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1.(2024·云南中考)分解因式:$a^3 -9a = ( )$
A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
答案
A
解析
【分析】
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中多项式的两项都含有公因式a，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的结构，剩余的a²-9是平方差的形式，可套用平方差公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，确保分解彻底后再对应选项选择即可。
【解析】
对多项式$a^3 -9a$分解因式：
第一步，提取公因式$a$，可得：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
第二步，$a^2 -9$符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的结构，其中$m=a$，$n=3$，继续分解得：
$a(a^2 -9) = a(a-3)(a+3)$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要牢记先提取公因式、再套用公式的顺序，同时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中多项式的两项都含有公因式a，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的结构，剩余的a²-9是平方差的形式，可套用平方差公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，确保分解彻底后再对应选项选择即可。
【解析】
对多项式$a^3 -9a$分解因式：
第一步，提取公因式$a$，可得：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
第二步，$a^2 -9$符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的结构，其中$m=a$，$n=3$，继续分解得：
$a(a^2 -9) = a(a-3)(a+3)$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要牢记先提取公因式、再套用公式的顺序，同时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
2.(2024·广西中考)如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为（
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）A.0
B.1
C.4
D.9
答案
D
解析
【分析】
本题属于代数式求值类题目，若直接求解a、b的数值再代入计算步骤繁琐，因此优先考虑对所求代数式变形：首先观察到所求代数式的每一项都含有公因式ab，先提取公因式，再看提取公因式后剩余的部分恰好是完全平方公式的展开形式，逆用完全平方公式即可将代数式转化为只含a+b和ab的结构，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式先提取公因式，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入化简后的式子：
原式$=1×3^2=9$
【答案】
D
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的结构，用整体代入思想简化计算，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式求值类题目，若直接求解a、b的数值再代入计算步骤繁琐，因此优先考虑对所求代数式变形：首先观察到所求代数式的每一项都含有公因式ab，先提取公因式，再看提取公因式后剩余的部分恰好是完全平方公式的展开形式，逆用完全平方公式即可将代数式转化为只含a+b和ab的结构，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式先提取公因式，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入化简后的式子：
原式$=1×3^2=9$
【答案】
D
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的结构，用整体代入思想简化计算，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. (2024·四川绵阳中考)分解因式:$2x^2 +8x +8=$
2(x+2)²
.答案
$2(x+2)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公约数是2，无公共字母因式，因此先提取公因式2；提取后得到$x^2+4x+4$，再判断其是否符合乘法公式特征，发现该式满足完全平方公式“首平方、尾平方，首尾2倍在中央”的结构，可套用完全平方公式继续分解，最后检查结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：先提取公因式2：
$2x^2 +8x +8=2(x^2+4x+4)$
再对括号内的多项式用完全平方公式分解：
$x^2+4x+4=x^2+2· x·2+2^2=(x+2)^2$
综上，原式$=2(x+2)^2$
【答案】
$2(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要牢记因式分解的基本顺序，避免出现漏提公因式、公式套用错误的问题，最后注意验证分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公约数是2，无公共字母因式，因此先提取公因式2；提取后得到$x^2+4x+4$，再判断其是否符合乘法公式特征，发现该式满足完全平方公式“首平方、尾平方，首尾2倍在中央”的结构，可套用完全平方公式继续分解，最后检查结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：先提取公因式2：
$2x^2 +8x +8=2(x^2+4x+4)$
再对括号内的多项式用完全平方公式分解：
$x^2+4x+4=x^2+2· x·2+2^2=(x+2)^2$
综上，原式$=2(x+2)^2$
【答案】
$2(x+2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要牢记因式分解的基本顺序，避免出现漏提公因式、公式套用错误的问题，最后注意验证分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.8
4.（2024·四川达州中考）分解因式：$3x^2 - 18x + 27 =$
3(x-3)²
答案
$3(x-3)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数的最大公因数是3，无公共字母因式，因此先提取公因式3；提取公因式后得到$x^2-6x+9$，观察该三项式的结构，$x^2$是$x$的平方，9是3的平方，中间项$-6x=-2× x×3$，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解后的因式，确认无法再分解即可。
【解析】
解：$3x^2 - 18x + 27$
$=3(x^2 - 6x + 9)$ // 提取公因式3
$=3(x - 3)^2$ // 套用完全平方差公式分解
【答案】
$3(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意优先提取公因式，再结合多项式结构选择合适的公式，最终要保证分解结果彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数的最大公因数是3，无公共字母因式，因此先提取公因式3；提取公因式后得到$x^2-6x+9$，观察该三项式的结构，$x^2$是$x$的平方，9是3的平方，中间项$-6x=-2× x×3$，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解后的因式，确认无法再分解即可。
【解析】
解：$3x^2 - 18x + 27$
$=3(x^2 - 6x + 9)$ // 提取公因式3
$=3(x - 3)^2$ // 套用完全平方差公式分解
【答案】
$3(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意优先提取公因式，再结合多项式结构选择合适的公式，最终要保证分解结果彻底，每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85
5.(2024·北京中考)分解因式：$x^3 - 25x =$
x(x+5)(x-5)
.答案
$x(x+5)(x-5)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的$x^2-25$，其符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查因式分解的结果，确保每个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：$\begin{split}&x^3 - 25x\\=&x(x^2 - 25) \quad \mathrm{（提取公因式}x\mathrm{）}\\=&x(x+5)(x-5) \quad \mathrm{（套用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{，此处}a=x,b=5\mathrm{）}\end{split}$
【答案】
$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，考查因式分解的常规操作步骤，牢记“先提公因式、再套公式、最后核验分解彻底”的原则即可快速作答，是因式分解模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的$x^2-25$，其符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查因式分解的结果，确保每个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：$\begin{split}&x^3 - 25x\\=&x(x^2 - 25) \quad \mathrm{（提取公因式}x\mathrm{）}\\=&x(x+5)(x-5) \quad \mathrm{（套用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{，此处}a=x,b=5\mathrm{）}\end{split}$
【答案】
$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，考查因式分解的常规操作步骤，牢记“先提公因式、再套公式、最后核验分解彻底”的原则即可快速作答，是因式分解模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
6.已知$m=5$，$x=y-3$，则代数式$mx^2 -2mxy + my^2$的值为（
A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
D
）A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
答案
D
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式m，因此第一步先提取公因式m；提取公因式后剩余的多项式为x²-2xy+y²，符合完全平方差公式的形式，可进一步分解为(x-y)²，此时原式转化为m(x-y)²的形式。再根据已知条件x=y-3，变形得到x-y=-3，最后将m=5和x-y=-3整体代入分解后的式子计算即可，无需单独求解x、y的数值，能大幅简化运算。
【解析】
先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}mx^2 -2mxy + my^2&=m(x^2-2xy+y^2) \quad \mathrm{（提取公因式）} \\&=m(x-y)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方差公式：}a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
由已知$x=y-3$，移项可得$x-y=-3$。
将$m=5$，$x-y=-3$代入分解后的式子：
$\mathrm{原式}=5×(-3)^2=5×9=45$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查因式分解在代数式求值中的应用，采用先因式分解再整体代入的方法，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率，解题核心是熟练掌握因式分解的常用方法。
【难度系数】
0.75
首先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式m，因此第一步先提取公因式m；提取公因式后剩余的多项式为x²-2xy+y²，符合完全平方差公式的形式，可进一步分解为(x-y)²，此时原式转化为m(x-y)²的形式。再根据已知条件x=y-3，变形得到x-y=-3，最后将m=5和x-y=-3整体代入分解后的式子计算即可，无需单独求解x、y的数值，能大幅简化运算。
【解析】
先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}mx^2 -2mxy + my^2&=m(x^2-2xy+y^2) \quad \mathrm{（提取公因式）} \\&=m(x-y)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方差公式：}a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
由已知$x=y-3$，移项可得$x-y=-3$。
将$m=5$，$x-y=-3$代入分解后的式子：
$\mathrm{原式}=5×(-3)^2=5×9=45$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查因式分解在代数式求值中的应用，采用先因式分解再整体代入的方法，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率，解题核心是熟练掌握因式分解的常用方法。
【难度系数】
0.75
7. 分解因式：$-2x^2y + 12xy - 18y =$
-2y(x-3)²
答案
$-2y(x-3)^2$
解析
【分析】
拿到因式分解题目首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察各项是否有公因式，本题三项都含有公因式-2y，因首项系数为负，通常连同负号一起提取，保证括号内首项系数为正；提取公因式后得到多项式x²-6x+9，再观察该多项式符合完全平方公式的结构特征a²-2ab+b²，其中a对应x、b对应3，可套用完全平方公式继续分解；最后确认分解后的因式不能再继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步，提取公因式$-2y$：
$-2x^2y + 12xy - 18y = -2y(x^2 - 6x + 9)$
第二步，利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解括号内的多项式：
$x^2 - 6x + 9=(x-3)^2$
综上，原式$=-2y(x-3)^2$
【答案】
$-2y(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的基本操作步骤，解题时需注意符号问题，提取负公因式后括号内各项要变号，同时要保证最终结果分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
拿到因式分解题目首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察各项是否有公因式，本题三项都含有公因式-2y，因首项系数为负，通常连同负号一起提取，保证括号内首项系数为正；提取公因式后得到多项式x²-6x+9，再观察该多项式符合完全平方公式的结构特征a²-2ab+b²，其中a对应x、b对应3，可套用完全平方公式继续分解；最后确认分解后的因式不能再继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步，提取公因式$-2y$：
$-2x^2y + 12xy - 18y = -2y(x^2 - 6x + 9)$
第二步，利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解括号内的多项式：
$x^2 - 6x + 9=(x-3)^2$
综上，原式$=-2y(x-3)^2$
【答案】
$-2y(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的基本操作步骤，解题时需注意符号问题，提取负公因式后括号内各项要变号，同时要保证最终结果分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
8.分解因式$(a-b)(a-4b)+ab$的结果是
(a-2b)²
答案
$(a-2b)^2$
解析
【分析】
观察原式是两个多项式乘积与单项式相加的形式，无法直接提取公因式或套用公式分解，因此解题思路为：先将多项式乘积部分展开，再合并同类项得到整式和的形式，最后根据化简后式子的特征判断是否可套用乘法公式完成因式分解。
【解析】
1. 展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(a-b)(a-4b)&=a· a - a· 4b - b· a + b· 4b\\&=a^2 - 4ab - ab + 4b^2\\&=a^2 - 5ab + 4b^2\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2 - 5ab + 4b^2 + ab\\&=a^2 - 4ab + 4b^2\end{aligned}$
3. 套用完全平方差公式分解：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = (a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查“先化简再分解”的解题逻辑，运算过程中注意整式乘法的符号规则，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
观察原式是两个多项式乘积与单项式相加的形式，无法直接提取公因式或套用公式分解，因此解题思路为：先将多项式乘积部分展开，再合并同类项得到整式和的形式，最后根据化简后式子的特征判断是否可套用乘法公式完成因式分解。
【解析】
1. 展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(a-b)(a-4b)&=a· a - a· 4b - b· a + b· 4b\\&=a^2 - 4ab - ab + 4b^2\\&=a^2 - 5ab + 4b^2\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2 - 5ab + 4b^2 + ab\\&=a^2 - 4ab + 4b^2\end{aligned}$
3. 套用完全平方差公式分解：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = (a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查“先化简再分解”的解题逻辑，运算过程中注意整式乘法的符号规则，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.分解因式：
(1)$169(a-b)^2 - 196(a+b)^2$；
(2)$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$.
(1)$169(a-b)^2 - 196(a+b)^2$；
(2)$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$.
答案
(1)原式$=[13(a-b)]^2-[14(a+b)]^2=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b)$。
(2)原式$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy=x^2-16y^2=(x-4y)(x+4y)$。
(2)原式$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy=x^2-16y^2=(x-4y)(x+4y)$。
解析
【分析】
(1) 观察第一问的式子，两项均为完全平方形式且符号相反，符合平方差公式的结构特征，先将两项分别转化为整式的平方形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，之后对分解后括号内的整式去括号、合并同类项，最后整理符号即可。
(2) 第二问的式子含有括号，无法直接分解，先去括号、合并同类项化简式子，化简后得到的式子依然符合平方差公式特征，再套用平方差公式完成分解即可。
【解析】
(1) 原式变形为平方差结构：
$=[13(a-b)]^2-[14(a+b)]^2$
根据平方差公式分解：
$=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]$
分别化简两个括号：
$13(a-b)+14(a+b)=13a-13b+14a+14b=27a+b$
$13(a-b)-14(a+b)=13a-13b-14a-14b=-a-27b$
整理得：
$=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b)$
(2) 先去括号展开原式：
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
合并同类项：
$=x^2-16y^2$
根据平方差公式分解：
$=(x-4y)(x+4y)$
【答案】
(1) $-(27a+b)(a+27b)$
(2) $(x-4y)(x+4y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式加减运算
3. 合并同类项
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时优先观察式子结构，符合乘法公式特征可直接套用公式；若式子含括号需先化简整理，再判断分解方法，注意最终分解结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一问的式子，两项均为完全平方形式且符号相反，符合平方差公式的结构特征，先将两项分别转化为整式的平方形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，之后对分解后括号内的整式去括号、合并同类项，最后整理符号即可。
(2) 第二问的式子含有括号，无法直接分解，先去括号、合并同类项化简式子，化简后得到的式子依然符合平方差公式特征，再套用平方差公式完成分解即可。
【解析】
(1) 原式变形为平方差结构：
$=[13(a-b)]^2-[14(a+b)]^2$
根据平方差公式分解：
$=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]$
分别化简两个括号：
$13(a-b)+14(a+b)=13a-13b+14a+14b=27a+b$
$13(a-b)-14(a+b)=13a-13b-14a-14b=-a-27b$
整理得：
$=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b)$
(2) 先去括号展开原式：
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
合并同类项：
$=x^2-16y^2$
根据平方差公式分解：
$=(x-4y)(x+4y)$
【答案】
(1) $-(27a+b)(a+27b)$
(2) $(x-4y)(x+4y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式加减运算
3. 合并同类项
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时优先观察式子结构，符合乘法公式特征可直接套用公式；若式子含括号需先化简整理，再判断分解方法，注意最终分解结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
10. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:$9x^2 -6xy + y^2 -16$.
(2)若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
②若满足$a^2 + b^2 =12a +8b -52$,求$c$的取值范围.
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式:$9x^2 -6xy + y^2 -16$.
(2)若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
②若满足$a^2 + b^2 =12a +8b -52$,求$c$的取值范围.
答案
(1)原式$=(9x^2-6xy+y^2)-16=(3x-y)^2-4^2=(3x-y+4)(3x-y-4)$。
(2)①$△ ABC$为等腰三角形,理由如下：
已知$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$，
变形得$(a-b)c+(a-b)^2=0$，
即$(a-b)(a-b+c)=0$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
所以$a-b+c＞0$，
所以$a-b=0$，
所以$a=b$,即$△ ABC$为等腰三角形。
②已知$a^2+b^2=12a+8b-52$，
整理得$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$，
即$(a-6)^2+(b-4)^2=0$，
那么$a-6=0,b-4=0$，
解得$a=6,b=4$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
所以$a-b＜c＜a+b$,即$6-4＜c＜6+4$，
所以$2＜c＜10$,即$c$的取值范围为$2＜c＜10$。
(2)①$△ ABC$为等腰三角形,理由如下：
已知$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$，
变形得$(a-b)c+(a-b)^2=0$，
即$(a-b)(a-b+c)=0$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
所以$a-b+c＞0$，
所以$a-b=0$，
所以$a=b$,即$△ ABC$为等腰三角形。
②已知$a^2+b^2=12a+8b-52$，
整理得$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$，
即$(a-6)^2+(b-4)^2=0$，
那么$a-6=0,b-4=0$，
解得$a=6,b=4$。
因为$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
所以$a-b＜c＜a+b$,即$6-4＜c＜6+4$，
所以$2＜c＜10$,即$c$的取值范围为$2＜c＜10$。
解析
【分析】
本题参考甲、乙同学的分组分解因式思路解题：
(1) 观察多项式发现前三项可构成完全平方式，先将前三项分组凑完全平方，再整体用平方差公式即可完成分解；
(2) ① 先对等式左侧的式子分组，将含c的项提公因式，剩余二次三项式凑完全平方，再整体提公因式，结合三角形三边关系判断因式的取值，即可得到边的数量关系，判断三角形形状；
② 先将等式右侧的项移至左侧，分组凑两个完全平方，根据平方的非负性求出a、b的取值，再用三角形三边关系即可求出c的取值范围。
【解析】
(1) 分解因式$9x^2 -6xy + y^2 -16$：
将前三项分组，得：
原式$=(9x^2-6xy+y^2)-16$
前三项利用完全平方公式化简，得：
$=(3x-y)^2-4^2$
再利用平方差公式分解，得：
$=(3x-y+4)(3x-y-4)$
(2) ① 判断$△ ABC$的形状：
已知$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$，
对式子变形，前两项提公因式$c$，后三项凑完全平方，得：
$(a-b)c+(a-b)^2=0$
整体提公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(a-b+c)=0$
因为$a,b,c$为$△ ABC$三边的长，根据三角形两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$，
因此仅$a-b=0$，即$a=b$，故$△ ABC$为等腰三角形。
② 求$c$的取值范围：
已知$a^2 + b^2 =12a +8b -52$，
将右侧的项移至左侧，分组配方，得：
$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$
写成完全平方形式，得：
$(a-6)^2+(b-4)^2=0$
根据平方的非负性，两个非负数相加和为0则两数均为0，得$a-6=0$，$b-4=0$，解得$a=6$，$b=4$。
根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得$a-b ＜ c ＜ a+b$，代入数值计算得$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$。
【答案】
(1) $\boxed{(3x-y+4)(3x-y-4)}$
(2) ① $△ ABC$为等腰三角形；② $\boxed{2 ＜ c ＜ 10}$
【知识点】
分组分解因式，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解与三角形性质结合考察，需要熟练掌握分组分解、配方法等因式分解技巧，同时能结合几何性质分析代数式的取值，是代数几何综合的基础题型，对知识的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题参考甲、乙同学的分组分解因式思路解题：
(1) 观察多项式发现前三项可构成完全平方式，先将前三项分组凑完全平方，再整体用平方差公式即可完成分解；
(2) ① 先对等式左侧的式子分组，将含c的项提公因式，剩余二次三项式凑完全平方，再整体提公因式，结合三角形三边关系判断因式的取值，即可得到边的数量关系，判断三角形形状；
② 先将等式右侧的项移至左侧，分组凑两个完全平方，根据平方的非负性求出a、b的取值，再用三角形三边关系即可求出c的取值范围。
【解析】
(1) 分解因式$9x^2 -6xy + y^2 -16$：
将前三项分组，得：
原式$=(9x^2-6xy+y^2)-16$
前三项利用完全平方公式化简，得：
$=(3x-y)^2-4^2$
再利用平方差公式分解，得：
$=(3x-y+4)(3x-y-4)$
(2) ① 判断$△ ABC$的形状：
已知$ac - bc + a^2 -2ab + b^2 =0$，
对式子变形，前两项提公因式$c$，后三项凑完全平方，得：
$(a-b)c+(a-b)^2=0$
整体提公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(a-b+c)=0$
因为$a,b,c$为$△ ABC$三边的长，根据三角形两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$，
因此仅$a-b=0$，即$a=b$，故$△ ABC$为等腰三角形。
② 求$c$的取值范围：
已知$a^2 + b^2 =12a +8b -52$，
将右侧的项移至左侧，分组配方，得：
$a^2-12a+36+b^2-8b+16=0$
写成完全平方形式，得：
$(a-6)^2+(b-4)^2=0$
根据平方的非负性，两个非负数相加和为0则两数均为0，得$a-6=0$，$b-4=0$，解得$a=6$，$b=4$。
根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得$a-b ＜ c ＜ a+b$，代入数值计算得$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$。
【答案】
(1) $\boxed{(3x-y+4)(3x-y-4)}$
(2) ① $△ ABC$为等腰三角形；② $\boxed{2 ＜ c ＜ 10}$
【知识点】
分组分解因式，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解与三角形性质结合考察，需要熟练掌握分组分解、配方法等因式分解技巧，同时能结合几何性质分析代数式的取值，是代数几何综合的基础题型，对知识的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
