1. 判断对错：
(1)$5x^2 + 2x^3 = 5x^5$；（）
(2)$7x^2 - 3x = 4x$；（）
(3)$-3x^2y + 2x^2y = -5x^2y$。（）

1. (1)× (2)× (3)×

【分析】
要判断这三个式子的对错，核心是掌握同类项的定义和合并同类项的法则：首先只有所含字母相同、且相同字母的指数也相同的同类项才可以合并，不是同类项不能直接加减；合并同类项时，仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变。我们逐个分析三个式子：先判断每道小题里的两项是不是同类项，若不是则式子错误；若是同类项，再看合并后的系数是否正确即可。
【解析】
(1) $5x^2$和$2x^3$中，相同字母$x$的指数分别是2和3，二者不是同类项，不能直接合并相加，因此原式错误；
(2) $7x^2$和$3x$中，相同字母$x$的指数分别是2和1，二者不是同类项，不能直接合并相减，因此原式错误；
(3) $-3x^2y$和$2x^2y$是同类项，合并时系数相加得$-3+2=-1$，正确结果应为$-x^2y$，原式系数计算错误，因此原式错误。
【答案】
(1)× (2)× (3)×
【知识点】
1. 同类项的识别 2. 合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，易错点有两处：一是忽略同类项的判定条件，对非同类项强行合并；二是合并同类项时系数计算符号出错。解题时要先判断待运算的项是否为同类项，再按照法则准确计算系数。
【难度系数】
0.8

2. 合并下列各式中的同类项：
(1)$3x^3 + x^3$；
(2)$xy^2 - 5xy^2$；
(3)$5x^2y - x - 1 + x^2y + 2x - 9$。

(1)$4x^3$ (2)$-4xy^2$ (3)$6x^2y +x -10$

【分析】
解决合并同类项问题，首先要明确两个核心要点：①同类项的判定：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项；②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
解题时先逐个小题找出对应的同类项，再按法则计算系数即可：
(1) 两个项都是$x^3$，属于同类项，直接相加系数；
(2) 两个项都是$xy^2$，属于同类项，注意第一项系数为1，再计算系数差；
(3) 先分组识别同类项：含$x^2y$的项、含$x$的项、常数项三类，再分别合并每一类的系数即可。
【解析】
(1) $3x^3 + x^3 = (3+1)x^3 = 4x^3$
(2) $xy^2 - 5xy^2 = (1-5)xy^2 = -4xy^2$
(3) 先归类整理同类项：
$\begin{aligned}&5x^2y - x - 1 + x^2y + 2x - 9\\=&(5x^2y + x^2y) + (-x + 2x) + (-1 -9)\\=&(5+1)x^2y + (-1+2)x -10\\=&6x^2y + x -10\end{aligned}$
【答案】
(1)$4x^3$ (2)$-4xy^2$ (3)$6x^2y +x -10$
【知识点】
1. 同类项的识别
2. 合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查同类项的判断和合并同类项的运算能力，解题时需注意不要遗漏单项式前面的符号，单独的字母项系数为1或-1不要忽略。
【难度系数】
0.8

例2 求多项式$2x^2 -5x +x^2 +3x -3x^2 -2$的值，其中$x=\frac{1}{2}$。

解：原式$=-2x-2$.
将$x=\frac{1}{2}$代入，得原式$=-3$.

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题时优先选择先化简再代入求值的思路，可避免直接代入计算的繁琐、减少计算错误。第一步先识别多项式中的同类项：$2x^2$、$x^2$、$-3x^2$为同类项，$-5x$和$3x$为同类项，常数项$-2$为单独一类；第二步将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，完成多项式化简；第三步将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算最终结果即可。
【解析】
解：先对多项式合并同类项化简：
$\begin{aligned}原式&=(2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-5x + 3x) - 2\\&=(2+1-3)x^2 + (-5+3)x - 2\\&=0x^2 -2x -2\\&=-2x -2\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-2×\frac{1}{2} -2\\&=-1 -2\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-3$
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查化简求值的思路，先合并同类项将多项式化为最简形式再代入数值计算，可大幅提升计算效率、降低出错概率，需要熟练掌握同类项的识别与合并规则。
【难度系数】
0.85

例3 小明所在的学校共有三个年级，今年暑期招收了$3a$名学生，预计从明年开始，每年比前一年少招收$b$名学生.两年后，小明所在的学校一共有多少名学生？

解：$3a+3a-b+3a-b-b=(9a-3b)$名.
故两年后，小明所在的学校一共有$(9a-3b)$名学生.

【分析】
要解决这个问题，首先要明确两年后学校在校学生的构成：学校共3个年级，每年招收的新生进入一年级，原有学生逐年升年级，因此两年后在校的学生就是今年、明年、后年这三年招收的学生总和。我们可以先依次求出这三年的招生人数，再将三个数量相加，最后化简整式得到总人数即可。
【解析】
1. 先计算各年的招生人数：
今年招收学生人数为$3a$名；
明年比今年少招$b$名，招生人数为$3a - b$名；
后年（两年后当年）比明年少招$b$名，招生人数为$(3a - b) - b = 3a - 2b$名。
2. 计算两年后总在校人数，将三年招生人数相加并化简：
$\begin{aligned}&\mathrm{总人数}=3a+(3a - b)+(3a - 2b)\\=&3a+3a - b+3a - 2b\\=&(3a+3a+3a)+(-b - 2b)\\=&9a - 3b\end{aligned}$
【答案】
$(9a - 3b)$名
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题属于实际应用类的整式运算题，解题核心是准确梳理不同年份的招生数量关系，确定求和的对象，运算时注意合并同类项的规则，不要弄错符号。
【难度系数】
0.8

求多项式$-12m - mnp - \frac{1}{3}p^2 + \frac{1}{3}p^2 + 6m$的值，其中$m=\frac{1}{2}$，$n=5$，$p=-3$。

解：原式$=-6m - mnp$. 将$m=\frac{1}{2}$，$n=5$，$p=-3$代入，得原式$=-3+\frac{15}{2}=\frac{9}{2}$.

【分析】
求解此类多项式求值问题，优先选择先化简再代入数值的方法，能减少运算量、降低出错概率。解题思路如下：第一步先识别多项式中的同类项：-12m与6m是同类项，$-\frac{1}{3}p^2$与$\frac{1}{3}p^2$是同类项，$-mnp$没有同类项；第二步合并同类项得到最简整式；第三步将给定的m、n、p的数值代入最简整式，按有理数运算规则计算结果即可。
【解析】
解：先对原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(-12m+6m) - mnp + (-\frac{1}{3}p^2+\frac{1}{3}p^2)\\&=-6m - mnp + 0\\&=-6m - mnp\end{aligned}$
将$m=\frac{1}{2}$，$n=5$，$p=-3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{1}{2} - \frac{1}{2}×5×(-3)\\&=-3 + \frac{15}{2}\\&=\frac{9}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值；有理数混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察先化简后代入的求值思路，熟练掌握合并同类项的规则是解题的关键，通过化简可以有效避免直接代入复杂数值带来的运算错误。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系.

1. 所含字母相同
2. 相同字母的指数也相同
3. 和
4. 指数

【分析】
本题是对合并同类项相关知识体系的梳理题，解题时可顺着知识框架的逻辑逐一回忆对应知识点：首先回忆同类项的两个判定条件，对应填写前两个空；再回忆合并同类项的运算规则，对应填写后两个空即可。
【解析】
1. 同类项的第一个判定条件：所含字母相同，因此①处填“所含字母相同”；
2. 同类项的第二个判定条件：相同字母的指数也相同，因此②处填“相同字母的指数也相同”；
3. 根据合并同类项的法则，合并后同类项的系数为合并前各同类项系数的和，因此第三个空填“和”；
4. 根据合并同类项的法则，合并时字母连同它的指数保持不变，因此第四个空填“指数”。
【答案】
①所含字母相同；②相同字母的指数也相同；③和；④指数
【知识点】
同类项的定义、合并同类项法则、整式加减
【点评】
本题属于基础概念梳理题，主要考查对合并同类项相关核心概念、运算规则的掌握程度，有助于学生理清整式加减模块的基础逻辑，夯实知识基础。
【难度系数】
0.9