基础知识·预习
问题1 分解因式的要点是什么？
问题2 分解因式时应注意什么？

解：
问题1 分解因式的要点：
① 分解的对象是多项式，最终结果必须是几个整式的乘积形式，不能保留和差形式；
② 分解过程是恒等变形，变形前后式子的数值保持不变；
③ 分解要彻底，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
问题2 分解因式时应注意：
① 优先提取公因式：先观察多项式各项的公因式，有公因式的首先提取公因式，若多项式首项为负，一般先提出负号，同时括号内的各项都要变号；
② 合理选择分解方法：提取公因式后，剩余的二项式优先考虑用平方差公式分解，剩余的三项式优先考虑用完全平方公式分解；
③ 结果要规范整理：最终结果中相同的因式要写成幂的形式，所有因式内部要合并同类项，确认所有因式都不能再继续分解。

【分析】
本题考查因式分解的基础要点与实操注意事项，属于基础识记类题目。解题思路如下：首先回忆因式分解的核心定义，从定义延伸出分解因式的本质要求，对应解答问题1；再从日常做因式分解题的操作流程入手，按“先提公因式、再选方法、最后整理结果”的步骤梳理实操中的注意事项，对应解答问题2，分点表述即可。
【解析】
我们分别对两个问题作答：
问题1 分解因式的要点：
① 分解的对象是多项式，最终结果必须是几个整式的乘积形式，不能保留和差形式；
② 分解过程是恒等变形，变形前后式子的数值保持不变；
③ 分解要彻底，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
问题2 分解因式时应注意：
① 优先提取公因式：先观察多项式各项的公因式，有公因式的首先提取公因式，若多项式首项为负，一般先提出负号，同时括号内的各项都要变号；
② 合理选择分解方法：提取公因式后，剩余的二项式优先考虑用平方差公式分解，剩余的三项式优先考虑用完全平方公式分解；
③ 结果要规范整理：最终结果中相同的因式要写成幂的形式，所有因式内部要合并同类项，确认所有因式都不能再继续分解。
【答案】
问题1 分解因式的要点：
① 分解的对象是多项式，最终结果必须是几个整式的乘积形式，不能保留和差形式；
② 分解过程是恒等变形，变形前后式子的数值保持不变；
③ 分解要彻底，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
问题2 分解因式时应注意：
① 优先提取公因式：先观察多项式各项的公因式，有公因式的首先提取公因式，若多项式首项为负，一般先提出负号，同时括号内的各项都要变号；
② 合理选择分解方法：提取公因式后，剩余的二项式优先考虑用平方差公式分解，剩余的三项式优先考虑用完全平方公式分解；
③ 结果要规范整理：最终结果中相同的因式要写成幂的形式，所有因式内部要合并同类项，确认所有因式都不能再继续分解。
【知识点】
1.因式分解的定义
2.因式分解的操作步骤
3.因式分解的规范要求
【点评】
本题是因式分解的基础概念类题目，考查的内容是因式分解运算的核心准则和操作规范，是熟练掌握因式分解技能的前提，准确牢记相关要点可有效避免后续因式分解运算中出现概念性、规范性错误。
【难度系数】
0.85

【典型例题】将下列各式分解因式：
(1)$x^3y - 2x^2y + xy$；
(2)$(a - b)^2 + 4ab$；
(3)$(x^2 - 8)^2 + 8(x^2 - 8) + 16$。
【解】(1)原式$=xy(x^2 - 2x + 1)$
$=xy(x - 1)^2$。
(2)原式$=a^2 - 2ab + b^2 + 4ab$
$=a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$。
(3)原式$=[(x^2 - 8) + 4]^2$
$=(x^2 - 4)^2=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$。

解：
(1) 原式$=xy(x^2 - 2x + 1)$
$=xy(x-1)^2$
(2) 原式$=a^2 - 2ab + b^2 + 4ab$
$=a^2 + 2ab + b^2$
$=(a + b)^2$
(3) 原式$=[(x^2 - 8) + 4]^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$

【分析】
分解因式遵循“一提、二套、三查”的基本思路：1.先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；2.再观察提取公因式后剩余的多项式结构，对应匹配完全平方公式或平方差公式进行分解；3.最后检查每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。
针对三个小题具体思路：
(1) 先观察到多项式每一项都含有公因式$xy$，先提取公因式，再判断剩余的$x^2-2x+1$符合完全平方公式的形式，继续分解即可；
(2) 先将$(a-b)^2$展开，合并同类项后得到的多项式符合完全平方公式的形式，直接套用公式分解；
(3) 将$(x^2-8)$看作一个整体，原式符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，先套用完全平方公式，再判断得到的$x^2-4$符合平方差公式的形式，继续分解，最后将幂的乘方运算落实到每个因式即可。
【解析】
(1) 原式$=xy(x^2 - 2x + 1)$
$=xy(x-1)^2$
(2) 原式$=a^2 - 2ab + b^2 + 4ab$
$=a^2 + 2ab + b^2$
$=(a + b)^2$
(3) 原式$=[(x^2 - 8) + 4]^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$
【答案】
(1)$xy(x-1)^2$；(2)$(a+b)^2$；(3)$(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查分解因式的基本方法，解题时需严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的步骤操作，尤其注意整体思想的运用，遇到结构复杂的多项式可将重复出现的部分看作整体套用公式，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75

1.（2024·四川眉山中考）分解因式：
$3a^3 -12a =$ .

原式$=3a(a^2 - 4)=3a(a+2)(a-2)$。

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合就套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解为止。本题先提取公因式3a后，剩余的$a^2-4$符合平方差公式的结构，可继续分解。
【解析】
第一步：提取公因式$3a$，可得：
原式$=3a(a^2 - 4)$
第二步：$a^2-4$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，其中$m=a$，$n=2$，代入公式继续分解得：
$=3a(a+2)(a-2)$
此时每个因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$3a(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，考查因式分解的基本步骤，解题时要注意分解结果必须彻底，避免出现仅提取公因式未继续分解的常见错误。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：
(1) $2ax^2 + 12axy + 18ay^2$；
(2) $-a^2b - 49b + 14ab$；
(3) $a^2(x - y) + b^2(y - x)$。

(1)原式$=2a(x^2+6xy+9y^2)=2a(x+3y)^2$。
(2)原式$=-b(a^2-14a+49)=-b(a-7)^2$。
(3)原式$=a^2(x-y)-b^2(x-y)=(x-y)(a^2-b^2)=(x-y)(a+b)(a-b)$。

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路：①先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；②再看提取公因式后的多项式的项数，三项式考虑完全平方公式，两项式考虑平方差公式；③最后检查因式分解是否彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
(1) 先提取公因式2a，余下的$x^2+6xy+9y^2$是三项式，符合完全平方公式特征，套公式分解即可；
(2) 先提取公因式$-b$，余下的$a^2-14a+49$是三项式，符合完全平方公式特征，套公式分解即可；
(3) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$，余下的$a^2-b^2$是两项式，符合平方差公式特征，继续套公式分解到不能分解为止。
【解析】
(1) 原式$=2a(x^2+6xy+9y^2)=2a(x+3y)^2$
(2) 原式$=-b(a^2-14a+49)=-b(a-7)^2$
(3) 原式$=a^2(x-y)-b^2(x-y)=(x-y)(a^2-b^2)=(x-y)(a+b)(a-b)$
【答案】
(1) $2a(x+3y)^2$
(2) $-b(a-7)^2$
(3) $(x-y)(a+b)(a-b)$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需牢记“先提公因式，再套公式，最后检查分解是否彻底”的步骤，符号变形是本题的易错点，掌握基本方法即可快速解答。
【难度系数】
0.75