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1. 二次函数$y=x^2 -5x +3$的函数值为9，那么对应的x的值为（）.
A.6
B.-1
C.6或-1
D.-6或1
A.6
B.-1
C.6或-1
D.-6或1
答案
C
解析
【分析】
要解决已知二次函数函数值求对应自变量的问题，核心思路是将函数值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程求解问题。首先把y=9代入给定的二次函数表达式，整理得到标准形式的一元二次方程，再选择合适的方法解方程即可得到x的值。
【解析】
根据题意，二次函数的函数值为9，即$ y = 9 $，将其代入函数解析式$ y = x^2 -5x +3 $可得：
$x^2 -5x +3 = 9$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左边进行因式分解：
$(x - 6)(x + 1) = 0$
令每个因式等于0，解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -1 $
所以对应的x的值为6或-1。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的函数值
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数中函数值与自变量的对应关系，解题关键是将函数问题转化为方程问题，只要熟练掌握一元二次方程的解法即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
要解决已知二次函数函数值求对应自变量的问题，核心思路是将函数值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程求解问题。首先把y=9代入给定的二次函数表达式，整理得到标准形式的一元二次方程，再选择合适的方法解方程即可得到x的值。
【解析】
根据题意，二次函数的函数值为9，即$ y = 9 $，将其代入函数解析式$ y = x^2 -5x +3 $可得：
$x^2 -5x +3 = 9$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左边进行因式分解：
$(x - 6)(x + 1) = 0$
令每个因式等于0，解得：
$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -1 $
所以对应的x的值为6或-1。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的函数值
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数中函数值与自变量的对应关系，解题关键是将函数问题转化为方程问题，只要熟练掌握一元二次方程的解法即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
2. 若对任意实数$x$，二次函数$y=(a+1)x^2$的值总是非负数，则$a$的取值范围是()。
A.$a≥ -1$
B.$a≤ -1$
C.$a＞ -1$
D.$a＜ -1$
A.$a≥ -1$
B.$a≤ -1$
C.$a＞ -1$
D.$a＜ -1$
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目给出的是二次函数，因此首先要满足二次函数的核心定义：二次项系数不为0。其次，对任意实数x，都有x²≥0，要让二次函数的值总是非负数，只需要二次项系数为正数，就能保证和非负的x²相乘后结果仍为非负数，结合这两个条件即可推导a的取值范围。
【解析】
1. 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，因此有$a+1≠0$，即$a≠-1$；
2. 对任意实数x，恒有$x^2≥0$，要使$y=(a+1)x^2≥0$恒成立，需要二次项系数$a+1＞0$（若系数为负，乘积结果会恒为非正数，不符合要求）；
3. 解不等式$a+1＞0$，可得$a＞-1$，满足$a≠-1$的条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的符号性质
【点评】
本题易错点是忽略“二次函数”的前提限定，忘记二次项系数不能为0，从而误选A选项，解题时要先关注函数类型的约束条件，再结合函数值的要求推导参数范围。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的是二次函数，因此首先要满足二次函数的核心定义：二次项系数不为0。其次，对任意实数x，都有x²≥0，要让二次函数的值总是非负数，只需要二次项系数为正数，就能保证和非负的x²相乘后结果仍为非负数，结合这两个条件即可推导a的取值范围。
【解析】
1. 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，因此有$a+1≠0$，即$a≠-1$；
2. 对任意实数x，恒有$x^2≥0$，要使$y=(a+1)x^2≥0$恒成立，需要二次项系数$a+1＞0$（若系数为负，乘积结果会恒为非正数，不符合要求）；
3. 解不等式$a+1＞0$，可得$a＞-1$，满足$a≠-1$的条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的符号性质
【点评】
本题易错点是忽略“二次函数”的前提限定，忘记二次项系数不能为0，从而误选A选项，解题时要先关注函数类型的约束条件，再结合函数值的要求推导参数范围。
【难度系数】
0.7
3. 若等边三角形的周长为$x$，面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数表达式为().
A.$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$
B.$y=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2$
C.$y=\frac{\sqrt{3}}{24}x^2$
D.$y=\frac{1}{24}x^2$
A.$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$
B.$y=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2$
C.$y=\frac{\sqrt{3}}{24}x^2$
D.$y=\frac{1}{24}x^2$
答案
B
解析
【分析】
要推导面积y和周长x的函数关系，可按以下步骤思考：第一步，根据等边三角形三边相等的性质，由周长x求出单条边长的长度；第二步，回忆等边三角形的面积公式，将用x表示的边长代入面积公式，化简整理后就能得到y与x的函数表达式，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：
∵等边三角形的周长为x，且等边三角形三边长度相等
∴该等边三角形的边长 $ a = \frac{x}{3} $
又
∵等边三角形的面积公式为 $ y = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $
将 $ a = \frac{x}{3} $ 代入面积公式，得：
$ y = \frac{\sqrt{3}}{4} × ( \frac{x}{3} )^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × \frac{x^2}{9} = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质，等边三角形面积计算，二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等边三角形相关公式的应用，结合二次函数表达式的推导，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要推导面积y和周长x的函数关系，可按以下步骤思考：第一步，根据等边三角形三边相等的性质，由周长x求出单条边长的长度；第二步，回忆等边三角形的面积公式，将用x表示的边长代入面积公式，化简整理后就能得到y与x的函数表达式，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：
∵等边三角形的周长为x，且等边三角形三边长度相等
∴该等边三角形的边长 $ a = \frac{x}{3} $
又
∵等边三角形的面积公式为 $ y = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $
将 $ a = \frac{x}{3} $ 代入面积公式，得：
$ y = \frac{\sqrt{3}}{4} × ( \frac{x}{3} )^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × \frac{x^2}{9} = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质，等边三角形面积计算，二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等边三角形相关公式的应用，结合二次函数表达式的推导，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=x^2 - 3x + 2$，当$x=0$时，函数$y$的值为；当$x=$时，函数$y$的值为0。
答案
解：
把$x=0$代入$y=x^2-3x+2$，得
$y=0^2 - 3×0 + 2 = 2$。
令$y=0$，可得方程$x^2-3x+2=0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
答案依次为$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1或2}$。
把$x=0$代入$y=x^2-3x+2$，得
$y=0^2 - 3×0 + 2 = 2$。
令$y=0$，可得方程$x^2-3x+2=0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
答案依次为$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1或2}$。
解析
【分析】
本题包含两个求解需求：①已知自变量x的值求对应函数值，只需将x的取值直接代入二次函数解析式，按有理数运算规则计算即可得到y的值；②已知函数值y为0求对应自变量x的取值，将y=0代入解析式得到关于x的一元二次方程，用因式分解法求解该方程，所得的根就是所求的x的值。
【解析】
1. 计算x=0时的函数值：
将$x=0$代入$y=x^2 - 3x + 2$，得：
$y=0^2 - 3×0 + 2 = 2$。
2. 计算y=0时对应的x值：
令$y=0$，代入解析式可得方程：
$x^2 - 3x + 2 = 0$，
对左侧多项式因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
因此$x-1=0$或$x-2=0$，
解得$x=1$或$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1或2}$
【知识点】
二次函数求值，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础习题，重点考查代入求函数值的方法，以及二次函数与对应一元二次方程的关系，难度较低，熟练掌握基础运算和一元二次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题包含两个求解需求：①已知自变量x的值求对应函数值，只需将x的取值直接代入二次函数解析式，按有理数运算规则计算即可得到y的值；②已知函数值y为0求对应自变量x的取值，将y=0代入解析式得到关于x的一元二次方程，用因式分解法求解该方程，所得的根就是所求的x的值。
【解析】
1. 计算x=0时的函数值：
将$x=0$代入$y=x^2 - 3x + 2$，得：
$y=0^2 - 3×0 + 2 = 2$。
2. 计算y=0时对应的x值：
令$y=0$，代入解析式可得方程：
$x^2 - 3x + 2 = 0$，
对左侧多项式因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
因此$x-1=0$或$x-2=0$，
解得$x=1$或$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1或2}$
【知识点】
二次函数求值，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础习题，重点考查代入求函数值的方法，以及二次函数与对应一元二次方程的关系，难度较低，熟练掌握基础运算和一元二次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 某市去年生产总值是2 000亿元，预计该市今明两年生产总值年平均增长率是x，设该市明年生产总值为y亿元，则y与x之间的函数表达式为。
答案
解：
由题意，今年该市的生产总值为$2000(1+x)$亿元，
明年的生产总值在今年的基础上按相同增长率$x$增长，因此：
$\begin{aligned}y&=2000(1+x)·(1+x)\\&=2000(1+x)^2\\&=2000x^2 + 4000x + 2000\end{aligned}$
即$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=2000x^2+4000x+2000}$（或等价形式$y=2000(1+x)^2$）。
由题意，今年该市的生产总值为$2000(1+x)$亿元，
明年的生产总值在今年的基础上按相同增长率$x$增长，因此：
$\begin{aligned}y&=2000(1+x)·(1+x)\\&=2000(1+x)^2\\&=2000x^2 + 4000x + 2000\end{aligned}$
即$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=2000x^2+4000x+2000}$（或等价形式$y=2000(1+x)^2$）。
解析
【分析】
本题属于增长率类的函数解析式求解问题，解题时可遵循从已知到未知的推导逻辑：首先回忆增长率的核心公式“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”，先以去年的生产总值为基数算出今年的生产总值，再以今年的生产总值为新的基数，就能算出明年的生产总值，进而得到y与x的函数表达式。
【解析】
已知去年该市生产总值为2000亿元，今明两年年平均增长率为x：
1. 先计算今年的生产总值：以上年（去年）产值为基数，增长1次后，今年产值为 $ 2000(1+x) $ 亿元；
2. 再计算明年的生产总值：以上年（今年）产值为基数，再增长1次，因此明年产值y为：
$\begin{aligned}y&=2000(1+x) · (1+x)\\&=2000(1+x)^2\end{aligned}$
将表达式展开整理也可得：$ y=2000x^2 + 4000x + 2000 $。
【答案】
$ y=2000(1+x)^2 $（或等价形式 $ y=2000x^2+4000x+2000 $）
【知识点】
1. 增长率问题 2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是实际问题与函数结合的基础题型，解题关键是理清每次增长对应的基数，明确连续增长时乘方的次数与增长年数一致，掌握增长率公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题属于增长率类的函数解析式求解问题，解题时可遵循从已知到未知的推导逻辑：首先回忆增长率的核心公式“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”，先以去年的生产总值为基数算出今年的生产总值，再以今年的生产总值为新的基数，就能算出明年的生产总值，进而得到y与x的函数表达式。
【解析】
已知去年该市生产总值为2000亿元，今明两年年平均增长率为x：
1. 先计算今年的生产总值：以上年（去年）产值为基数，增长1次后，今年产值为 $ 2000(1+x) $ 亿元；
2. 再计算明年的生产总值：以上年（今年）产值为基数，再增长1次，因此明年产值y为：
$\begin{aligned}y&=2000(1+x) · (1+x)\\&=2000(1+x)^2\end{aligned}$
将表达式展开整理也可得：$ y=2000x^2 + 4000x + 2000 $。
【答案】
$ y=2000(1+x)^2 $（或等价形式 $ y=2000x^2+4000x+2000 $）
【知识点】
1. 增长率问题 2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是实际问题与函数结合的基础题型，解题关键是理清每次增长对应的基数，明确连续增长时乘方的次数与增长年数一致，掌握增长率公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6. 现用长为16 m的铁栏杆靠墙(墙足够长)围成一个矩形花圃.设矩形花圃平行于墙的一边长为x m,则矩形花圃的面积y=.(不要求写自变量x的取值范围)
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}x^2 + 8x}$
解析
【分析】
解题时首先明确题意：靠墙围成矩形时，铁栏杆仅需要围矩形的三条边（1条平行于墙的边、2条垂直于墙的等长边）。第一步先根据铁栏杆总长度和平行于墙的边长x，求出垂直于墙的边长；第二步结合矩形面积公式，将两条边长相乘后化简，即可得到面积y的表达式。
【解析】
已知矩形平行于墙的一边长为x m，铁栏杆总长为16 m，
则垂直于墙的两条边的总长度为$(16 - x)\ \mathrm{m}$，
因此单条垂直于墙的边长为$\dfrac{16 - x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$\begin{aligned}y&=x×\dfrac{16 - x}{2}\\&=\dfrac{16x - x^2}{2}\\&=-\dfrac{1}{2}x^2 + 8x\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}x^2 + 8x$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确识别靠墙围矩形时栏杆仅覆盖三边，正确表示出垂直于墙的边长后代入面积公式化简即可，易错点是误将栏杆长度当成矩形的周长计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题意：靠墙围成矩形时，铁栏杆仅需要围矩形的三条边（1条平行于墙的边、2条垂直于墙的等长边）。第一步先根据铁栏杆总长度和平行于墙的边长x，求出垂直于墙的边长；第二步结合矩形面积公式，将两条边长相乘后化简，即可得到面积y的表达式。
【解析】
已知矩形平行于墙的一边长为x m，铁栏杆总长为16 m，
则垂直于墙的两条边的总长度为$(16 - x)\ \mathrm{m}$，
因此单条垂直于墙的边长为$\dfrac{16 - x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$\begin{aligned}y&=x×\dfrac{16 - x}{2}\\&=\dfrac{16x - x^2}{2}\\&=-\dfrac{1}{2}x^2 + 8x\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}x^2 + 8x$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确识别靠墙围矩形时栏杆仅覆盖三边，正确表示出垂直于墙的边长后代入面积公式化简即可，易错点是误将栏杆长度当成矩形的周长计算。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 如图，一块长100 m、宽80 m的矩形草地，想在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，修筑后草坪面积为y m².求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
7. 如图，一块长100 m、宽80 m的矩形草地，想在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，修筑后草坪面积为y m².求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
答案
解：
将两条互相垂直的小路平移到矩形草地的边沿，剩余草坪可拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(100-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(80-x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(100-x)(80-x)\\&=x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
根据实际意义，小路宽度为正，且拼接后草坪的长、宽均为正，可得$x＞0$，$80-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-180x+8000}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜80}$。
将两条互相垂直的小路平移到矩形草地的边沿，剩余草坪可拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(100-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(80-x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(100-x)(80-x)\\&=x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
根据实际意义，小路宽度为正，且拼接后草坪的长、宽均为正，可得$x＞0$，$80-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-180x+8000}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜80}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用平移思想简化计算：若直接计算草坪面积，需要减去两条小路的面积，还需补回重复减去的交叉重叠部分，计算过程较繁琐；我们可将两条互相垂直的小路分别平移到矩形草地的边沿，此时剩余草坪恰好能拼接成一个新的矩形，只需要求出新矩形的长和宽，结合矩形面积公式即可得到y与x的函数关系；最后结合实际意义，小路宽度需为正，且草坪的长、宽也需为正，就能确定自变量x的取值范围。
【解析】
将两条互相垂直的小路平移到矩形草地的边沿，剩余草坪可拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(100-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(80-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(100-x)(80-x)\\&=x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
结合实际意义：小路宽度为正，且拼接后草坪的长、宽均为正，可得$x＞0$，$80-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
【答案】
$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-180x+8000}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜80}$。
【知识点】
二次函数实际应用，平移法求面积，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的基础题型，平移法的使用能大幅简化面积计算的步骤，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不能仅考虑代数式本身有意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以利用平移思想简化计算：若直接计算草坪面积，需要减去两条小路的面积，还需补回重复减去的交叉重叠部分，计算过程较繁琐；我们可将两条互相垂直的小路分别平移到矩形草地的边沿，此时剩余草坪恰好能拼接成一个新的矩形，只需要求出新矩形的长和宽，结合矩形面积公式即可得到y与x的函数关系；最后结合实际意义，小路宽度需为正，且草坪的长、宽也需为正，就能确定自变量x的取值范围。
【解析】
将两条互相垂直的小路平移到矩形草地的边沿，剩余草坪可拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(100-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(80-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(100-x)(80-x)\\&=x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
结合实际意义：小路宽度为正，且拼接后草坪的长、宽均为正，可得$x＞0$，$80-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
【答案】
$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-180x+8000}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜80}$。
【知识点】
二次函数实际应用，平移法求面积，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的基础题型，平移法的使用能大幅简化面积计算的步骤，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不能仅考虑代数式本身有意义。
【难度系数】
0.8
8. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，E，F分别是边BC，DC上的动点.点E，F同时从点C出发，均以1 cm/s的速度分别向点B，D运动，当点E与点B重合时，运动停止.设运动时间为x s，运动过程中△AEF的面积为y cm².请写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
答案
解：
由题意得，正方形ABCD边长为4 cm，运动时间为x s，则$CE = x\ \mathrm{cm}$，$CF = x\ \mathrm{cm}$，$BE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，$DF=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· BE=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· DF=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}· CE· CF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm}^2$
因此$△ AEF$的面积：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}\\&=16-(8-2x)-(8-2x)-\frac{1}{2}x^2\\&=-\frac{1}{2}x^2+4x\end{aligned}$
由运动终止条件，得自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤4$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+4x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0≤ x≤4}$。
由题意得，正方形ABCD边长为4 cm，运动时间为x s，则$CE = x\ \mathrm{cm}$，$CF = x\ \mathrm{cm}$，$BE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，$DF=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· BE=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· DF=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}· CE· CF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm}^2$
因此$△ AEF$的面积：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}\\&=16-(8-2x)-(8-2x)-\frac{1}{2}x^2\\&=-\frac{1}{2}x^2+4x\end{aligned}$
由运动终止条件，得自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤4$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+4x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0≤ x≤4}$。
解析
【分析】
要求△AEF的面积，直接计算该三角形面积比较复杂，可采用割补法求解：用正方形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形（△ABE、△ADF、△ECF）的面积，即可得到△AEF的面积。首先根据运动时间x表示出各相关线段的长度，再分别计算三个直角三角形的面积，代入关系式整理就能得到y与x的函数表达式；最后结合动点的运动起止条件，确定自变量x的取值范围。
【解析】
由题意得，正方形ABCD边长为4 cm，运动时间为x s，则$CE = x\ \mathrm{cm}$，$CF = x\ \mathrm{cm}$，$BE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，$DF=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
正方形面积：$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· BE=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· DF=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}· CE· CF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm}^2$
因此△AEF的面积：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}\\&=16-(8-2x)-(8-2x)-\frac{1}{2}x^2\\&=-\frac{1}{2}x^2+4x\end{aligned}$
点E从C出发到B停止，运动总时长为4÷1=4s，故自变量x的取值范围是$0≤ x≤4$。
【答案】
y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+4x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0≤ x≤4}$。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 正方形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合动点情境考查二次函数关系式的列写，解题核心是运用割补法将不易直接计算的三角形面积转化为规则图形面积的差，计算时要准确表示各线段长度，属于二次函数应用的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要求△AEF的面积，直接计算该三角形面积比较复杂，可采用割补法求解：用正方形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形（△ABE、△ADF、△ECF）的面积，即可得到△AEF的面积。首先根据运动时间x表示出各相关线段的长度，再分别计算三个直角三角形的面积，代入关系式整理就能得到y与x的函数表达式；最后结合动点的运动起止条件，确定自变量x的取值范围。
【解析】
由题意得，正方形ABCD边长为4 cm，运动时间为x s，则$CE = x\ \mathrm{cm}$，$CF = x\ \mathrm{cm}$，$BE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，$DF=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
正方形面积：$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×4=16\ \mathrm{cm}^2$
三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· BE=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· DF=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}· CE· CF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm}^2$
因此△AEF的面积：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}\\&=16-(8-2x)-(8-2x)-\frac{1}{2}x^2\\&=-\frac{1}{2}x^2+4x\end{aligned}$
点E从C出发到B停止，运动总时长为4÷1=4s，故自变量x的取值范围是$0≤ x≤4$。
【答案】
y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+4x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0≤ x≤4}$。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 正方形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合动点情境考查二次函数关系式的列写，解题核心是运用割补法将不易直接计算的三角形面积转化为规则图形面积的差，计算时要准确表示各线段长度，属于二次函数应用的基础常考题。
【难度系数】
0.7
