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1. 将下列各式分解因式,结果中不含有因式$x+2$的是 (
A.$x^2 - 4$
B.$(x-2)^2 + 8(x-2) + 16$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$x^2 + 2x$
C
)A.$x^2 - 4$
B.$(x-2)^2 + 8(x-2) + 16$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$x^2 + 2x$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个选项分解因式后不含因式$x+2$，只需将四个选项分别用对应的因式分解方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）进行分解，再检查分解结果中是否存在因式$x+2$即可。
【解析】
我们逐个对选项进行因式分解：
选项A：$x^2-4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，代入得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，含有因式$x+2$，不符合要求；
选项B：将$(x-2)$看作整体，式子$(x-2)^2 + 8(x-2) + 16$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a=x-2$，$b=4$，代入得$(x-2+4)^2=(x+2)^2$，含有因式$x+2$，不符合要求；
选项C：$x^2-4x+4$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，代入得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因式为$x-2$，不含$x+2$，符合要求；
选项D：提取公因式$x$，得$x^2+2x=x(x+2)$，含有因式$x+2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解
2.平方差公式
3.完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解基本方法的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征，准确对多项式进行因式分解即可快速判断。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项分解因式后不含因式$x+2$，只需将四个选项分别用对应的因式分解方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）进行分解，再检查分解结果中是否存在因式$x+2$即可。
【解析】
我们逐个对选项进行因式分解：
选项A：$x^2-4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，代入得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，含有因式$x+2$，不符合要求；
选项B：将$(x-2)$看作整体，式子$(x-2)^2 + 8(x-2) + 16$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a=x-2$，$b=4$，代入得$(x-2+4)^2=(x+2)^2$，含有因式$x+2$，不符合要求；
选项C：$x^2-4x+4$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，代入得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因式为$x-2$，不含$x+2$，符合要求；
选项D：提取公因式$x$，得$x^2+2x=x(x+2)$，含有因式$x+2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解
2.平方差公式
3.完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解基本方法的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征，准确对多项式进行因式分解即可快速判断。
【难度系数】
0.85
2. 把代数式$-x^2 + 4x - 4$分解因式，结果正确的是（
A.$(x+2)^2$
B.$(x-2)^2$
C.$-(x+2)^2$
D.$-(x-2)^2$
D
）A.$(x+2)^2$
B.$(x-2)^2$
C.$-(x+2)^2$
D.$-(x-2)^2$
答案
2.D
解析
【分析】
要对多项式$-x^2 + 4x - 4$分解因式，首先观察多项式的特征：首项系数为负数，且是二次三项式结构。解题思路分为两步：第一步先提取负号，将括号内的多项式转化为首项系数为正的二次三项式；第二步回忆完全平方公式的结构$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，判断括号内的三项是否符合完全平方公式的特征，对应代入公式分解即可，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
分解因式$-x^2 + 4x - 4$步骤如下：
1. 提取负号，将首项系数化为正：
$-x^2 + 4x - 4=-(x^2 - 4x + 4)$
2. 观察括号内的多项式$x^2 - 4x + 4$，其中$x^2$对应完全平方公式中的$a^2$，$4=2^2$对应公式中的$b^2$，中间项$-4x=-2× x×2$，符合完全平方差公式的结构，因此：
$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$
3. 代入得原式分解结果为：$-(x-2)^2$
对应选项，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意优先处理负系数的首项，再结合多项式的结构选择对应的公式分解，过程中要格外注意符号的变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
要对多项式$-x^2 + 4x - 4$分解因式，首先观察多项式的特征：首项系数为负数，且是二次三项式结构。解题思路分为两步：第一步先提取负号，将括号内的多项式转化为首项系数为正的二次三项式；第二步回忆完全平方公式的结构$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，判断括号内的三项是否符合完全平方公式的特征，对应代入公式分解即可，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
分解因式$-x^2 + 4x - 4$步骤如下：
1. 提取负号，将首项系数化为正：
$-x^2 + 4x - 4=-(x^2 - 4x + 4)$
2. 观察括号内的多项式$x^2 - 4x + 4$，其中$x^2$对应完全平方公式中的$a^2$，$4=2^2$对应公式中的$b^2$，中间项$-4x=-2× x×2$，符合完全平方差公式的结构，因此：
$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$
3. 代入得原式分解结果为：$-(x-2)^2$
对应选项，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需注意优先处理负系数的首项，再结合多项式的结构选择对应的公式分解，过程中要格外注意符号的变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
3.如果多项式$x^2+1$加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么添加的单项式不可以是（
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
D
）A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
答案
3.D 【解析】$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2},x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},\frac{1}{4}x^{4}+x^{2}+1=(\frac{1}{2}x^{2}+1)^{2},x^{2}+1$ 加上$-\frac{1}{4}x^{4}$,无法构成完全平方式,故选D.
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式为$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$，共三项，两个平方项同号，中间项为两数乘积的2倍。本题已有两项$x^2$和$1$，分两种情况讨论：①若$x^2$和$1$均为平方项，则缺少的中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，对应选项A、B都符合要求；②若$x^2$为中间的乘积2倍项，其中一个平方项为$1$，则另一个平方项为$(\frac{x^2}{2×1})^2=\frac{1}{4}x^4$，对应选项C符合要求。最后验证剩余选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项C：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后得到的式子为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法构成完全平方式，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解，完全平方式
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的理解，需要分类讨论已知两项在完全平方式中的角色，避免漏判，是对因式分解基础概念的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式为$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$，共三项，两个平方项同号，中间项为两数乘积的2倍。本题已有两项$x^2$和$1$，分两种情况讨论：①若$x^2$和$1$均为平方项，则缺少的中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，对应选项A、B都符合要求；②若$x^2$为中间的乘积2倍项，其中一个平方项为$1$，则另一个平方项为$(\frac{x^2}{2×1})^2=\frac{1}{4}x^4$，对应选项C符合要求。最后验证剩余选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项C：$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求；
选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后得到的式子为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，无法构成完全平方式，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解，完全平方式
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的理解，需要分类讨论已知两项在完全平方式中的角色，避免漏判，是对因式分解基础概念的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
4.分解因式:$x^2 -4xy +4y^2 = \_\_\_\_\_\_$
答案
4.$(x-2y)^2$ 【解析】$x^{2}-4xy+4y^{2}=x^{2}-4xy+(2y)^{2}=(x-2y)^{2}.$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式结构，这是一个三项式，先识别平方项：首项$x^2$是$x$的平方，末项$4y^2$可变形为$(2y)^2$；再验证中间项：$-4xy$恰好是$x$与$2y$乘积的2倍的相反数，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，因此可直接套用公式完成因式分解。
【解析】
$x^{2}-4xy+4y^{2}$
$=x^{2}-2· x· 2y+(2y)^{2}$
$=(x-2y)^{2}$
【答案】
$(x-2y)^2$
【知识点】
1.公式法因式分解
2.完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对完全平方公式结构的识别能力，解题关键是准确匹配公式中的对应项，注意中间项的符号与分解后括号内的运算符号保持一致。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的多项式结构，这是一个三项式，先识别平方项：首项$x^2$是$x$的平方，末项$4y^2$可变形为$(2y)^2$；再验证中间项：$-4xy$恰好是$x$与$2y$乘积的2倍的相反数，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，因此可直接套用公式完成因式分解。
【解析】
$x^{2}-4xy+4y^{2}$
$=x^{2}-2· x· 2y+(2y)^{2}$
$=(x-2y)^{2}$
【答案】
$(x-2y)^2$
【知识点】
1.公式法因式分解
2.完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对完全平方公式结构的识别能力，解题关键是准确匹配公式中的对应项，注意中间项的符号与分解后括号内的运算符号保持一致。
【难度系数】
0.9
5.分解因式：$(a+1)^2 -4a=$
$(a-1)^2$
.答案
5.$(a-1)^2$ 【解析】$(a+1)^{2}-4a=a^{2}+2a+1-4a=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}.$
解析
【分析】
解题时先观察原式的结构，原式包含完全平方形式$(a+1)^2$，首先利用完全平方公式将其展开，再合并同类项得到二次三项式，最后判断二次三项式是否符合完全平方公式的结构，套用公式完成因式分解即可。
【解析】
第一步，展开完全平方项：
$(a+1)^2 -4a = a^2 + 2a + 1 - 4a$
第二步，合并同类项：
$a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1$
第三步，运用完全平方差公式分解因式：
$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$
【答案】
$(a-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项、因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式的掌握与运用，解题时需要先对整式展开化简，再识别完全平方式完成分解，是因式分解模块的基础题型，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.9
解题时先观察原式的结构，原式包含完全平方形式$(a+1)^2$，首先利用完全平方公式将其展开，再合并同类项得到二次三项式，最后判断二次三项式是否符合完全平方公式的结构，套用公式完成因式分解即可。
【解析】
第一步，展开完全平方项：
$(a+1)^2 -4a = a^2 + 2a + 1 - 4a$
第二步，合并同类项：
$a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1$
第三步，运用完全平方差公式分解因式：
$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$
【答案】
$(a-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项、因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式的掌握与运用，解题时需要先对整式展开化简，再识别完全平方式完成分解，是因式分解模块的基础题型，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.9
6. 利用因式分解计算：
(1) $6.5^2 - 13 × 3.5 + 3.5^2$；
(2) $101^2 + 101 × 198 + 99^2$。
(1) $6.5^2 - 13 × 3.5 + 3.5^2$；
(2) $101^2 + 101 × 198 + 99^2$。
答案
6.【解】(1) 原式$=6.5^{2}-2× 6.5× 3.5+3.5^{2}=(6.5-3.5)^{2}=3^{2}=9.$
(2) 原式$=101^{2}+2× 101× 99+99^{2}=(101+99)^{2}=200^{2}=40000.$
(2) 原式$=101^{2}+2× 101× 99+99^{2}=(101+99)^{2}=200^{2}=40000.$
解析
【分析】
拿到这类利用因式分解简便计算的题目，首先观察式子结构：两个小题都含有两个数的平方项，优先匹配完全平方公式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
对于(1)，先看两个平方项的底数是6.5和3.5，中间项$13×3.5$中13刚好是$2×6.5$，可将中间项改写为$2×6.5×3.5$，刚好符合完全平方差公式的结构，代入公式即可简化计算。
对于(2)，两个平方项的底数是101和99，中间项$101×198$中198刚好是$2×99$，可将中间项改写为$2×101×99$，刚好符合完全平方和公式的结构，代入公式即可简化计算。
【解析】
(1) 先将原式变形为完全平方差公式的标准形式：
原式$=6.5^2 - 2×6.5×3.5 + 3.5^2$
根据完全平方差公式因式分解得：
$=(6.5 - 3.5)^2$
计算得：
$=3^2=9$
(2) 先将原式变形为完全平方和公式的标准形式：
原式$=101^2 + 2×101×99 + 99^2$
根据完全平方和公式因式分解得：
$=(101 + 99)^2$
计算得：
$=200^2=40000$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
完全平方公式因式分解、因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的典型应用，解题核心是准确识别式子的结构特征，将原式变形为完全平方公式的标准形式，避免直接计算大数的平方，有效降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.8
拿到这类利用因式分解简便计算的题目，首先观察式子结构：两个小题都含有两个数的平方项，优先匹配完全平方公式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
对于(1)，先看两个平方项的底数是6.5和3.5，中间项$13×3.5$中13刚好是$2×6.5$，可将中间项改写为$2×6.5×3.5$，刚好符合完全平方差公式的结构，代入公式即可简化计算。
对于(2)，两个平方项的底数是101和99，中间项$101×198$中198刚好是$2×99$，可将中间项改写为$2×101×99$，刚好符合完全平方和公式的结构，代入公式即可简化计算。
【解析】
(1) 先将原式变形为完全平方差公式的标准形式：
原式$=6.5^2 - 2×6.5×3.5 + 3.5^2$
根据完全平方差公式因式分解得：
$=(6.5 - 3.5)^2$
计算得：
$=3^2=9$
(2) 先将原式变形为完全平方和公式的标准形式：
原式$=101^2 + 2×101×99 + 99^2$
根据完全平方和公式因式分解得：
$=(101 + 99)^2$
计算得：
$=200^2=40000$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
完全平方公式因式分解、因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的典型应用，解题核心是准确识别式子的结构特征，将原式变形为完全平方公式的标准形式，避免直接计算大数的平方，有效降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.8
7.分解因式：
(1)$m(m+4)+4$；
(2)$9x^2 -24xy +16y^2$；
(3)$(m+n)^2 -6(m+n)+9$；
(4)$4+12(x-y)+9(x-y)^2$。
(1)$m(m+4)+4$；
(2)$9x^2 -24xy +16y^2$；
(3)$(m+n)^2 -6(m+n)+9$；
(4)$4+12(x-y)+9(x-y)^2$。
答案
7.【解】(1)$m(m+4)+4=m^{2}+4m+4=(m+2)^{2}.$
(2)$9x^{2}-24xy+16y^{2}=(3x)^{2}-2· 3x· 4y+(4y)^{2}=(3x-4y)^{2}.$
(3)$(m+n)^{2}-6(m+n)+9=(m+n)^{2}-2·(m+n)· 3+3^{2}=(m+n-3)^{2}.$
(4)$4+12(x-y)+9(x-y)^{2}=2^{2}+2× 2· 3(x-y)+[3(x-y)]^{2}=[2+3(x-y)]^{2}=(3x-3y+2)^{2}.$
(2)$9x^{2}-24xy+16y^{2}=(3x)^{2}-2· 3x· 4y+(4y)^{2}=(3x-4y)^{2}.$
(3)$(m+n)^{2}-6(m+n)+9=(m+n)^{2}-2·(m+n)· 3+3^{2}=(m+n-3)^{2}.$
(4)$4+12(x-y)+9(x-y)^{2}=2^{2}+2× 2· 3(x-y)+[3(x-y)]^{2}=[2+3(x-y)]^{2}=(3x-3y+2)^{2}.$
解析
【分析】
这4道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题思路如下：①先观察式子是否需要先展开化简（如第(1)题需先计算整式乘法得到三项式）；②区分式子中的两个平方项（$a^2$、$b^2$）和中间的乘积两倍项（$\pm2ab$），对于含有整体代数式的（如第(3)(4)题中的$m+n$、$x-y$），可将整体看作公式中的$a$或$b$；③代入完全平方公式完成因式分解，最后检查结果是否化简彻底。
【解析】
(1) 先计算整式乘法，再套用完全平方公式：
$m(m+4)+4=m^2+4m+4=m^2+2· m·2+2^2=(m+2)^2$
(2) 直接识别平方项和中间项，套用差的完全平方公式：
$9x^2-24xy+16y^2=(3x)^2-2·3x·4y+(4y)^2=(3x-4y)^2$
(3) 将$m+n$看作整体，套用完全平方公式：
$(m+n)^2-6(m+n)+9=(m+n)^2-2·(m+n)·3+3^2=(m+n-3)^2$
(4) 将$x-y$相关项看作整体，先套用完全平方公式再整理化简：
$4+12(x-y)+9(x-y)^2=2^2+2×2·3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2+3(x-y)]^2=(3x-3y+2)^2$
【答案】
(1)$(m+2)^2$；(2)$(3x-4y)^2$；(3)$(m+n-3)^2$；(4)$(3x-3y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式；整式乘法运算；整体思想应用
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，侧重考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，解题时要准确识别公式中对应的$a$、$b$项，遇到整体形式的代数式时优先用整体法分析，最后注意结果要化到最简形式。
【难度系数】
0.85
这4道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题思路如下：①先观察式子是否需要先展开化简（如第(1)题需先计算整式乘法得到三项式）；②区分式子中的两个平方项（$a^2$、$b^2$）和中间的乘积两倍项（$\pm2ab$），对于含有整体代数式的（如第(3)(4)题中的$m+n$、$x-y$），可将整体看作公式中的$a$或$b$；③代入完全平方公式完成因式分解，最后检查结果是否化简彻底。
【解析】
(1) 先计算整式乘法，再套用完全平方公式：
$m(m+4)+4=m^2+4m+4=m^2+2· m·2+2^2=(m+2)^2$
(2) 直接识别平方项和中间项，套用差的完全平方公式：
$9x^2-24xy+16y^2=(3x)^2-2·3x·4y+(4y)^2=(3x-4y)^2$
(3) 将$m+n$看作整体，套用完全平方公式：
$(m+n)^2-6(m+n)+9=(m+n)^2-2·(m+n)·3+3^2=(m+n-3)^2$
(4) 将$x-y$相关项看作整体，先套用完全平方公式再整理化简：
$4+12(x-y)+9(x-y)^2=2^2+2×2·3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2+3(x-y)]^2=(3x-3y+2)^2$
【答案】
(1)$(m+2)^2$；(2)$(3x-4y)^2$；(3)$(m+n-3)^2$；(4)$(3x-3y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式；整式乘法运算；整体思想应用
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，侧重考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，解题时要准确识别公式中对应的$a$、$b$项，遇到整体形式的代数式时优先用整体法分析，最后注意结果要化到最简形式。
【难度系数】
0.85
8.若$x^2+2(m-3)x+16$是关于$x$的完全平方式，则$m$的值为（
A.7
B.$-1$
C.$-1$或7
D.1或$-7$
C
）A.7
B.$-1$
C.$-1$或7
D.1或$-7$
答案
8.C 【解析】 因为$x^{2}+2(m-3)x+16=x^{2}+2(m-3)x+4^{2}$是关于$x$的完全平方式，
所以$2(m-3)x=\pm 2× x× 4=\pm 8x$，
即$2(m-3)=\pm 8$，
解得$m=-1$或$m=7.$
所以$2(m-3)x=\pm 2× x× 4=\pm 8x$，
即$2(m-3)=\pm 8$，
解得$m=-1$或$m=7.$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种情况。观察题目给出的多项式，首项是$x^2$（对应$a^2$，即$a=x$），常数项是16也就是$4^2$（对应$b^2$，即$b=4$），接下来只需让多项式的中间项等于$\pm2ab$，将系数对应相等列出关于m的方程，即可求解m的取值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
因为$x^2+2(m-3)x+16=x^2+2(m-3)x+4^2$是关于x的完全平方式，根据完全平方式的结构特征，中间项满足：
$2(m-3)x=\pm 2× x×4=\pm8x$
约去x后可得：
$2(m-3)=\pm8$
分两种情况求解：
①当$2(m-3)=8$时，两边除以2得$m-3=4$，解得$m=7$；
②当$2(m-3)=-8$时，两边除以2得$m-3=-4$，解得$m=-1$。
因此m的值为-1或7。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方式的特征 2.解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构，解题的易错点是只考虑和的平方这一种情况，忽略差的平方的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种情况。观察题目给出的多项式，首项是$x^2$（对应$a^2$，即$a=x$），常数项是16也就是$4^2$（对应$b^2$，即$b=4$），接下来只需让多项式的中间项等于$\pm2ab$，将系数对应相等列出关于m的方程，即可求解m的取值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
因为$x^2+2(m-3)x+16=x^2+2(m-3)x+4^2$是关于x的完全平方式，根据完全平方式的结构特征，中间项满足：
$2(m-3)x=\pm 2× x×4=\pm8x$
约去x后可得：
$2(m-3)=\pm8$
分两种情况求解：
①当$2(m-3)=8$时，两边除以2得$m-3=4$，解得$m=7$；
②当$2(m-3)=-8$时，两边除以2得$m-3=-4$，解得$m=-1$。
因此m的值为-1或7。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方式的特征 2.解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构，解题的易错点是只考虑和的平方这一种情况，忽略差的平方的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知$a - b = 1$，则$a^3 - a^2b + b^2 - 2ab$的值为
1
。答案
9.1 【解析】因为$a-b=1$，
所以$a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab=a^{2}(a-b)+b^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}=1.$
所以$a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab=a^{2}(a-b)+b^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}=1.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件为$a-b=1$，目标是将所求代数式变形为含$a-b$的形式，再整体代入求值。第一步先观察代数式前两项$a^3 - a^2b$，可提取公因式$a^2$，得到$a^2(a-b)$，代入$a-b=1$即可将前两项化简为$a^2$；此时原式化简为$a^2 + b^2 - 2ab$，恰好符合完全平方公式的结构，逆用完全平方公式可变形为$(a-b)^2$，最后代入$a-b=1$即可求出结果。
【解析】
已知$a - b = 1$，对所求代数式逐步变形：
$\begin{aligned}a^3 - a^2b + b^2 - 2ab&=a^2(a - b) + b^2 - 2ab\\&=a^2×1 + b^2 - 2ab\\&=a^2 - 2ab + b^2\\&=(a - b)^2\end{aligned}$
将$a - b = 1$代入上式，得$(a - b)^2=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心是利用因式分解对所求代数式进行合理变形，将已知条件整体代入简化计算，要求学生熟练掌握因式分解的基本方法，具备一定的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件为$a-b=1$，目标是将所求代数式变形为含$a-b$的形式，再整体代入求值。第一步先观察代数式前两项$a^3 - a^2b$，可提取公因式$a^2$，得到$a^2(a-b)$，代入$a-b=1$即可将前两项化简为$a^2$；此时原式化简为$a^2 + b^2 - 2ab$，恰好符合完全平方公式的结构，逆用完全平方公式可变形为$(a-b)^2$，最后代入$a-b=1$即可求出结果。
【解析】
已知$a - b = 1$，对所求代数式逐步变形：
$\begin{aligned}a^3 - a^2b + b^2 - 2ab&=a^2(a - b) + b^2 - 2ab\\&=a^2×1 + b^2 - 2ab\\&=a^2 - 2ab + b^2\\&=(a - b)^2\end{aligned}$
将$a - b = 1$代入上式，得$(a - b)^2=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心是利用因式分解对所求代数式进行合理变形，将已知条件整体代入简化计算，要求学生熟练掌握因式分解的基本方法，具备一定的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
10.若$a^2 + 2a + b^2 -6b +10=0$,求$a,b$的值.
答案
10.【解】由$a^{2}+2a+b^{2}-6b+10=0$,得$(a^{2}+2a+1)+(b^{2}-6b+9)=0$,即$(a+1)^{2}+(b-3)^{2}=0.$
因为$(a+1)^{2}≥ 0,(b-3)^{2}≥ 0,$
所以$(a+1)^{2}=0,(b-3)^{2}=0,$
所以$a=-1,b=3.$
因为$(a+1)^{2}≥ 0,(b-3)^{2}≥ 0,$
所以$(a+1)^{2}=0,(b-3)^{2}=0,$
所以$a=-1,b=3.$
解析
【分析】
解题时先观察等式左边的多项式，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项和常数项10，可利用配方法将常数项10拆分为1和9，分别和a的二次项、一次项，b的二次项、一次项组合，凑成两个完全平方式。再根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值。
【解析】
由$a^{2}+2a+b^{2}-6b+10=0$，将10拆分为1和9分组得：
$(a^{2}+2a+1)+(b^{2}-6b+9)=0$，
利用完全平方公式因式分解得：
$(a+1)^{2}+(b-3)^{2}=0$。
因为平方数具有非负性，所以$(a+1)^{2}≥ 0$，$(b-3)^{2}≥ 0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数均为0，即：
$(a+1)^{2}=0$，$(b-3)^{2}=0$，
解得$a+1=0$，$b-3=0$，因此$a=-1$，$b=3$。
【答案】
$a=-1,b=3$
【知识点】
完全平方公式分解因式；非负数的性质
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是掌握配方法，能够对多项式合理拆项凑出完全平方式，再结合平方的非负性求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先观察等式左边的多项式，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项和常数项10，可利用配方法将常数项10拆分为1和9，分别和a的二次项、一次项，b的二次项、一次项组合，凑成两个完全平方式。再根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值。
【解析】
由$a^{2}+2a+b^{2}-6b+10=0$，将10拆分为1和9分组得：
$(a^{2}+2a+1)+(b^{2}-6b+9)=0$，
利用完全平方公式因式分解得：
$(a+1)^{2}+(b-3)^{2}=0$。
因为平方数具有非负性，所以$(a+1)^{2}≥ 0$，$(b-3)^{2}≥ 0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数均为0，即：
$(a+1)^{2}=0$，$(b-3)^{2}=0$，
解得$a+1=0$，$b-3=0$，因此$a=-1$，$b=3$。
【答案】
$a=-1,b=3$
【知识点】
完全平方公式分解因式；非负数的性质
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是掌握配方法，能够对多项式合理拆项凑出完全平方式，再结合平方的非负性求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
11. 对于形如 $x^2 - 2ax + a^2$ 的二次三项式，可以用公式法将它分解成 $(x - a)^2$ 的形式. 但对于二次三项式 $x^2 - 2ax - 3a^2$，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式 $x^2 - 2ax - 3a^2$ 中先加上一项 $a^2$，使它与 $x^2 - 2ax$ 的和成为一个完全平方式，再减去 $a^2$，整个式子的值不变，于是有 $x^2 - 2ax - 3a^2 = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 - 3a^2 = (x - a)^2 - 4a^2 = (x - 3a)(x + a)$. 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去添加的项，使整个式子的值不变的方法称为配方法. 利用以上配方法解决下列问题：
(1) 分解因式：$a^2 - 4a - 5$；
(2) 已知 $m$ 是实数，求二次三项式 $m^2 + 6m + 1$ 的最小值；
(3) 已知 $x$ 是实数，试比较 $x^2 - 5x + 5$ 与 $-x^2 + 3x - 4$ 的大小，并说明理由.
(1) 分解因式：$a^2 - 4a - 5$；
(2) 已知 $m$ 是实数，求二次三项式 $m^2 + 6m + 1$ 的最小值；
(3) 已知 $x$ 是实数，试比较 $x^2 - 5x + 5$ 与 $-x^2 + 3x - 4$ 的大小，并说明理由.
答案
11.【解】(1)$a^{2}-4a-5=a^{2}-4a+4-5-4=(a-2)^{2}-9=(a-2+3)(a-2-3)=(a+1)(a-5).$
(2)$m^{2}+6m+1=m^{2}+6m+9-9+1=(m+3)^{2}-8.$ 因为$(m+3)^{2}≥ 0$,所以当$(m+3)^{2}=0$ 时，$m^{2}+6m+1$ 有最小值,即当$m=-3$时,二次三项式$m^{2}+6m+1$的最小值为$-8.$
(3)$x^{2}-5x+5＞-x^{2}+3x-4.$ 理由如下：
$x^{2}-5x+5-(-x^{2}+3x-4)=x^{2}-5x+5+x^{2}-3x+4=2x^{2}-8x+9=2(x^{2}-4x)+9=2(x-2)^{2}+1＞0,$
故$x^{2}-5x+5＞-x^{2}+3x-4.$
(2)$m^{2}+6m+1=m^{2}+6m+9-9+1=(m+3)^{2}-8.$ 因为$(m+3)^{2}≥ 0$,所以当$(m+3)^{2}=0$ 时，$m^{2}+6m+1$ 有最小值,即当$m=-3$时,二次三项式$m^{2}+6m+1$的最小值为$-8.$
(3)$x^{2}-5x+5＞-x^{2}+3x-4.$ 理由如下：
$x^{2}-5x+5-(-x^{2}+3x-4)=x^{2}-5x+5+x^{2}-3x+4=2x^{2}-8x+9=2(x^{2}-4x)+9=2(x-2)^{2}+1＞0,$
故$x^{2}-5x+5＞-x^{2}+3x-4.$
解析
【分析】
(1) 分解因式时，先针对二次项和一次项凑完全平方：二次项系数为1，一次项系数为-4，因此加上一次项系数一半的平方4，凑出完全平方式后再减去4保证式子值不变，最后将变形后的式子用平方差公式分解即可。
(2) 求二次三项式最小值时，先用配方法将原式转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方的非负性，完全平方式最小为0，此时整个式子的最小值就是后面的常数项。
(3) 比较两个代数式大小采用作差法，先计算两个式子的差，再将差用配方法转化为“完全平方式+正数”的形式，判断差的正负即可得到两个式子的大小关系。
【解析】
(1) $a^2 - 4a - 5$
$= a^2 - 4a + 4 - 4 - 5$
$= (a - 2)^2 - 9$
$= (a - 2 + 3)(a - 2 - 3)$
$= (a + 1)(a - 5)$
(2) $m^2 + 6m + 1$
$= m^2 + 6m + 9 - 9 + 1$
$= (m + 3)^2 - 8$
$\because (m + 3)^2 ≥ 0$，当$m=-3$时，$(m + 3)^2 = 0$
$\therefore$ 此时二次三项式$m^2 + 6m + 1$取得最小值，最小值为$-8$。
(3) $x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4$，理由如下：
$x^2 -5x +5 - (-x^2 +3x -4)$
$= x^2 -5x +5 +x^2 -3x +4$
$= 2x^2 -8x +9$
$= 2(x^2 -4x +4) -8 +9$
$= 2(x - 2)^2 +1$
$\because (x - 2)^2 ≥ 0$，$\therefore 2(x - 2)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$
即$x^2 -5x +5 - (-x^2 +3x -4) ＞ 0$，故$x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4$。
【答案】
(1) $\boxed{(a+1)(a-5)}$
(2) $\boxed{-8}$
(3) $\boxed{x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4}$
【知识点】
配方法；完全平方非负性；因式分解
【点评】
本题围绕配方法设置了三类典型应用场景，解题核心是掌握凑完全平方的方法，同时保证式子变形前后值不变，结合完全平方的非负性即可顺利解题，是对公式变形应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式时，先针对二次项和一次项凑完全平方：二次项系数为1，一次项系数为-4，因此加上一次项系数一半的平方4，凑出完全平方式后再减去4保证式子值不变，最后将变形后的式子用平方差公式分解即可。
(2) 求二次三项式最小值时，先用配方法将原式转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方的非负性，完全平方式最小为0，此时整个式子的最小值就是后面的常数项。
(3) 比较两个代数式大小采用作差法，先计算两个式子的差，再将差用配方法转化为“完全平方式+正数”的形式，判断差的正负即可得到两个式子的大小关系。
【解析】
(1) $a^2 - 4a - 5$
$= a^2 - 4a + 4 - 4 - 5$
$= (a - 2)^2 - 9$
$= (a - 2 + 3)(a - 2 - 3)$
$= (a + 1)(a - 5)$
(2) $m^2 + 6m + 1$
$= m^2 + 6m + 9 - 9 + 1$
$= (m + 3)^2 - 8$
$\because (m + 3)^2 ≥ 0$，当$m=-3$时，$(m + 3)^2 = 0$
$\therefore$ 此时二次三项式$m^2 + 6m + 1$取得最小值，最小值为$-8$。
(3) $x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4$，理由如下：
$x^2 -5x +5 - (-x^2 +3x -4)$
$= x^2 -5x +5 +x^2 -3x +4$
$= 2x^2 -8x +9$
$= 2(x^2 -4x +4) -8 +9$
$= 2(x - 2)^2 +1$
$\because (x - 2)^2 ≥ 0$，$\therefore 2(x - 2)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$
即$x^2 -5x +5 - (-x^2 +3x -4) ＞ 0$，故$x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4$。
【答案】
(1) $\boxed{(a+1)(a-5)}$
(2) $\boxed{-8}$
(3) $\boxed{x^2 -5x +5 ＞ -x^2 +3x -4}$
【知识点】
配方法；完全平方非负性；因式分解
【点评】
本题围绕配方法设置了三类典型应用场景，解题核心是掌握凑完全平方的方法，同时保证式子变形前后值不变，结合完全平方的非负性即可顺利解题，是对公式变形应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
