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例1 已知关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -3m -5=0$的一个根是-1，求方程的另一个根及m的值。
答案
因为关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -3m -5=0$的一个根是−1，所以$(-1)^2 -6×(-1)+m^2 -3m -5=0$. 整理，得$m^2 -3m +2=0$. 解这个方程，得$m_1=1,m_2=2$. 当$m_1=1$或$m_2=2$时，原方程变为$x^2 -6x -7=0$. 解得方程的另一个根是7. 所以方程的另一个根是7，m的值是1或2
解析
【分析】
解题思路分两步展开：第一步，利用一元二次方程根的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根），把已知根x=-1代入原方程，即可得到关于m的一元二次方程，求解就能得到m的取值；第二步，求另一个根，既可以将求得的m值代回原方程，解确定的一元二次方程得到另一根，也可以用根与系数的关系，由两根之和为6，直接用6减去已知根-1快速得到另一个根，两种方法均符合学段要求。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -3m -5=0$的一个根是-1
∴ 将$x=-1$代入方程得：
$\begin{aligned}(-1)^2 -6×(-1)+m^2 -3m -5&=0\\1+6+m^2-3m-5&=0\\m^2 -3m +2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m-1)(m-2)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=2$。
将$m=1$或$m=2$代入原方程，原方程均化为$x^2 -6x -7=0$，因式分解得$(x-7)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$，即方程的另一个根为7。
【答案】
方程的另一个根是7，m的值是1或2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元二次方程
3. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义的应用，计算过程中注意符号运算即可避免出错，也可借助根与系数的关系简化求另一根的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步展开：第一步，利用一元二次方程根的定义（能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根），把已知根x=-1代入原方程，即可得到关于m的一元二次方程，求解就能得到m的取值；第二步，求另一个根，既可以将求得的m值代回原方程，解确定的一元二次方程得到另一根，也可以用根与系数的关系，由两根之和为6，直接用6减去已知根-1快速得到另一个根，两种方法均符合学段要求。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -3m -5=0$的一个根是-1
∴ 将$x=-1$代入方程得：
$\begin{aligned}(-1)^2 -6×(-1)+m^2 -3m -5&=0\\1+6+m^2-3m-5&=0\\m^2 -3m +2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m-1)(m-2)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=2$。
将$m=1$或$m=2$代入原方程，原方程均化为$x^2 -6x -7=0$，因式分解得$(x-7)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$，即方程的另一个根为7。
【答案】
方程的另一个根是7，m的值是1或2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元二次方程
3. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义的应用，计算过程中注意符号运算即可避免出错，也可借助根与系数的关系简化求另一根的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
例2 解关于$x$的方程$(m-1)x^2 + 2mx + m + 3 = 0.$
答案
当$m-1=0$，即$m=1$时，原方程即为$2x+4=0$，$\therefore x=-2$. 当$m-1≠0$，即$m≠1$时，$b^2-4ac=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4(3-2m)$. 当$3-2m＞0$，即$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时，方程有两个不相等的实数根，$x=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$. 当$m=\frac{3}{2}$时，方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-3$. 当$m＞\frac{3}{2}$时，方程无实数根
解析
【分析】
这是一道含参数的整式方程，解题时首先要明确方程类型：由于二次项系数含有参数m，因此需先分类讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，直接求解即可；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，此时先计算根的判别式，再根据判别式的正负性进一步分类讨论根的情况，最后用求根公式计算对应情况下的根。
【解析】
解：分情况讨论：
1. 当$m-1=0$，即$m=1$时，原方程化简为一元一次方程：
$2x + 4 = 0$，解得$x=-2$。
2. 当$m-1≠0$，即$m≠1$时，原方程为一元二次方程，其中$a=m-1$，$b=2m$，$c=m+3$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m-1)(m+3) = 4(3-2m)$
（1）当$\Delta＞0$，即$3-2m＞0$，$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时，方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得：$x=\frac{-2m\pm\sqrt{4(3-2m)}}{2(m-1)}=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$
（2）当$\Delta=0$，即$3-2m=0$，$m=\frac{3}{2}$时，方程有两个相等的实数根，
$x_1=x_2=\frac{-2×\frac{3}{2}}{2×(\frac{3}{2}-1)}=-3$
（3）当$\Delta＜0$，即$3-2m＜0$，$m＞\frac{3}{2}$时，方程无实数根。
【答案】
当$m=1$时，$x=-2$；
当$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时，$x=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$；
当$m=\frac{3}{2}$时，$x_1=x_2=-3$；
当$m＞\frac{3}{2}$时，方程无实数根。
【知识点】
分类讨论思想，一元一次方程解法，一元二次方程判别式与求根公式
【点评】
本题核心考查分类讨论的数学思想，解题时易忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解导致漏解；需要熟练掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及求根公式的正确运用。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的整式方程，解题时首先要明确方程类型：由于二次项系数含有参数m，因此需先分类讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，直接求解即可；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，此时先计算根的判别式，再根据判别式的正负性进一步分类讨论根的情况，最后用求根公式计算对应情况下的根。
【解析】
解：分情况讨论：
1. 当$m-1=0$，即$m=1$时，原方程化简为一元一次方程：
$2x + 4 = 0$，解得$x=-2$。
2. 当$m-1≠0$，即$m≠1$时，原方程为一元二次方程，其中$a=m-1$，$b=2m$，$c=m+3$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m-1)(m+3) = 4(3-2m)$
（1）当$\Delta＞0$，即$3-2m＞0$，$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时，方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得：$x=\frac{-2m\pm\sqrt{4(3-2m)}}{2(m-1)}=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$
（2）当$\Delta=0$，即$3-2m=0$，$m=\frac{3}{2}$时，方程有两个相等的实数根，
$x_1=x_2=\frac{-2×\frac{3}{2}}{2×(\frac{3}{2}-1)}=-3$
（3）当$\Delta＜0$，即$3-2m＜0$，$m＞\frac{3}{2}$时，方程无实数根。
【答案】
当$m=1$时，$x=-2$；
当$m＜\frac{3}{2}$且$m≠1$时，$x=\frac{-m\pm\sqrt{3-2m}}{m-1}$；
当$m=\frac{3}{2}$时，$x_1=x_2=-3$；
当$m＞\frac{3}{2}$时，方程无实数根。
【知识点】
分类讨论思想，一元一次方程解法，一元二次方程判别式与求根公式
【点评】
本题核心考查分类讨论的数学思想，解题时易忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解导致漏解；需要熟练掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及求根公式的正确运用。
【难度系数】
0.6
1. 解下列方程：
(1) $x - 5 = (x - 5)^2$；
(2) $3(x - 2)^2 + 5 = 35$；
(3) $x^2 - 5x - 24 = 0$；
(4) $4x^2 + 3x - 1 = 0$；
(5) $(2x + 1)(x - 3) = -6$；
(6) $x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 0$。
(1) $x - 5 = (x - 5)^2$；
(2) $3(x - 2)^2 + 5 = 35$；
(3) $x^2 - 5x - 24 = 0$；
(4) $4x^2 + 3x - 1 = 0$；
(5) $(2x + 1)(x - 3) = -6$；
(6) $x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 0$。
答案
(1) $x_1=5,x_2=6$
(2) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=8,x_2=-3$
(4) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) $x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) $x_1=x_2=\sqrt{6}$
(2) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=8,x_2=-3$
(4) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) $x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) $x_1=x_2=\sqrt{6}$
解析
【分析】
解一元二次方程时可根据方程的结构特征选择最简便的解法，提升解题效率：1.若方程可整理为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的形式，优先使用直接开平方法；2.若方程含公因式或整理后可因式分解，优先使用因式分解法；3.若以上方法不适用，再选择配方法或公式法。本题6个方程均可根据特征选择前两种简便方法求解。
【解析】
(1) 移项得：$x-5-(x-5)^2=0$
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[1-(x-5)]=0$
化简得：$(x-5)(6-x)=0$
$\therefore x-5=0$或$6-x=0$
解得$x_1=5,x_2=6$
(2) 移项化简得：$3(x-2)^2=30$
两边同时除以3得：$(x-2)^2=10$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) 十字相乘法因式分解得：$(x-8)(x+3)=0$
$\therefore x-8=0$或$x+3=0$
解得$x_1=8,x_2=-3$
(4) 十字相乘法因式分解得：$(4x-1)(x+1)=0$
$\therefore 4x-1=0$或$x+1=0$
解得$x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) 先展开左边并移项整理为一般式：
$2x^2-6x+x-3+6=0$
合并同类项得：$2x^2-5x+3=0$
十字相乘法因式分解得：$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) 由完全平方公式因式分解得：$(x-\sqrt{6})^2=0$
解得$x_1=x_2=\sqrt{6}$
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=6$
(2) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=8,x_2=-3$
(4) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) $x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) $x_1=x_2=\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、直接开平方法
【点评】
本组题目是一元二次方程解法的基础训练，需要熟练掌握不同解法的适用场景，根据方程特征灵活选择简便方法，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时可根据方程的结构特征选择最简便的解法，提升解题效率：1.若方程可整理为$(ax+b)^2=c(c≥0)$的形式，优先使用直接开平方法；2.若方程含公因式或整理后可因式分解，优先使用因式分解法；3.若以上方法不适用，再选择配方法或公式法。本题6个方程均可根据特征选择前两种简便方法求解。
【解析】
(1) 移项得：$x-5-(x-5)^2=0$
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[1-(x-5)]=0$
化简得：$(x-5)(6-x)=0$
$\therefore x-5=0$或$6-x=0$
解得$x_1=5,x_2=6$
(2) 移项化简得：$3(x-2)^2=30$
两边同时除以3得：$(x-2)^2=10$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) 十字相乘法因式分解得：$(x-8)(x+3)=0$
$\therefore x-8=0$或$x+3=0$
解得$x_1=8,x_2=-3$
(4) 十字相乘法因式分解得：$(4x-1)(x+1)=0$
$\therefore 4x-1=0$或$x+1=0$
解得$x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) 先展开左边并移项整理为一般式：
$2x^2-6x+x-3+6=0$
合并同类项得：$2x^2-5x+3=0$
十字相乘法因式分解得：$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) 由完全平方公式因式分解得：$(x-\sqrt{6})^2=0$
解得$x_1=x_2=\sqrt{6}$
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=6$
(2) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=8,x_2=-3$
(4) $x_1=-1,x_2=\frac{1}{4}$
(5) $x_1=1, x_2=\frac{3}{2}$
(6) $x_1=x_2=\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、直接开平方法
【点评】
本组题目是一元二次方程解法的基础训练，需要熟练掌握不同解法的适用场景，根据方程特征灵活选择简便方法，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
2. 解方程 $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$，请用不同的方法试一试.
答案
$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
解析
【分析】
观察方程结构，左侧是完全平方式$(x-3)^2$，右侧也是完全平方式$(5-2x)^2$，属于$A^2=B^2$的特殊形式，解题可从两个方向思考：一是利用平方差公式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；二是将方程左右两侧展开整理为一元二次方程的一般形式，再用配方法、公式法求解。优先选择因式分解法或直接开方法，计算更简便。
【解析】
方法一：因式分解法
原方程可变形为：$(x-3)^2=(5-2x)^2$
移项得：$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$
由平方差公式因式分解得：$[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0$
化简两个因式：
第一个因式：$x-3+5-2x=2-x$
第二个因式：$x-3-5+2x=3x-8$
因此方程转化为：$(2-x)(3x-8)=0$
则$2-x=0$或$3x-8=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=\frac{8}{3}$
方法二：公式法
将方程左右两侧展开：
左侧：$x^2-6x+9$
右侧：$(5-2x)^2=25-20x+4x^2$
移项合并同类项得：$x^2-6x+9-25+20x-4x^2=0$
整理为一般式：$3x^2-14x+16=0$
其中$a=3$，$b=-14$，$c=16$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-14)^2-4×3×16=196-192=4＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{14\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{14\pm2}{6}$
即$x_1=\frac{14+2}{6}=\frac{8}{3}$，$x_2=\frac{14-2}{6}=2$
【答案】
$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可先观察方程的结构特征，优先选择简便方法降低计算量，比如本题中两边均为完全平方式，使用因式分解法或直接开方法比展开后计算更高效，熟练掌握不同解法能灵活应对各类一元二次方程求解问题。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，左侧是完全平方式$(x-3)^2$，右侧也是完全平方式$(5-2x)^2$，属于$A^2=B^2$的特殊形式，解题可从两个方向思考：一是利用平方差公式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；二是将方程左右两侧展开整理为一元二次方程的一般形式，再用配方法、公式法求解。优先选择因式分解法或直接开方法，计算更简便。
【解析】
方法一：因式分解法
原方程可变形为：$(x-3)^2=(5-2x)^2$
移项得：$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$
由平方差公式因式分解得：$[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0$
化简两个因式：
第一个因式：$x-3+5-2x=2-x$
第二个因式：$x-3-5+2x=3x-8$
因此方程转化为：$(2-x)(3x-8)=0$
则$2-x=0$或$3x-8=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=\frac{8}{3}$
方法二：公式法
将方程左右两侧展开：
左侧：$x^2-6x+9$
右侧：$(5-2x)^2=25-20x+4x^2$
移项合并同类项得：$x^2-6x+9-25+20x-4x^2=0$
整理为一般式：$3x^2-14x+16=0$
其中$a=3$，$b=-14$，$c=16$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-14)^2-4×3×16=196-192=4＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{14\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{14\pm2}{6}$
即$x_1=\frac{14+2}{6}=\frac{8}{3}$，$x_2=\frac{14-2}{6}=2$
【答案】
$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可先观察方程的结构特征，优先选择简便方法降低计算量，比如本题中两边均为完全平方式，使用因式分解法或直接开方法比展开后计算更高效，熟练掌握不同解法能灵活应对各类一元二次方程求解问题。
【难度系数】
0.8
