4,n)=3$，直接套用规则可得$4^3 = n$，计算即可得$n$的值；②对于$(3,7)+(3,11)=(3,m)$，可先设三个新运算对应的指数分别为$x、y、z$，根据规则转化为幂的形式，再利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将指数相加转化为幂的乘积，即可求出$m$的值。
(2) 对于含幂的方程，先观察左边两项的底数和指数特征，提取公因式$2^{2x+1}$化简左边，再将右边的32转化为以2为底的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”列方程求解$x$即可。
【解析】
(1) 由新运算规则可知，若$(4,n)=3$，则$4^3 = n$，计算得$n=4×4×4=64$。
设$(3,7)=x$，$(3,11)=y$，$(3,m)=z$，根据新运算规则得：$3^x=7$，$3^y=11$，$3^z=m$。
因为$(3,7)+(3,11)=(3,m)$，所以$x+y=z$，根据同底数幂的乘法法则：$3^{x+y}=3^x · 3^y = 3^z$，因此$m=3^x · 3^y =7×11=77$。
(2) 对$2^{2x+2} - 2^{2x+1}=32$化简：
将$2^{2x+2}$变形为$2×2^{2x+1}$，代入原式得：$2×2^{2x+1} - 2^{2x+1}=32$，
提取公因式得：$2^{2x+1}×(2-1)=32$，即$2^{2x+1}=32$，
又因为$32=2^5$，所以$2^{2x+1}=2^5$，根据同底数幂相等则指数相等，得：$2x+1=5$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) 64；77 (2) 2
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，幂的方程求解
【点评】
本题将新定义运算与幂的运算性质结合考查，既需要准确理解新规则完成转化，又需要熟练运用同底数幂的相关性质化简计算，是幂运算章节的典型题型，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
