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3. 某果园有100棵桃树，1棵桃树平均结1 000个桃子.现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树结的桃子就会减少2个.如果要使产量增加15.2%，并使投入成本尽可能少，那么应多种多少棵桃树？
答案
应多种20棵桃树
解析
【分析】
本题属于一元二次方程实际应用中的产量问题，解题思路如下：①先明确核心等量关系：总产量=桃树总棵数×单棵桃树产量；②设多种的桃树棵数为未知数x，分别表示出增种后桃树的总棵数、单棵桃树的实际产量；③结合“产量增加15.2%”的条件写出目标总产量，列方程求解；④最后根据“投入成本尽可能少”（即增种棵数越少越好）的要求对所得的根进行取舍，得到符合要求的解。
【解析】
解：设应多种$ x $棵桃树。
原来的总产量为：$ 100 × 1000 = 100000 $个
增种后桃树总棵数为$ (100+x) $棵，每棵桃树的产量为$ (1000-2x) $个，目标总产量为$ 100000 × (1+15.2\%) = 115200 $个。
根据总产量的等量关系列方程：
$(100+x)(1000-2x) = 100 × 1000 × (1+15.2\%)$
展开并整理方程：
$100000 + 800x - 2x^2 = 115200$
$x^2 - 400x + 7600 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-380) = 0$
解得：$ x_1=20 $，$ x_2=380 $
要使投入成本尽可能少，应选择增种棵数更少的方案，故舍去$ x=380 $，取$ x=20 $。
【答案】
应多种20棵桃树
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生产中的应用，解题的关键是准确梳理单棵产量、总种植棵数和总产量之间的等量关系，要注意所得的方程解必须符合题目的实际限制条件，避免多解漏选。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程实际应用中的产量问题，解题思路如下：①先明确核心等量关系：总产量=桃树总棵数×单棵桃树产量；②设多种的桃树棵数为未知数x，分别表示出增种后桃树的总棵数、单棵桃树的实际产量；③结合“产量增加15.2%”的条件写出目标总产量，列方程求解；④最后根据“投入成本尽可能少”（即增种棵数越少越好）的要求对所得的根进行取舍，得到符合要求的解。
【解析】
解：设应多种$ x $棵桃树。
原来的总产量为：$ 100 × 1000 = 100000 $个
增种后桃树总棵数为$ (100+x) $棵，每棵桃树的产量为$ (1000-2x) $个，目标总产量为$ 100000 × (1+15.2\%) = 115200 $个。
根据总产量的等量关系列方程：
$(100+x)(1000-2x) = 100 × 1000 × (1+15.2\%)$
展开并整理方程：
$100000 + 800x - 2x^2 = 115200$
$x^2 - 400x + 7600 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-380) = 0$
解得：$ x_1=20 $，$ x_2=380 $
要使投入成本尽可能少，应选择增种棵数更少的方案，故舍去$ x=380 $，取$ x=20 $。
【答案】
应多种20棵桃树
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生产中的应用，解题的关键是准确梳理单棵产量、总种植棵数和总产量之间的等量关系，要注意所得的方程解必须符合题目的实际限制条件，避免多解漏选。
【难度系数】
0.7
4. 某批发商以每件50元的价格购进800件衬衫.第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件.批发商为增加销售量,决定第二个月降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的衬衫一次性清仓,清仓时单价为40元.设第二个月的单价降低x元.
(1) 填表(不化简):
(2) 如果批发商希望通过销售这批衬衫获利9000元,那么第二个月的单价应为多少元?
(1) 填表(不化简):
(2) 如果批发商希望通过销售这批衬衫获利9000元,那么第二个月的单价应为多少元?
答案
(1) 80−x,200+10x,800−200−(200+10x)
(2) 根据题意,得80×200+(80−x)(200+10x)+40[800−200−(200+10x)]−50×800=9 000.整理,得x²−20x+100=0.解这个方程,得x₁=x₂=10.当x=10时,80−x=70＞50. 第二个月的单价应为70元
(2) 根据题意,得80×200+(80−x)(200+10x)+40[800−200−(200+10x)]−50×800=9 000.整理,得x²−20x+100=0.解这个方程,得x₁=x₂=10.当x=10时,80−x=70＞50. 第二个月的单价应为70元
解析
【分析】
(1) 填表思路：第二个月单价在第一个月80元的基础上降低x元，直接用80减x即可得到第二个月单价；销量方面，每降低1元可多售出10件，降低x元就多售出10x件，在原本预计销量200件的基础上加上多售出的数量就是第二个月的销量；清仓的数量是总进货量减去前两个月的销量总和，代入对应表达式即可得到结果。
(2) 销售利润问题的核心等量关系为“总销售额-总成本=总利润”。先分别计算第一个月、第二个月、清仓阶段的销售额，相加得到总销售额，总成本为进货单价乘总进货量，结合获利9000元的条件列出一元二次方程，求解后检验第二个月的单价是否高于购进价50元，舍去不符合题意的解即可得到最终结果。
【解析】
(1) 第二个月单价：第一个月单价为80元，降低x元，因此为$80-x$；
第二个月销售量：原本预计销售200件，每降1元多售10件，降x元多售10x件，因此为$200+10x$；
清仓销售量：总进货量为800件，减去第一个月售出的200件，再减去第二个月售出的$(200+10x)$件，因此为$800-200-(200+10x)$。
(2) 根据“总利润=总销售额-总成本”的等量关系列方程：
$80×200 + (80-x)(200+10x) + 40[800-200-(200+10x)] - 50×800 = 9000$
整理方程：
展开并合并同类项后得$x^2-20x+100=0$，
因式分解得$(x-10)^2=0$，解得$x_1=x_2=10$。
检验：当$x=10$时，第二个月单价为$80-10=70$元，$70＞50$，符合“最低单价高于购进价格”的要求。
【答案】
(1) 单价行第二个空填$\boxed{80-x}$；销售量行依次填$\boxed{200+10x}$，$\boxed{800-200-(200+10x)}$
(2) 第二个月的单价应为$\boxed{70}$元
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售阶段的单价、销售量的表达式，准确抓住利润的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的限制条件检验解是否符合实际意义，避免出现不符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 填表思路：第二个月单价在第一个月80元的基础上降低x元，直接用80减x即可得到第二个月单价；销量方面，每降低1元可多售出10件，降低x元就多售出10x件，在原本预计销量200件的基础上加上多售出的数量就是第二个月的销量；清仓的数量是总进货量减去前两个月的销量总和，代入对应表达式即可得到结果。
(2) 销售利润问题的核心等量关系为“总销售额-总成本=总利润”。先分别计算第一个月、第二个月、清仓阶段的销售额，相加得到总销售额，总成本为进货单价乘总进货量，结合获利9000元的条件列出一元二次方程，求解后检验第二个月的单价是否高于购进价50元，舍去不符合题意的解即可得到最终结果。
【解析】
(1) 第二个月单价：第一个月单价为80元，降低x元，因此为$80-x$；
第二个月销售量：原本预计销售200件，每降1元多售10件，降x元多售10x件，因此为$200+10x$；
清仓销售量：总进货量为800件，减去第一个月售出的200件，再减去第二个月售出的$(200+10x)$件，因此为$800-200-(200+10x)$。
(2) 根据“总利润=总销售额-总成本”的等量关系列方程：
$80×200 + (80-x)(200+10x) + 40[800-200-(200+10x)] - 50×800 = 9000$
整理方程：
展开并合并同类项后得$x^2-20x+100=0$，
因式分解得$(x-10)^2=0$，解得$x_1=x_2=10$。
检验：当$x=10$时，第二个月单价为$80-10=70$元，$70＞50$，符合“最低单价高于购进价格”的要求。
【答案】
(1) 单价行第二个空填$\boxed{80-x}$；销售量行依次填$\boxed{200+10x}$，$\boxed{800-200-(200+10x)}$
(2) 第二个月的单价应为$\boxed{70}$元
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售阶段的单价、销售量的表达式，准确抓住利润的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的限制条件检验解是否符合实际意义，避免出现不符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
