登录
基础知识·预习
问题1 运用完全平方公式进行整式乘法的运算和因式分解，有什么关系？
问题2 举例说明如何运用完全平方公式分解因式。
问题1 运用完全平方公式进行整式乘法的运算和因式分解，有什么关系？
问题2 举例说明如何运用完全平方公式分解因式。
答案
解：
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
解析
【分析】
解决问题1时，先分别梳理完全平方公式在整式乘法、因式分解两类运算中的变形方向：整式乘法是将整式乘积的形式展开得到多项式，因式分解是将多项式转化为整式乘积的形式，再对照完全平方公式左右两边的结构，即可总结出二者的互逆关系。解决问题2时，首先要牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特征，明确使用完全平方公式分解因式的前提是多项式符合该特征，若多项式含有公因式，需先提取公因式再判断剩余部分是否符合特征，最后结合特征举对应实例演示分解步骤即可。
【解析】
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
【答案】
解：
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解与整式乘法的关系；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，通过对比完全平方公式在整式乘法和因式分解中的不同应用，帮助理解两类运算的互逆关系，掌握完全平方式的特征和用完全平方公式分解因式的步骤，为后续复杂因式分解运算打下基础。
【难度系数】
0.7
解决问题1时，先分别梳理完全平方公式在整式乘法、因式分解两类运算中的变形方向：整式乘法是将整式乘积的形式展开得到多项式，因式分解是将多项式转化为整式乘积的形式，再对照完全平方公式左右两边的结构，即可总结出二者的互逆关系。解决问题2时，首先要牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特征，明确使用完全平方公式分解因式的前提是多项式符合该特征，若多项式含有公因式，需先提取公因式再判断剩余部分是否符合特征，最后结合特征举对应实例演示分解步骤即可。
【解析】
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
【答案】
解：
问题1
运用完全平方公式进行整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；运用完全平方公式进行因式分解，是将符合完全平方式特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为整式平方$(a\pm b)^2$的形式，二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
运用完全平方公式分解因式时，先判断多项式是否满足完全平方式的特征：多项式共3项，其中两项是两个整式的平方且符号为正，剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负，确认特征后对应套用完全平方公式分解。
举例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察可知：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9=3^2$，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式特征，因此
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
举例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察可知：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式特征，因此
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$
举例3：若多项式有公因式，先提取公因式再套用公式，如分解因式$3ax^2+6axy+3ay^2$
先提取公因式$3a$，得：
$3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x^2+2xy+y^2)$
括号内的多项式符合完全平方式特征，继续分解得：
$原式=3a(x+y)^2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解与整式乘法的关系；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，通过对比完全平方公式在整式乘法和因式分解中的不同应用，帮助理解两类运算的互逆关系，掌握完全平方式的特征和用完全平方公式分解因式的步骤，为后续复杂因式分解运算打下基础。
【难度系数】
0.7
【典型例题】分解因式：
(1)$m^2 -14m +49$；
(2)$4x^2 -12xy +9y^2$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
【解】(1)$m^2 -14m +49 = m^2 -2· m·7 +7^2=(m-7)^2$。
(2)$4x^2 -12xy +9y^2=(2x)^2 -2·2x·3y +(3y)^2=(2x-3y)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2=[a+(b+c)]^2=(a+b+c)^2$。
(1)$m^2 -14m +49$；
(2)$4x^2 -12xy +9y^2$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
【解】(1)$m^2 -14m +49 = m^2 -2· m·7 +7^2=(m-7)^2$。
(2)$4x^2 -12xy +9y^2=(2x)^2 -2·2x·3y +(3y)^2=(2x-3y)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2=[a+(b+c)]^2=(a+b+c)^2$。
答案
解：
(1) $m^2 -14m +49$
$=m^2 - 2· m·7 +7^2$
$=(m-7)^2$
(2) $4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y +(3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
(1) $m^2 -14m +49$
$=m^2 - 2· m·7 +7^2$
$=(m-7)^2$
(2) $4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y +(3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
解析
【分析】
这三道题均考查用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：两数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先判断多项式是否符合完全平方式的特征：①有三项；②两项为平方项且符号相同；③第三项为两平方项底数乘积的2倍。第(3)题可将$(b+c)$看作一个整体，再套用公式化简即可。
【解析】
(1) $m^2 -14m +49$
$=m^2 - 2· m·7 +7^2$
$=(m-7)^2$
(2) $4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y +(3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
【答案】
(1) $(m-7)^2$
(2) $(2x-3y)^2$
(3) $(a+b+c)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的基础题型，解题核心是准确识别完全平方式的结构特征，遇到含多项式的项时可将其视为整体简化运算，计算时需注意中间项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：两数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先判断多项式是否符合完全平方式的特征：①有三项；②两项为平方项且符号相同；③第三项为两平方项底数乘积的2倍。第(3)题可将$(b+c)$看作一个整体，再套用公式化简即可。
【解析】
(1) $m^2 -14m +49$
$=m^2 - 2· m·7 +7^2$
$=(m-7)^2$
(2) $4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y +(3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
【答案】
(1) $(m-7)^2$
(2) $(2x-3y)^2$
(3) $(a+b+c)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的基础题型，解题核心是准确识别完全平方式的结构特征，遇到含多项式的项时可将其视为整体简化运算，计算时需注意中间项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.85
1. 填空：
(1)$x^{2}+10x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2};$
(2)$25a^{2}+30ab+\_\_\_\_\_\_=(\_\_\_\_\_\_)^{2}.$
(1)$x^{2}+10x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2};$
(2)$25a^{2}+30ab+\_\_\_\_\_\_=(\_\_\_\_\_\_)^{2}.$
答案
1.(1)25 5 (2)$9b^2$ $5a+3b$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的逆用（运用完全平方公式分解因式），核心是紧扣完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先从已知的平方项确定公式中的$a$，再结合中间的两倍乘积项求出$b$，最后补全$b^2$项和右侧的完全平方式即可。
【解析】
(1) 观察式子左侧的二次项为$x^2$，对应完全平方公式中的$a^2$，即$a=x$。
根据公式中中间项$2ab=10x$，将$a=x$代入得：$2· x· b=10x$，解得$b=5$。
因此缺失的常数项为$b^2=5^2=25$，右侧完全平方式为$(x+5)^2$。
(2) 观察式子左侧的平方项为$25a^2=(5a)^2$，对应完全平方公式中的$a^2$，即此处$a=5a$。
根据公式中中间项$2ab=30ab$，将$a=5a$代入得：$2·5a· b=30ab$，解得$b=3b$。
因此缺失的常数项为$b^2=(3b)^2=9b^2$，右侧完全平方式为$(5a+3b)^2$。
【答案】
(1)25；5 (2)$9b^2$；$5a+3b$
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题是对完全平方公式结构的基础考查，解题关键是准确识别公式中对应的$a$、$b$两项，熟记完全平方公式的展开与逆用形式即可快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的逆用（运用完全平方公式分解因式），核心是紧扣完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先从已知的平方项确定公式中的$a$，再结合中间的两倍乘积项求出$b$，最后补全$b^2$项和右侧的完全平方式即可。
【解析】
(1) 观察式子左侧的二次项为$x^2$，对应完全平方公式中的$a^2$，即$a=x$。
根据公式中中间项$2ab=10x$，将$a=x$代入得：$2· x· b=10x$，解得$b=5$。
因此缺失的常数项为$b^2=5^2=25$，右侧完全平方式为$(x+5)^2$。
(2) 观察式子左侧的平方项为$25a^2=(5a)^2$，对应完全平方公式中的$a^2$，即此处$a=5a$。
根据公式中中间项$2ab=30ab$，将$a=5a$代入得：$2·5a· b=30ab$，解得$b=3b$。
因此缺失的常数项为$b^2=(3b)^2=9b^2$，右侧完全平方式为$(5a+3b)^2$。
【答案】
(1)25；5 (2)$9b^2$；$5a+3b$
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题是对完全平方公式结构的基础考查，解题关键是准确识别公式中对应的$a$、$b$两项，熟记完全平方公式的展开与逆用形式即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2. 分解因式：
(1) $4a^2 + b^2 - 4ab$;
(2) $\frac{1}{16}m^2 - \frac{1}{2}mn + n^2$;
(3) $(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1$.
(1) $4a^2 + b^2 - 4ab$;
(2) $\frac{1}{16}m^2 - \frac{1}{2}mn + n^2$;
(3) $(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1$.
答案
【解】(1)$4a^{2}+b^{2}-4ab=(2a)^{2}-2· 2a · b +b^{2}=(2a-b)^{2}.$
(2)$\frac{1}{16}m^{2}-\frac{1}{2}mn +n^{2}=(\frac{1}{4}m)^{2}-2· \frac{1}{4}m · n +n^{2}=(\frac{1}{4}m-n)^{2}.$
(3)$(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1=(3x-5y)^{2}+2·(3x-5y)· 1+1^{2}=(3x-5y+1)^{2}.$
(2)$\frac{1}{16}m^{2}-\frac{1}{2}mn +n^{2}=(\frac{1}{4}m)^{2}-2· \frac{1}{4}m · n +n^{2}=(\frac{1}{4}m-n)^{2}.$
(3)$(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1=(3x-5y)^{2}+2·(3x-5y)· 1+1^{2}=(3x-5y+1)^{2}.$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需满足3个条件：共3项、有两个同号的平方项、有一项是两个平方项底数乘积的±2倍。前两题直接找出对应的平方项底数即可套用公式；第(3)题将重复出现的$(3x-5y)$看作一个整体充当公式里的$a$，再找对应的$b$即可套用公式。
【解析】
(1) $4a^{2}+b^{2}-4ab=(2a)^{2}-2· 2a · b +b^{2}=(2a-b)^{2}$
(2) $\frac{1}{16}m^{2}-\frac{1}{2}mn +n^{2}=(\frac{1}{4}m)^{2}-2· \frac{1}{4}m · n +n^{2}=(\frac{1}{4}m-n)^{2}$
(3) $(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1=(3x-5y)^{2}+2·(3x-5y)· 1+1^{2}=(3x-5y+1)^{2}$
【答案】
(1) $(2a-b)^2$；(2) $(\frac{1}{4}m-n)^2$；(3) $(3x-5y+1)^2$
【知识点】
1. 公式法分解因式 2. 完全平方公式 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方式的结构特点，遇到多项式整体重复出现时用整体代换思想可快速降低解题难度，因式分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需满足3个条件：共3项、有两个同号的平方项、有一项是两个平方项底数乘积的±2倍。前两题直接找出对应的平方项底数即可套用公式；第(3)题将重复出现的$(3x-5y)$看作一个整体充当公式里的$a$，再找对应的$b$即可套用公式。
【解析】
(1) $4a^{2}+b^{2}-4ab=(2a)^{2}-2· 2a · b +b^{2}=(2a-b)^{2}$
(2) $\frac{1}{16}m^{2}-\frac{1}{2}mn +n^{2}=(\frac{1}{4}m)^{2}-2· \frac{1}{4}m · n +n^{2}=(\frac{1}{4}m-n)^{2}$
(3) $(3x - 5y)^2 + 2(3x - 5y) + 1=(3x-5y)^{2}+2·(3x-5y)· 1+1^{2}=(3x-5y+1)^{2}$
【答案】
(1) $(2a-b)^2$；(2) $(\frac{1}{4}m-n)^2$；(3) $(3x-5y+1)^2$
【知识点】
1. 公式法分解因式 2. 完全平方公式 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方式的结构特点，遇到多项式整体重复出现时用整体代换思想可快速降低解题难度，因式分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
