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跳水比赛中，如何判断评委们对某位选手评价的一致性程度？
答案
略
解析
【分析】
要判断评委评价的一致性，本质是判断评委打分这组数据的波动大小：一致性越高，说明各评委打分的差异越小，数据波动越小。我们学过衡量数据波动大小（离散程度）的统计量是方差或标准差，因此可以通过计算打分的方差判断一致性：方差越小，数据波动越小、越稳定，对应评价一致性越高，解题时先收集打分数据，再依次计算平均数、方差，最后根据方差大小判断一致性即可。
【解析】
1. 收集所有评委对该选手的打分，记为数据：$x_1, x_2, \dots, x_n$（$n$为评委总人数）。
2. 计算打分的平均数：$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \dots + x_n)$。
3. 计算打分的方差：$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2]$，也可计算标准差$s=\sqrt{s^2}$。
4. 判定一致性：方差（或标准差）越小，说明评委打分波动越小，评价的一致性程度越高；反之方差（或标准差）越大，评价一致性越低。
【答案】
先统计所有评委对该选手的打分，计算这组打分的方差（或标准差）：方差（或标准差）越小，评委评价的一致性程度越高；方差（或标准差）越大，评价的一致性程度越低。
【知识点】
方差的意义；数据的离散程度
【点评】
本题结合体育比赛的实际场景考查统计知识的应用，核心是理解方差反映数据波动大小的特性，引导学生学会将实际问题转化为统计量的分析问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
要判断评委评价的一致性，本质是判断评委打分这组数据的波动大小：一致性越高，说明各评委打分的差异越小，数据波动越小。我们学过衡量数据波动大小（离散程度）的统计量是方差或标准差，因此可以通过计算打分的方差判断一致性：方差越小，数据波动越小、越稳定，对应评价一致性越高，解题时先收集打分数据，再依次计算平均数、方差，最后根据方差大小判断一致性即可。
【解析】
1. 收集所有评委对该选手的打分，记为数据：$x_1, x_2, \dots, x_n$（$n$为评委总人数）。
2. 计算打分的平均数：$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \dots + x_n)$。
3. 计算打分的方差：$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2]$，也可计算标准差$s=\sqrt{s^2}$。
4. 判定一致性：方差（或标准差）越小，说明评委打分波动越小，评价的一致性程度越高；反之方差（或标准差）越大，评价一致性越低。
【答案】
先统计所有评委对该选手的打分，计算这组打分的方差（或标准差）：方差（或标准差）越小，评委评价的一致性程度越高；方差（或标准差）越大，评价的一致性程度越低。
【知识点】
方差的意义；数据的离散程度
【点评】
本题结合体育比赛的实际场景考查统计知识的应用，核心是理解方差反映数据波动大小的特性，引导学生学会将实际问题转化为统计量的分析问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员身高(单位:cm)分别是：
甲团:163,164,164,165,165,166,166,167；
乙团:163,165,165,166,166,167,168,168.
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
甲团:163,164,164,165,165,166,166,167；
乙团:163,165,165,166,166,167,168,168.
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
答案
甲、乙两团女演员的平均身高分别是:$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(163+164+164+165+165+166+166+167)=165(\mathrm{cm})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+165+165+166+166+167+168+168)=166(\mathrm{cm})$，$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(163-165)^2+(164-165)^2+(164-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=1.5(\mathrm{cm}^2)$，$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(163-166)^2+(165-166)^2+(165-166)^2+(166-166)^2+(166-166)^2+(167-166)^2+(168-166)^2+(168-166)^2]=2.5(\mathrm{cm}^2)$。由$s^2_甲＜s^2_乙$可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
解析
【分析】
要判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐，本质是比较两组身高数据的离散程度，数据波动越小说明身高越整齐。统计学中常用方差衡量数据的离散程度，方差越小，数据的波动越小、越稳定。因此解题时应先分别计算甲、乙两团女演员身高的平均数，再代入方差公式计算两组数据的方差，最后比较两个方差的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两团女演员的平均身高：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(163+164+164+165+165+166+166+167)=165(\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+165+165+166+166+167+168+168)=166(\mathrm{cm})$
再分别计算两团身高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(163-165)^2+(164-165)^2+(164-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=1.5(\mathrm{cm}^2)$
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(163-166)^2+(165-166)^2+(165-166)^2+(166-166)^2+(166-166)^2+(167-166)^2+(168-166)^2+(168-166)^2]=2.5(\mathrm{cm}^2)$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲团女演员身高的波动更小，因此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
【答案】
甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是方差在实际生活中的应用类题目，解题的核心是明确方差越小，数据的离散程度越小、波动越小、越稳定，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐，本质是比较两组身高数据的离散程度，数据波动越小说明身高越整齐。统计学中常用方差衡量数据的离散程度，方差越小，数据的波动越小、越稳定。因此解题时应先分别计算甲、乙两团女演员身高的平均数，再代入方差公式计算两组数据的方差，最后比较两个方差的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两团女演员的平均身高：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(163+164+164+165+165+166+166+167)=165(\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+165+165+166+166+167+168+168)=166(\mathrm{cm})$
再分别计算两团身高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(163-165)^2+(164-165)^2+(164-165)^2+(165-165)^2+(165-165)^2+(166-165)^2+(166-165)^2+(167-165)^2]=1.5(\mathrm{cm}^2)$
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(163-166)^2+(165-166)^2+(165-166)^2+(166-166)^2+(166-166)^2+(167-166)^2+(168-166)^2+(168-166)^2]=2.5(\mathrm{cm}^2)$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲团女演员身高的波动更小，因此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
【答案】
甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是方差在实际生活中的应用类题目，解题的核心是明确方差越小，数据的离散程度越小、波动越小、越稳定，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1.（1）在歌唱比赛中，5位评委对某位歌手的打分如下：90，85，89，92，94，这组数据的离差平方和是
9.2
；答案
1. (1) 9.2
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按固定步骤推导：首先需要算出这组数据的算术平均数，再依次计算每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值求和后除以数据总个数，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数$\bar{x}$：
$\bar{x}=\frac{90+85+89+92+94}{5}=\frac{450}{5}=90$
2. 代入公式计算：
所求值$=\frac{1}{5}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(89-90)^2+(92-90)^2+(94-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+25+1+4+16)$
$=\frac{1}{5}×46=9.2$
【答案】
9.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于数据统计的基础计算题，解题核心是先准确求解平均数，再严格按照公式逐步运算，计算过程中要注意平方运算和加法运算的准确性，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按固定步骤推导：首先需要算出这组数据的算术平均数，再依次计算每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值求和后除以数据总个数，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数$\bar{x}$：
$\bar{x}=\frac{90+85+89+92+94}{5}=\frac{450}{5}=90$
2. 代入公式计算：
所求值$=\frac{1}{5}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(89-90)^2+(92-90)^2+(94-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+25+1+4+16)$
$=\frac{1}{5}×46=9.2$
【答案】
9.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于数据统计的基础计算题，解题核心是先准确求解平均数，再严格按照公式逐步运算，计算过程中要注意平方运算和加法运算的准确性，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
(2)设$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差是$s^2$，则$x_1 -1,x_2 -1,\dots,x_n -1$的方差是
$s^2$
。答案
1. (2) $s^2$
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：一是从方差的意义出发，方差反映数据的波动大小，一组数据整体减去同一个常数，相当于把数据整体平移，波动程度不会改变，可直接判断方差不变；二是通过设原数据的平均数，代入方差公式逐步推导，验证新数据的方差和原方差的关系。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则新数据$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1-1)+(x_2-1)+\dots+(x_n-1)}{n}=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)-n}{n}=\overline{x}-1$
根据方差计算公式，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
代入新数据计算方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(x_1-1-\overline{x}')^2+(x_2-1-\overline{x}')^2+\dots+(x_n-1-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1-1-(\overline{x}-1))^2+(x_2-1-(\overline{x}-1))^2+\dots+(x_n-1-(\overline{x}-1))^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=s^2\end{aligned}$
【答案】
$s^2$
【知识点】
1. 方差的计算
2. 方差的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的变化规律，解题的关键是理解方差仅与数据的离散程度有关：一组数据每个数加减同一个常数时，方差不变；每个数乘同一个非零常数$a$时，方差变为原来的$a^2$倍。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个角度思考：一是从方差的意义出发，方差反映数据的波动大小，一组数据整体减去同一个常数，相当于把数据整体平移，波动程度不会改变，可直接判断方差不变；二是通过设原数据的平均数，代入方差公式逐步推导，验证新数据的方差和原方差的关系。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则新数据$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1-1)+(x_2-1)+\dots+(x_n-1)}{n}=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)-n}{n}=\overline{x}-1$
根据方差计算公式，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
代入新数据计算方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(x_1-1-\overline{x}')^2+(x_2-1-\overline{x}')^2+\dots+(x_n-1-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1-1-(\overline{x}-1))^2+(x_2-1-(\overline{x}-1))^2+\dots+(x_n-1-(\overline{x}-1))^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=s^2\end{aligned}$
【答案】
$s^2$
【知识点】
1. 方差的计算
2. 方差的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的变化规律，解题的关键是理解方差仅与数据的离散程度有关：一组数据每个数加减同一个常数时，方差不变；每个数乘同一个非零常数$a$时，方差变为原来的$a^2$倍。
【难度系数】
0.8
2.（1）20位评委给选手打分，统计每位选手的得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做肯定不会对所有评委打分的一个统计量产生影响，这个统计量是（
A.平均分
B.众数
C.中位数
D.方差
C
）.A.平均分
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
2. (1) C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确各选项对应统计量的含义，再逐一分析去掉一个最高分和一个最低分对各统计量的影响：首先回忆中位数是将数据排序后取中间位置的数值（偶数个数据时为中间两个数的平均值），20个数据去掉头尾各1个后，中间位置的对应数据不变，因此中位数不受影响；再分别判断平均分、众数、方差都会受极端值影响，即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A（平均分）：平均分等于总分数除以打分人数，去掉最高分和最低分后，总分数减少、打分人数从20变为18，平均分可能发生变化，不符合要求；
2. 选项B（众数）：众数是一组数据中出现次数最多的数，若去掉的最高分或最低分是原数据的众数，众数可能发生改变，不符合要求；
3. 选项C（中位数）：将20个打分从小到大排列，原中位数是第10个和第11个数据的平均数；去掉1个最低分、1个最高分后，剩余18个数据是原排序的第2到第19个数据，新的中位数是剩余数据中第9个和第10个的平均数，恰好对应原来的第10个和第11个数据，因此中位数肯定不会发生变化，符合要求；
4. 选项D（方差）：方差反映数据的离散程度，去掉两个极端值后，数据的波动幅度变小，方差会发生变化，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义，统计量的特征，方差的意义
【点评】
本题考查常见统计量的基本性质，解题的核心是理解不同统计量受极端值的影响差异，结合中位数“排序后取中间值”的特征即可快速判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确各选项对应统计量的含义，再逐一分析去掉一个最高分和一个最低分对各统计量的影响：首先回忆中位数是将数据排序后取中间位置的数值（偶数个数据时为中间两个数的平均值），20个数据去掉头尾各1个后，中间位置的对应数据不变，因此中位数不受影响；再分别判断平均分、众数、方差都会受极端值影响，即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A（平均分）：平均分等于总分数除以打分人数，去掉最高分和最低分后，总分数减少、打分人数从20变为18，平均分可能发生变化，不符合要求；
2. 选项B（众数）：众数是一组数据中出现次数最多的数，若去掉的最高分或最低分是原数据的众数，众数可能发生改变，不符合要求；
3. 选项C（中位数）：将20个打分从小到大排列，原中位数是第10个和第11个数据的平均数；去掉1个最低分、1个最高分后，剩余18个数据是原排序的第2到第19个数据，新的中位数是剩余数据中第9个和第10个的平均数，恰好对应原来的第10个和第11个数据，因此中位数肯定不会发生变化，符合要求；
4. 选项D（方差）：方差反映数据的离散程度，去掉两个极端值后，数据的波动幅度变小，方差会发生变化，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
中位数的定义，统计量的特征，方差的意义
【点评】
本题考查常见统计量的基本性质，解题的核心是理解不同统计量受极端值的影响差异，结合中位数“排序后取中间值”的特征即可快速判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
（2）九年级(1)班和(2)班各选出20名学生进行英文录入比赛，通过对参赛学生每分钟录入的单词个数进行统计，两个班成绩的平均数相同，(1)班成绩的方差为17.5，(2)班成绩的方差为15，由此可知(
A.(1)班的成绩比(2)班稳定
B.(2)班的成绩比(1)班稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪个班的成绩更稳定
B
)。A.(1)班的成绩比(2)班稳定
B.(2)班的成绩比(1)班稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪个班的成绩更稳定
答案
2. (2) B
解析
【分析】
这道题考查方差的实际应用，解题思路如下：首先明确方差的作用是衡量数据的波动程度，当两组数据的平均数相同时，我们可以通过比较方差大小判断数据的稳定性，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；接下来对比两个班的方差数值，就能得出哪个班成绩更稳定。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小（离散程度）的统计量。当两组数据的平均数相同时，方差越小，说明数据的波动幅度越小，数据越稳定。
已知两个班参赛学生的平均成绩相同，(1)班成绩方差为17.5，(2)班成绩方差为15，因为$15 ＜ 17.5$，所以(2)班的成绩波动更小，比(1)班稳定。因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的性质，只要掌握“平均数相同时，方差越小数据越稳定”的规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查方差的实际应用，解题思路如下：首先明确方差的作用是衡量数据的波动程度，当两组数据的平均数相同时，我们可以通过比较方差大小判断数据的稳定性，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；接下来对比两个班的方差数值，就能得出哪个班成绩更稳定。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小（离散程度）的统计量。当两组数据的平均数相同时，方差越小，说明数据的波动幅度越小，数据越稳定。
已知两个班参赛学生的平均成绩相同，(1)班成绩方差为17.5，(2)班成绩方差为15，因为$15 ＜ 17.5$，所以(2)班的成绩波动更小，比(1)班稳定。因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查方差的性质，只要掌握“平均数相同时，方差越小数据越稳定”的规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
（3）为了解同一型号50辆汽车每耗油1 L所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1 L所行驶路程的试验，得到如下数据（单位：km）：11，15，9，12，13. 该样本的方差是（
A.20
B.12
C.4
D.2
C
）.A.20
B.12
C.4
D.2
答案
2. (3) C
解析
【分析】
要计算样本的方差，首先需明确方差的计算步骤：第一步先计算样本数据的平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步计算这些平方值的平均数，即为方差。按照该步骤逐步计算即可得到结果。
【解析】
首先计算样本的平均数：
$\overline{x}=\frac{11+15+9+12+13}{5}=\frac{60}{5}=12$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(11-12)^2+(15-12)^2+(9-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+9+9+0+1]$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因此该样本的方差是4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算流程，仔细运算即可得出正确结果，计算过程中要注意避免平均数计算错误、平方运算出错等低级失误。
【难度系数】
0.8
要计算样本的方差，首先需明确方差的计算步骤：第一步先计算样本数据的平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步计算这些平方值的平均数，即为方差。按照该步骤逐步计算即可得到结果。
【解析】
首先计算样本的平均数：
$\overline{x}=\frac{11+15+9+12+13}{5}=\frac{60}{5}=12$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(11-12)^2+(15-12)^2+(9-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+9+9+0+1]$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因此该样本的方差是4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算流程，仔细运算即可得出正确结果，计算过程中要注意避免平均数计算错误、平方运算出错等低级失误。
【难度系数】
0.8
