【典型例题2】(1)$(-3b)^3$;(2)$(x^2y)^2$;(3)$(-2xy)^4$;(4)$(-a)^3$;(5)$(3a^n)^2$.
思路导引 依据运算法则“$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）”进行计算.
【解】(1)$(-3b)^3=(-3)^3· b^3=-27b^3$.
(2)$(x^2y)^2=(x^2)^2· y^2=x^4y^2$.
(3)$(-2xy)^4=(-2)^4· x^4· y^4=16x^4y^4$.
(4)$(-a)^3=(-1)^3· a^3=-a^3$.
(5)$(3a^n)^2=3^2· (a^n)^2=9a^{2n}$.
规律方法 1. 积的乘方法则公式中的字母$a,b$既可以表示数或字母，也可以表示单项式或多项式.
2. 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式，尤其注意不要忘记数字系数及其符号.
3. 注意运算顺序，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂相乘.

解：
(1) $(-3b)^3=(-3)^3 · b^3=-27b^3$
(2) $(x^2y)^2=(x^2)^2 · y^2=x^4y^2$
(3) $(-2xy)^4=(-2)^4 · x^4 · y^4=16x^4y^4$
(4) $(-a)^3=(-1)^3 · a^3=-a^3$
(5) $(3a^n)^2=3^2 · (a^n)^2=9a^{2n}$

【分析】
这组题目均考查积的乘方相关运算，解题可按以下思路展开：首先回忆积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），即积的乘方需要把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；如果因式中含有幂的形式，后续再结合幂的乘方法则“$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数）”计算指数，运算过程中要特别注意数字系数、负号的乘方运算，不要遗漏任何一个因式。
【解析】
(1) 计算$(-3b)^3$：根据积的乘方法则，将因式$-3$和$b$分别乘方，可得$(-3)^3· b^3$，计算得$(-3)^3=-27$，最终结果为$-27b^3$。
(2) 计算$(x^2y)^2$：根据积的乘方法则，将因式$x^2$和$y$分别乘方，可得$(x^2)^2· y^2$，再根据幂的乘方法则计算得$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，最终结果为$x^4y^2$。
(3) 计算$(-2xy)^4$：根据积的乘方法则，将因式$-2$、$x$、$y$分别乘方，可得$(-2)^4· x^4· y^4$，计算得$(-2)^4=16$，最终结果为$16x^4y^4$。
(4) 计算$(-a)^3$：将$-a$拆解为$(-1)·a$，根据积的乘方法则可得$(-1)^3· a^3$，计算得$(-1)^3=-1$，最终结果为$-a^3$。
(5) 计算$(3a^n)^2$：根据积的乘方法则，将因式$3$和$a^n$分别乘方，可得$3^2· (a^n)^2$，计算得$3^2=9$，再根据幂的乘方法则得$(a^n)^2=a^{2n}$，最终结果为$9a^{2n}$。
【答案】
(1) $-27b^3$；(2) $x^4y^2$；(3) $16x^4y^4$；(4) $-a^3$；(5) $9a^{2n}$
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 幂的乘方运算
3. 乘方符号规则
【点评】
本题是幂的运算的基础训练题，重点考察积的乘方法则的应用，解题时需注意要将积中的每一个因式都分别乘方，尤其不能忽略系数的乘方和符号的运算，涉及幂的乘方时注意指数运算为相乘而非相加，熟练掌握相关运算法则是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.85

3. 计算：$(-\dfrac{1}{2}x^2y)^3 = \quad (\quad)$

A.$-\dfrac{1}{6}x^6y^3$
B.$-\dfrac{1}{8}x^2y^3$
C.$-\dfrac{1}{8}x^6y^3$
D.$-\dfrac{3}{2}x^5y^4$

3.C 【解析】$(-\frac{1}{2}x^2y)^3=(-\frac{1}{2})^3 · (x^2)^3 · y^3=-\frac{1}{8}x^6y^3$。

【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题时遵循对应运算法则即可：第一步，根据积的乘方法则，把积中的每一个因式（系数$-\dfrac{1}{2}$、$x^2$、$y$）分别进行乘方运算；第二步，对幂的乘方部分$(x^2)^3$，按照幂的乘方法则计算，底数不变，指数相乘；第三步，将各部分计算结果相乘，对比选项得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(-\dfrac{1}{2}x^2y)^3=(-\dfrac{1}{2})^3 · (x^2)^3 · y^3$
分别计算各部分：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{2} × -\dfrac{1}{2} × -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{8}$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
将各部分结果相乘得$-\dfrac{1}{8}x^6y^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算基础题型，核心考查积的乘方和幂的乘方运算法则的应用，计算时要注意负系数乘方的符号，不要混淆幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

1. 下面的计算正确的是 （）

A.$(x^2)^3=x^5$
B.$(x^3y)^3=x^9y$
C.$(2xy^2)^3=6x^3y^6$
D.$(-2x)^2=4x^2$

1.D

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路是先回忆对应运算法则：1.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；2.积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数）。再运用上述法则逐个计算四个选项，判断正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6≠ x^5$，故A错误；
B选项：根据积的乘方法则，$(x^3y)^3=(x^3)^3· y^3=x^{9}y^3≠ x^9y$，故B错误；
C选项：根据积的乘方法则，$(2xy^2)^3=2^3· x^3· (y^2)^3=8x^3y^6≠ 6x^3y^6$，故C错误；
D选项：根据积的乘方法则，$(-2x)^2=(-2)^2· x^2=4x^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对幂的乘方、积的乘方运算法则的掌握程度，解题时要注意不要遗漏对系数、每个因式的乘方，避免指数运算规则混淆。
【难度系数】
0.8

2.(2024·四川攀枝花中考)计算$(-a^2)^3$的结果是（）

A.$-a^6$
B.$a^6$
C.$-a^5$
D.$a^5$

2.A

【分析】
本题考查幂的乘方相关运算，解题思路如下：首先观察运算式$(-a^2)^3$，可将其看作$-1$与$a^2$的乘积的3次方，先根据负数的奇次幂为负确定结果的符号，再运用幂的乘方法则计算$a^2$的3次方，最后合并结果即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则，将$(-a^2)^3$拆分为$(-1)^3 · (a^2)^3$：
1. 计算符号部分：$(-1)^3=-1$，负数的奇次幂结果为负；
2. 计算幂的乘方部分：根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$；
3. 合并两部分结果：$-1 × a^6=-a^6$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的掌握情况，解题时需注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，同时不要忽略符号的判断。
【难度系数】
0.9

3. 如果正方体的棱长是$(1-2b)^3$，那么这个正方体的体积是（）

A.$(1-2b)^6$
B.$(1-2b)^9$
C.$(1-2b)^{12}$
D.$6(1-2b)^6$

3.B

【分析】
解题首先回忆正方体的体积计算公式：正方体体积等于棱长的三次方。题目已给出正方体的棱长为$(1-2b)^3$，只需将棱长代入体积公式，再利用幂的乘方的运算法则（底数不变，指数相乘）计算，即可得到结果对应选项。
【解析】
解：正方体的体积公式为$V=a^3$（$a$为正方体的棱长）。
已知该正方体的棱长$a=(1-2b)^3$，代入体积公式得：
$V=[(1-2b)^3]^3$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），底数$(1-2b)$不变，指数相乘：$3×3=9$，因此：
$V=(1-2b)^{3×3}=(1-2b)^9$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方法则的应用，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，避免指数运算出错。
【难度系数】
0.8

4. 如果$(9^n)^2 = 3^{16}$，那么$n$的值为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

4.B 【解析】$(9^n)^2=(3^{2n})^2=3^{4n}=3^{16}$，得$4n=16$，故$n=4$。

【分析】
解题时首先观察到等式两边幂的底数不一致，因此第一步需要将底数统一为相同的数，本题中9是3的平方，可先将左边的底数9转化为3，再根据幂的乘方法则对左边的式子进行化简，最后利用“同底数的两个幂相等，则指数相等”的性质列方程求解n的值即可。
【解析】
先对等式左边进行变形：
∵ $9=3^2$
∴ $(9^n)^2=[(3^2)^n]^2$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），可得：
$[(3^2)^n]^2=(3^{2n})^2=3^{4n}$
已知$(9^n)^2=3^{16}$，因此$3^{4n}=3^{16}$
同底数幂相等时，指数相等，可得：
$4n=16$
解得：$n=4$
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合幂的运算性质和方程思想求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8

5. (2024·上海中考)计算：$(4x^2)^3 =$ .

5.$64x^6$

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：首先识别运算类型为积的乘方，根据积的乘方法则，先将积中的每一个因式分别乘方，即分别计算系数4的3次方和因式x²的3次方；再对x²的3次方运用幂的乘方法则计算，最后将两个结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），可得：
$(4x^2)^3 = 4^3 · (x^2)^3$
计算常数项：$4^3 = 4×4×4 = 64$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），计算$(x^2)^3$：
$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$
将两部分结果相乘，得：$64 · x^6 = 64x^6$
【答案】
$64x^6$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整式运算中的基础计算题，重点考查幂的相关运算法则的掌握与应用，解题时要注意区分系数的乘方运算和指数的乘法运算，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.9

6. 填入适当的数使下列等式成立：
$(x^4)^{(\quad)}=(x^{(\quad)})^8=(x^2)^{(\quad)}$

6.答案不唯一，如6 3 12

【分析】
解题时首先回忆幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。由于三个式子的底数都是x，要使等式成立，只需三个式子化简后的指数相等即可。我们可以先设三个空分别为a、b、c，根据法则写出三个式子化简后的指数，令三个指数相等，取任意一个满足条件的公共指数，即可求出对应a、b、c的取值，且答案不唯一。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(x^m)^n=x^{mn}$（m、n为正整数），设三个空依次为$a$、$b$、$c$，则：
左边：$(x^4)^a=x^{4a}$
中间：$(x^b)^8=x^{8b}$
右边：$(x^2)^c=x^{2c}$
要使等式成立，需满足$4a=8b=2c$，我们可取公共指数为24（也可取其他4、8、2的公倍数）：
解得$a=24÷4=6$，$b=24÷8=3$，$c=24÷2=12$，此为一组符合要求的解，也可选取其他公共指数得到不同的解。
【答案】
答案不唯一，如6 3 12
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题核心考查幂的乘方法则的灵活应用，解题关键是明确底数相同的幂相等时，指数也相等，题目答案不唯一，只要满足指数的等量关系即可，是对基础运算法则的典型考查。
【难度系数】
0.8

7.计算:(1)$(m^5)^6$;(2)$-(n^2)^8$;
(3)$(2a^3)^2$;(4)$(-a)^4$;
(5)$(-2pq^2)^3$;(6)$(-\dfrac{1}{2}a^2b)^4$.

(1)$(m^5)^6=m^{5×6}=m^{30}$。
(2)$-(n^2)^8=-n^{2×8}=-n^{16}$。
(3)$(2a^3)^2=2^2 · (a^3)^2=4a^6$。
(4)$(-a)^4=(-1)^4 · a^4=a^4$。
(5)$(-2pq^2)^3=(-2)^3p^3 · q^6=-8p^3q^6$。
(6)$(-\frac{1}{2}a^2b)^4=(-\frac{1}{2})^4 · (a^2)^4b^4=\frac{1}{16}a^8b^4$。

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：1. 先明确两个核心运算法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数）。2. 逐个分析每道小题的运算类型：前2道为纯幂的乘方运算，直接套用幂的乘方法则即可，注意第(2)小题的负号在括号外，不参与乘方运算；后4道为积的乘方运算，需要先把每个因式（包括数字系数、符号因式、字母因式）分别乘方，再对含字母的幂的部分套用幂的乘方法则，同时遵循负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号规则，不要漏算数字系数的乘方。
【解析】
(1) 依据幂的乘方法则计算：
$(m^5)^6=m^{5×6}=m^{30}$
(2) 负号保留在括号外，先计算幂的乘方：
$-(n^2)^8=-n^{2×8}=-n^{16}$
(3) 先依据积的乘方法则拆分因式，再计算幂的乘方：
$(2a^3)^2=2^2 · (a^3)^2=4a^6$
(4) 将$-a$拆分为$(-1)·a$，分别乘方后计算：
$(-a)^4=(-1)^4 · a^4=a^4$
(5) 将所有因式拆分后分别乘方，再合并结果：
$(-2pq^2)^3=(-2)^3·p^3·(q^2)^3=-8p^3q^6$
(6) 将所有因式拆分后分别乘方，再合并结果：
$(-\frac{1}{2}a^2b)^4=(-\frac{1}{2})^4 · (a^2)^4 · b^4=\frac{1}{16}a^8b^4$
【答案】
(1)$m^{30}$；(2)$-n^{16}$；(3)$4a^6$；(4)$a^4$；(5)$-8p^3q^6$；(6)$\frac{1}{16}a^8b^4$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，乘方符号判断
【点评】
本题属于幂的运算的基础常规题，核心是对幂的乘方、积的乘方运算法则的熟练运用，易错点是容易忽略数字系数的乘方、弄错负数乘方的符号，运算时按照法则分步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.8