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3. 如图是甲、乙两位射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，成绩较稳定的是
甲
。答案
3. 甲
解析
【分析】
要判断哪位运动员的成绩更稳定，核心是比较两组成绩的离散程度：数据波动越小、方差越小，成绩越稳定。解题时可以先通过观察折线图的起伏程度初步判断波动大小，也可以通过计算两组数据的方差准确比较：首先分别求出甲、乙成绩的平均数，再代入方差公式计算方差，最后比较方差大小，方差小的成绩更稳定。
【解析】
判断成绩稳定性的依据是：数据的离散程度越小（波动越小、方差越小），成绩越稳定。
方法1：观察折线统计图可知，甲的成绩折线起伏幅度更小，说明甲的成绩波动更小，因此甲的成绩更稳定。
方法2：通过计算方差验证：
① 列出甲10次射击成绩：7，7，8，9，8，9，10，9，9，9
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+7+8+9+8+9+10+9+9+9}{10}=8.5$
甲的成绩方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}×[2×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 5×(9-8.5)^2 + 1×(10-8.5)^2]=0.85$
② 列出乙10次射击成绩：8，9，7，8，10，7，9，10，7，10
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+9+7+8+10+7+9+10+7+10}{10}=8.5$
乙的成绩方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}×[3×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 2×(9-8.5)^2 + 3×(10-8.5)^2]=1.45$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图；方差的意义；数据的离散程度
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，既可以通过直接观察折线波动快速得到结论，也可以通过计算方差准确验证，是统计类的基础常考题，需要熟练掌握方差越小数据越稳定的性质。
【难度系数】
0.85
要判断哪位运动员的成绩更稳定，核心是比较两组成绩的离散程度：数据波动越小、方差越小，成绩越稳定。解题时可以先通过观察折线图的起伏程度初步判断波动大小，也可以通过计算两组数据的方差准确比较：首先分别求出甲、乙成绩的平均数，再代入方差公式计算方差，最后比较方差大小，方差小的成绩更稳定。
【解析】
判断成绩稳定性的依据是：数据的离散程度越小（波动越小、方差越小），成绩越稳定。
方法1：观察折线统计图可知，甲的成绩折线起伏幅度更小，说明甲的成绩波动更小，因此甲的成绩更稳定。
方法2：通过计算方差验证：
① 列出甲10次射击成绩：7，7，8，9，8，9，10，9，9，9
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+7+8+9+8+9+10+9+9+9}{10}=8.5$
甲的成绩方差：$s^2_甲=\frac{1}{10}×[2×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 5×(9-8.5)^2 + 1×(10-8.5)^2]=0.85$
② 列出乙10次射击成绩：8，9，7，8，10，7，9，10，7，10
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+9+7+8+10+7+9+10+7+10}{10}=8.5$
乙的成绩方差：$s^2_乙=\frac{1}{10}×[3×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 2×(9-8.5)^2 + 3×(10-8.5)^2]=1.45$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图；方差的意义；数据的离散程度
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，既可以通过直接观察折线波动快速得到结论，也可以通过计算方差准确验证，是统计类的基础常考题，需要熟练掌握方差越小数据越稳定的性质。
【难度系数】
0.85
4. 为了考察甲、乙两块地的小麦长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm)：
甲:12,13,14,15,10,16,13,11,15,11；
乙:11,16,17,14,13,19,6,8,10,16.
请通过计算方差，判断哪块地的小麦长得比较整齐。
甲:12,13,14,15,10,16,13,11,15,11；
乙:11,16,17,14,13,19,6,8,10,16.
请通过计算方差，判断哪块地的小麦长得比较整齐。
答案
4. $\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(\mathrm{cm})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(\mathrm{cm})$，$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(15-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2+(13-13)^2+(11-13)^2+(15-13)^2+(11-13)^2]=3.6(\mathrm{cm}^2)$，$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(11-13)^2+(16-13)^2+(17-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(19-13)^2+(6-13)^2+(8-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2]=15.8(\mathrm{cm}^2)$，因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲块地的小麦长得比较整齐
解析
【分析】
要判断哪块地的小麦长得更整齐，本质是比较两组苗高数据的波动大小，而方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小数据波动越小，长势越整齐。解题时首先需分别计算甲、乙两组苗高的平均数，再代入方差公式计算两组的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲地块苗高的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(\mathrm{cm})$
2. 计算乙地块苗高的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(\mathrm{cm})$
3. 计算甲地块苗高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(15-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2+(13-13)^2+(11-13)^2+(15-13)^2+(11-13)^2]=3.6(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算乙地块苗高的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(11-13)^2+(16-13)^2+(17-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(19-13)^2+(6-13)^2+(8-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2]=15.8(\mathrm{cm}^2)$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲地块小麦苗高的波动更小，长势更整齐。
【答案】
甲块地的小麦长得比较整齐
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是方差在实际问题中的典型应用，解题关键是牢记“方差越小，数据波动越小，数据越稳定”的性质，计算时注意准确求解平均数、正确计算各数据与平均数偏差的平方和，即可顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
要判断哪块地的小麦长得更整齐，本质是比较两组苗高数据的波动大小，而方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小数据波动越小，长势越整齐。解题时首先需分别计算甲、乙两组苗高的平均数，再代入方差公式计算两组的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲地块苗高的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(\mathrm{cm})$
2. 计算乙地块苗高的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(\mathrm{cm})$
3. 计算甲地块苗高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(12-13)^2+(13-13)^2+(14-13)^2+(15-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2+(13-13)^2+(11-13)^2+(15-13)^2+(11-13)^2]=3.6(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算乙地块苗高的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(11-13)^2+(16-13)^2+(17-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(19-13)^2+(6-13)^2+(8-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2]=15.8(\mathrm{cm}^2)$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲地块小麦苗高的波动更小，长势更整齐。
【答案】
甲块地的小麦长得比较整齐
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是方差在实际问题中的典型应用，解题关键是牢记“方差越小，数据波动越小，数据越稳定”的性质，计算时注意准确求解平均数、正确计算各数据与平均数偏差的平方和，即可顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
5. 我们知道，方差的计算公式是：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2].$
它通过求一组数据离差平方和的平均数来描述数据的离散程度. 除此之外，你还能构造其他统计量来描述数据的离散程度吗？
（1）设计一个描述数据离散程度的新统计量，说明它的含义和合理性，尝试给出它的计算公式并举例；
（2）比较方差和你设计的新统计量，尝试分析它们的异同.
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2].$
它通过求一组数据离差平方和的平均数来描述数据的离散程度. 除此之外，你还能构造其他统计量来描述数据的离散程度吗？
（1）设计一个描述数据离散程度的新统计量，说明它的含义和合理性，尝试给出它的计算公式并举例；
（2）比较方差和你设计的新统计量，尝试分析它们的异同.
答案
5. 略
解析
【分析】
解决本题首先要抓住离散程度的核心本质：衡量一组数据相对于中心值（通常为平均数）的整体偏离幅度，构造统计量时需避免偏差正负抵消的问题。我们可以借助已学的绝对值的性质（消除符号影响、保留数值大小），用偏差的绝对值替代方差中的平方项，即可得到符合要求的新统计量。解题步骤为：1. 围绕“量化数据与平均数的整体偏离程度”的核心设计统计量；2. 说明统计量如何解决正负抵消问题，验证合理性；3. 给出公式并举例验证；4. 从计算方式、灵敏度、实际意义等角度对比新统计量和方差的异同。
【解析】
（1）可设计平均绝对偏差（又称平均差）作为描述离散程度的新统计量：
① 含义：表示一组数据中每个数据与平均数的偏差的平均幅度，数值越大说明数据离散程度越高、波动越大。
② 合理性：若直接将各数据与平均数的差相加，正偏差和负偏差会相互抵消，无法反映真实的偏离总幅度；对偏差取绝对值后所有偏离幅度都被保留，再求平均值即可整体反映整组数据的离散情况。
③ 计算公式：设一组数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\overline{x}$，则平均绝对偏差公式为：
$MAD=\frac{1}{n}(|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+\dots+|x_n-\overline{x}|)$
④ 举例：现有两组数据A：1，2，3，4，5；B：1，1，3，5，5。
两组平均数均为$\overline{x}=3$，计算得$MAD_A=\frac{|1-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|5-3|}{5}=1.2$，$MAD_B=\frac{|1-3|+|1-3|+|3-3|+|5-3|+|5-3|}{5}=1.6$，可知B组离散程度更大，和实际观测结果一致。
（2）方差和平均绝对偏差的异同：
● 相同点：二者都是衡量数据离散程度的统计量，都以平均数为参照基准；数值越大都代表数据波动越大、离散程度越高。
● 不同点：① 计算方式不同：方差是偏差平方的平均数，平均差是偏差绝对值的平均数；② 对极端值敏感度不同：平方运算会放大极端偏差的影响，方差比平均差对极端值更敏感；③ 单位属性不同：方差的单位是原数据单位的平方，和原数据单位不统一，平均差的单位和原数据一致，含义更直观。
【答案】
（1）可设计平均绝对偏差，公式为$MAD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|$，含义为各数据与平均数偏差的绝对值的平均数，反映数据整体离散程度，举例见解析（答案不唯一，合理即可）；
（2）异同点见解析（合理即可）。
【知识点】
数据的离散程度、方差的意义、统计量设计
【点评】
本题为开放性探究题，跳出了对公式的机械记忆，核心考查对数据离散程度本质的理解，能够有效锻炼逻辑思维和统计知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要抓住离散程度的核心本质：衡量一组数据相对于中心值（通常为平均数）的整体偏离幅度，构造统计量时需避免偏差正负抵消的问题。我们可以借助已学的绝对值的性质（消除符号影响、保留数值大小），用偏差的绝对值替代方差中的平方项，即可得到符合要求的新统计量。解题步骤为：1. 围绕“量化数据与平均数的整体偏离程度”的核心设计统计量；2. 说明统计量如何解决正负抵消问题，验证合理性；3. 给出公式并举例验证；4. 从计算方式、灵敏度、实际意义等角度对比新统计量和方差的异同。
【解析】
（1）可设计平均绝对偏差（又称平均差）作为描述离散程度的新统计量：
① 含义：表示一组数据中每个数据与平均数的偏差的平均幅度，数值越大说明数据离散程度越高、波动越大。
② 合理性：若直接将各数据与平均数的差相加，正偏差和负偏差会相互抵消，无法反映真实的偏离总幅度；对偏差取绝对值后所有偏离幅度都被保留，再求平均值即可整体反映整组数据的离散情况。
③ 计算公式：设一组数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\overline{x}$，则平均绝对偏差公式为：
$MAD=\frac{1}{n}(|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+\dots+|x_n-\overline{x}|)$
④ 举例：现有两组数据A：1，2，3，4，5；B：1，1，3，5，5。
两组平均数均为$\overline{x}=3$，计算得$MAD_A=\frac{|1-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|5-3|}{5}=1.2$，$MAD_B=\frac{|1-3|+|1-3|+|3-3|+|5-3|+|5-3|}{5}=1.6$，可知B组离散程度更大，和实际观测结果一致。
（2）方差和平均绝对偏差的异同：
● 相同点：二者都是衡量数据离散程度的统计量，都以平均数为参照基准；数值越大都代表数据波动越大、离散程度越高。
● 不同点：① 计算方式不同：方差是偏差平方的平均数，平均差是偏差绝对值的平均数；② 对极端值敏感度不同：平方运算会放大极端偏差的影响，方差比平均差对极端值更敏感；③ 单位属性不同：方差的单位是原数据单位的平方，和原数据单位不统一，平均差的单位和原数据一致，含义更直观。
【答案】
（1）可设计平均绝对偏差，公式为$MAD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|$，含义为各数据与平均数偏差的绝对值的平均数，反映数据整体离散程度，举例见解析（答案不唯一，合理即可）；
（2）异同点见解析（合理即可）。
【知识点】
数据的离散程度、方差的意义、统计量设计
【点评】
本题为开放性探究题，跳出了对公式的机械记忆，核心考查对数据离散程度本质的理解，能够有效锻炼逻辑思维和统计知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
