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1. 两个直角三角形中有下列条件:① 两条直角边分别相等；② 一锐角和斜边分别相等；③ 斜边和一直角边分别相等；④ 两个锐角分别相等.其中,能使这两个直角三角形全等的是 ()
A.①②③
B.②③
C.③④
D.①②③④
A.①②③
B.②③
C.③④
D.①②③④
答案
A
解析
逐一分析各条件：①两条直角边分别相等，结合直角为90°，满足SAS全等判定，可证两直角三角形全等；②一锐角和斜边分别相等，结合直角相等，满足AAS全等判定，可证两直角三角形全等；③斜边和一直角边分别相等，满足直角三角形特有的HL全等判定，可证两直角三角形全等；④两个锐角分别相等，仅能确定两三角形形状相同，没有对应边相等的条件，无法判定全等。因此能使两个直角三角形全等的是①②③。
2. 如图，$CD⊥ AB$，垂足为D，$EF⊥ AB$，垂足为F，$CD=EF$。要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BEF$，还需要添加的条件是()
A.$∠ A=∠ B$
B.$∠ C=∠ E$
C.$AD=BF$
D.$AC=BE$
A.$∠ A=∠ B$
B.$∠ C=∠ E$
C.$AD=BF$
D.$AC=BE$
答案
D
解析
∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠ADC=∠BFE=90°，已知两个直角三角形的一组直角边CD=EF相等。根据HL的判定规则，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，因此还需要补充两个直角三角形的斜边对应相等，即AC=BE，其余选项的条件均不符合HL的判定要求。
3. 如图，方格纸中有格点三角形ABC，请找出格点D（不与点A重合），使$△ BCD$与$△ ABC$全等，这样的格点D有个.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：
以BC为公共边，根据全等三角形的SSS判定定理，结合方格格点的性质，可找到3个不与点A重合的格点D，使得△BCD的三边分别与△ABC的三边对应相等，满足△BCD≌△ABC。
以BC为公共边，根据全等三角形的SSS判定定理，结合方格格点的性质，可找到3个不与点A重合的格点D，使得△BCD的三边分别与△ABC的三边对应相等，满足△BCD≌△ABC。
4. 如图，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=4$，射线$AX⊥ AC$，点$P$和点$Q$分别在线段$AC$和射线$AX$上运动，且$PQ=AB$，当$AP=\_\_\_\_\_\_$时，$△ APQ$与$△ ABC$全等。
答案
解：
∵ ∠C=90°，AX⊥AC，
∴ ∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况讨论：
① 当AP=BC=4时，
在Rt△APQ和Rt△CBA中，
$\{\begin{array}{l} PQ=AB \\ AP=CB \end{array} $
∴ Rt△APQ ≌ Rt△CBA（HL）；
② 当AP=AC=6时，
在Rt△APQ和Rt△CAB中，
$\{\begin{array}{l} PQ=AB \\ AP=CA \end{array} $
∴ Rt△APQ ≌ Rt△CAB（HL）。
综上，AP=4或6。
∵ ∠C=90°，AX⊥AC，
∴ ∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况讨论：
① 当AP=BC=4时，
在Rt△APQ和Rt△CBA中，
$\{\begin{array}{l} PQ=AB \\ AP=CB \end{array} $
∴ Rt△APQ ≌ Rt△CBA（HL）；
② 当AP=AC=6时，
在Rt△APQ和Rt△CAB中，
$\{\begin{array}{l} PQ=AB \\ AP=CA \end{array} $
∴ Rt△APQ ≌ Rt△CAB（HL）。
综上，AP=4或6。
