登录
例1 如图，D，E分别是BA，CA延长线上的点，若DE//BC，则△ABC与△ADE （填“相似”或“不相似”）。
【思路导析】依定理解答。
【请你解答】。
【思路导析】依定理解答。
【请你解答】。
答案
相似。
解析
【分析】
拿到题目首先提取已知条件：DE//BC，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，需要判断△ABC和△ADE是否相似。我们可以从两个方向思考：一是直接运用相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，截得的三角形与原三角形相似；二是通过角的等量关系推导，由平行线性质可得对应同位角相等，再加对顶角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可得出结论。
【解析】
根据相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
已知DE//BC，且D、E分别在BA、CA的延长线上，因此△ADE与△ABC相似。
也可通过角的关系推导：
∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠DAE=∠BAC（对顶角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
相似
【知识点】
1. 相似三角形预备定理
2. 平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心考查对相似三角形基础判定定理的理解和应用，熟练掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先提取已知条件：DE//BC，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，需要判断△ABC和△ADE是否相似。我们可以从两个方向思考：一是直接运用相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，截得的三角形与原三角形相似；二是通过角的等量关系推导，由平行线性质可得对应同位角相等，再加对顶角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可得出结论。
【解析】
根据相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
已知DE//BC，且D、E分别在BA、CA的延长线上，因此△ADE与△ABC相似。
也可通过角的关系推导：
∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠DAE=∠BAC（对顶角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
相似
【知识点】
1. 相似三角形预备定理
2. 平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心考查对相似三角形基础判定定理的理解和应用，熟练掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
例2 如图所示，
△ABC中，DE//BC，BC=12 cm，且AD：AB=2：3，求DE的长。
【思路导析】由DE//BC，得△ADE∽△ABC，对应边成比例，列比例式求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 与特殊四边形的综合
△ABC中，DE//BC，BC=12 cm，且AD：AB=2：3，求DE的长。
【思路导析】由DE//BC，得△ADE∽△ABC，对应边成比例，列比例式求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 与特殊四边形的综合
答案
解：
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$。
将$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AD:AB=2:3$代入得：
$\dfrac{DE}{12}=\dfrac{2}{3}$，
解得 $DE=8\ \mathrm{cm}$。
答：$DE$的长为$8\ \mathrm{cm}$。
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$。
将$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AD:AB=2:3$代入得：
$\dfrac{DE}{12}=\dfrac{2}{3}$，
解得 $DE=8\ \mathrm{cm}$。
答：$DE$的长为$8\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先观察题目条件，已知DE平行于BC，根据相似三角形的预备定理可以判定△ADE与△ABC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，可得到DE和BC的比值等于AD和AB的比值；最后将已知的BC长度、AD与AB的比例代入比例式，就能求出DE的长度。
【解析】
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$。
将$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AD:AB=2:3$代入得：
$\dfrac{DE}{12}=\dfrac{2}{3}$，
解得 $DE=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
DE的长为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形预备定理，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是先由平行线判定三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质列比例式计算未知边长，解题思路清晰直接，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，已知DE平行于BC，根据相似三角形的预备定理可以判定△ADE与△ABC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，可得到DE和BC的比值等于AD和AB的比值；最后将已知的BC长度、AD与AB的比例代入比例式，就能求出DE的长度。
【解析】
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$。
将$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AD:AB=2:3$代入得：
$\dfrac{DE}{12}=\dfrac{2}{3}$，
解得 $DE=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
DE的长为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形预备定理，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是先由平行线判定三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质列比例式计算未知边长，解题思路清晰直接，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
例3 如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长。
【探究点拨】由菱形的性质得BC//AF，故△EBC∽△EAF，列比例式求解。
【规范解答】∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，（菱形的性质）
∴ △EBC∽△EAF。（预备定理）
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。（相似三角形的性质）
∵ BC＝CD＝DA＝AB＝3，BE＝2AB＝6，
∴ $AF=\frac{BC×AE}{BE}=\frac{3×(3+6)}{6}=4.5$。
【探究点拨】由菱形的性质得BC//AF，故△EBC∽△EAF，列比例式求解。
【规范解答】∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，（菱形的性质）
∴ △EBC∽△EAF。（预备定理）
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。（相似三角形的性质）
∵ BC＝CD＝DA＝AB＝3，BE＝2AB＝6，
∴ $AF=\frac{BC×AE}{BE}=\frac{3×(3+6)}{6}=4.5$。
答案
解：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，
∴ △EBC∽△EAF（相似三角形的预备定理），
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。
∵ 菱形ABCD的边长为3，
∴ BC = AB = 3，
∵ BE = 2AB，
∴ BE = 6，AE = AB + BE = 3 + 6 = 9，
∴ $AF=\frac{BC× AE}{BE}=\frac{3×9}{6}=4.5$。
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，
∴ △EBC∽△EAF（相似三角形的预备定理），
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。
∵ 菱形ABCD的边长为3，
∴ BC = AB = 3，
∵ BE = 2AB，
∴ BE = 6，AE = AB + BE = 3 + 6 = 9，
∴ $AF=\frac{BC× AE}{BE}=\frac{3×9}{6}=4.5$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知图形是菱形，首先回忆菱形的性质：菱形的对边互相平行，因此可得BC//AF；②由BC平行于△EAF的边AF，根据相似三角形的预备定理，可判定△EBC∽△EAF；③相似三角形的对应边成比例，我们可以列出AF、BC、AE、BE的比例关系，再结合已知的菱形边长和BE与AB的数量关系，计算出各边长度后代入比例式，即可求出AF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，
∴ △EBC∽△EAF（相似三角形的预备定理），
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。
∵ 菱形ABCD的边长为3，
∴ BC = AB = 3，
∵ BE = 2AB，
∴ BE = 6，AE = AB + BE = 3 + 6 = 9，
∴ $AF=\frac{BC× AE}{BE}=\frac{3×9}{6}=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础典型题，解题核心是利用菱形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件入手：①已知图形是菱形，首先回忆菱形的性质：菱形的对边互相平行，因此可得BC//AF；②由BC平行于△EAF的边AF，根据相似三角形的预备定理，可判定△EBC∽△EAF；③相似三角形的对应边成比例，我们可以列出AF、BC、AE、BE的比例关系，再结合已知的菱形边长和BE与AB的数量关系，计算出各边长度后代入比例式，即可求出AF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC//AD，即BC//AF，
∴ △EBC∽△EAF（相似三角形的预备定理），
∴ $\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{BE}$。
∵ 菱形ABCD的边长为3，
∴ BC = AB = 3，
∵ BE = 2AB，
∴ BE = 6，AE = AB + BE = 3 + 6 = 9，
∴ $AF=\frac{BC× AE}{BE}=\frac{3×9}{6}=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础典型题，解题核心是利用菱形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.75
1. 如图，D，E分别是BA，CA的延长线上的点，连DE，若∠B=∠D，$AD=\frac{1}{2}AB$，BC=10 cm，求DE的长。
答案
解：
∵ ∠B = ∠D，
∴ DE // BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
∵ $AD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$。
将BC=10 cm代入得：
$\frac{DE}{10} = \frac{1}{2}$，
解得 DE = 5 cm。
答：DE的长为5 cm。
∵ ∠B = ∠D，
∴ DE // BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
∵ $AD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$。
将BC=10 cm代入得：
$\frac{DE}{10} = \frac{1}{2}$，
解得 DE = 5 cm。
答：DE的长为5 cm。
解析
【分析】
首先从已知条件∠B=∠D切入，这两个角是内错角，根据内错角相等可判定DE//BC；再结合相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与另外两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形相似，可推出△ADE∽△ABC；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的AD与AB的比例关系、BC的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵ ∠B = ∠D，
∴ DE // BC（内错角相等，两直线平行），
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
∵ $AD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$。
将BC=10 cm代入得：
$\frac{DE}{10} = \frac{1}{2}$，
解得 DE = 5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
平行线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是先通过角的等量关系判定直线平行，进而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解未知线段，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件∠B=∠D切入，这两个角是内错角，根据内错角相等可判定DE//BC；再结合相似三角形的预备定理，平行于三角形一边的直线与另外两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形相似，可推出△ADE∽△ABC；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的AD与AB的比例关系、BC的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵ ∠B = ∠D，
∴ DE // BC（内错角相等，两直线平行），
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
∵ $AD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$。
将BC=10 cm代入得：
$\frac{DE}{10} = \frac{1}{2}$，
解得 DE = 5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
平行线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是先通过角的等量关系判定直线平行，进而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解未知线段，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
