我们把求解一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的过程看成一个黑箱模型：$\xrightarrow{输入}$$\xrightarrow{输出}$. 如图1-1,输入的量是$a,b,c$三个系数,而输出的是该方程的两个根$x_1$和$x_2$.若$a,b,c$分别输入$1,1,-1$；$1,2,1$和$1,1,2$三组数,则输出的结果分别是什么?
图1-1
$a,b,c$ $\xrightarrow{}$ $\begin{matrix} x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2=\dfrac{-b-$$\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{matrix}$ $\xrightarrow{}$ $x_1,x_2$

$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};x_1=x_2=-1;无解$

【分析】
解题时需结合一元二次方程求根公式及根的判别式求解：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；再对应代入求根公式计算根，或判断无解即可。我们分三组输入的系数分别计算即可得到输出结果。
【解析】
我们对三组系数分别计算：
1. 当$a=1,b=1,c=-1$时：
先计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
2. 当$a=1,b=2,c=1$时：
计算判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x_1=x_2=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2×1}=-1$。
3. 当$a=1,b=1,c=2$时：
计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×2=1-8=-7＜0$，方程没有实数根，即无解。
【答案】
$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};x_1=x_2=-1;无解$
【知识点】
求根公式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查对一元二次方程求根公式和根的判别式的掌握，解题时注意先计算判别式判断根的情况，再进行后续计算，避免出现无意义运算。
【难度系数】
0.8

例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）$5x^2 -4x -3=0$；
（2）$2x^2 +3=2\sqrt{6}x$；
（3）$3x^2 +2x +1=0$。

（1）$\because a=5,b=-4,c=-3,b^2-4ac=(-4)^2-4×5×(-3)=76＞0,\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根
（2）移项,得$2x^2-2\sqrt{6}x+3=0. \because a=2,b=-2\sqrt{6},c=3,b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0,\therefore$ 原方程有两个相等的实数根.
（3）$\because a=3,b=2,c=1,b^2-4ac=2^2-4×3×1=-8＜0,\therefore$ 原方程没有实数根

【分析】
不解方程判别一元二次方程根的情况，核心是运用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判断，解题思路如下：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上系数的符号；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。其中第（2）题需要先移项整理为一般形式，再确定对应系数。
【解析】
（1）对于方程$5x^2 -4x -3=0$，
$\because a=5,b=-4,c=-3$，
$\therefore b^2-4ac=(-4)^2-4×5×(-3)=76＞0$，
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。
（2）先移项整理为一般形式，得$2x^2-2\sqrt{6}x+3=0$，
$\because a=2,b=-2\sqrt{6},c=3$，
$\therefore b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×2×3=0$，
$\therefore$ 原方程有两个相等的实数根。
（3）对于方程$3x^2 +2x +1=0$，
$\because a=3,b=2,c=1$，
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×3×1=-8＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
【答案】
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确识别$a$、$b$、$c$的符号，计算判别式时注意避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8

例2 当k取什么值时，关于x的方程$4x^2 - 12x + k = 0$有两个相等的实数根？求此时方程的根。

$\because$ 原方程有两个相等的实数根,$\therefore b^2-4ac=0$. 由$b^2-4ac=(-12)^2-4×4× k=144-16k=0$,得$k=9. \therefore k=9$时,原方程有两个相等的实数根. 当$k=9$时,$x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-12)}{2×4}=\dfrac{3}{2}$

【分析】
要判断一元二次方程何时有两个相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式的性质思考：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。解题可分两步进行：第一步先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=0$得到关于$k$的方程，求解得到$k$的值；第二步将$k$的值代回原方程，利用求根公式求出此时方程的根。
【解析】
对于方程$4x^2 - 12x + k = 0$，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=k$。
$\because$ 原方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$，
代入系数得：$(-12)^2 - 4×4× k = 0$，
计算得：$144 - 16k = 0$，
解得：$k=9$。
当$k=9$时，方程的两个相等实数根为：
$x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-12)}{2×4}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
当$k=9$时方程有两个相等的实数根，此时方程的根为$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记根的判别式与根的三种情况的对应关系，计算时要注意一次项系数的符号，避免代入判别式时出错。
【难度系数】
0.8

1. 一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$的判别式$b^2 - 4ac=$，该方程根的情况是.

1. -3，没有实数根

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题分两步进行：第一步先从给定方程中找准带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将系数代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果，再根据判别式的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$。
代入判别式公式计算：
$b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3$
由于$-3 ＜ 0$，因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
-3，没有实数根
【知识点】
一元二次方程判别式计算；判别式判断根的情况
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程判别式的相关知识，解题关键是准确识别方程各项的系数，牢记判别式与根的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - 2x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ a $ 的取值范围是().

A.$ a＜1 $
B.$ a $ 大于 $ 1 $
C.$ a＜1 $ 且 $ a≠0 $
D.$ a≤1 $ 且 $ a≠0 $

2. C

【分析】
要解决这道题，需要同时满足两个限制条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，需要用一元二次方程根的判别式Δ＞0列不等式求解。先分别推导两个条件对应的a的取值范围，再取公共部分就是最终结果。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$a ≠ 0$
第二步：已知方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。本题中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × a × 1 ＞ 0$
计算化简得：$4 - 4a ＞ 0$
解不等式：$-4a ＞ -4$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$a ＜ 1$
第三步：结合两个条件取公共部分，可得$a$的取值范围是$a ＜ 1$且$a ≠ 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，仅通过判别式求解得到错误结果。
【难度系数】
0.7