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1. 下图中全等三角形是 （
A.Ⅰ和Ⅱ
B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ
D.Ⅰ和Ⅲ
D
）A.Ⅰ和Ⅱ
B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ
D.Ⅰ和Ⅲ
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查全等三角形的SAS判定定理，解题思路如下：首先明确判定规则：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，所以我们需要先确定每个三角形中30°角对应的两条夹边的长度，再对比各三角形的边角对应关系，找到满足“30°角+两条夹边都对应相等”的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，逐一分析四个三角形：
1. 三角形Ⅰ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm；
2. 三角形Ⅱ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、5cm；
3. 三角形Ⅲ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm；
4. 三角形Ⅳ：8cm的边是30°角的对边，不是夹边，不满足和其他三角形边角对应相等的条件。
可知三角形Ⅰ和Ⅲ的30°角以及两条夹边都对应相等，符合SAS判定规则，二者全等。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定全等三角形
【点评】
本题解题的核心是要明确SAS判定中，相等的角必须是两条相等边的夹角，要注意区分角是夹边的夹角还是对边的对角，避免混淆边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题考查全等三角形的SAS判定定理，解题思路如下：首先明确判定规则：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，所以我们需要先确定每个三角形中30°角对应的两条夹边的长度，再对比各三角形的边角对应关系，找到满足“30°角+两条夹边都对应相等”的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，逐一分析四个三角形：
1. 三角形Ⅰ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm；
2. 三角形Ⅱ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、5cm；
3. 三角形Ⅲ：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm；
4. 三角形Ⅳ：8cm的边是30°角的对边，不是夹边，不满足和其他三角形边角对应相等的条件。
可知三角形Ⅰ和Ⅲ的30°角以及两条夹边都对应相等，符合SAS判定规则，二者全等。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定全等三角形
【点评】
本题解题的核心是要明确SAS判定中，相等的角必须是两条相等边的夹角，要注意区分角是夹边的夹角还是对边的对角，避免混淆边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，BD平分∠ABC，若要用“SAS”的方法判定△ABD≌△CBD，还需要添加的一个条件是
AB=CB
。答案
2. AB=CB
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形“SAS”判定定理的内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。第一步先提取已有相等条件：1. 由BD平分∠ABC，根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD；2. BD是△ABD和△CBD的公共边，因此BD=BD。目前已有一组角相等、一组边相等，要满足SAS的要求，还缺夹这组相等角的另一组对应边相等，即AB和CB相等，即可凑齐两边及夹角的判定条件。
【解析】
已知BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠CBD（角平分线的定义），又BD为△ABD和△CBD的公共边，故BD=BD。
根据SAS判定规则，相等的角需是两组相等边的夹角，当前夹角∠ABD=∠CBD，夹该角的边分别为AB、BD和CB、BD，其中BD已相等，因此添加AB=CB即可满足SAS要求：
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD\end{cases}$
因此$△ ABD ≌ △ CBD$（SAS）。
【答案】
AB=CB
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是明确“SAS”判定中“角是两边的夹角”的要求，找准对应边和对应角的位置，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形“SAS”判定定理的内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。第一步先提取已有相等条件：1. 由BD平分∠ABC，根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD；2. BD是△ABD和△CBD的公共边，因此BD=BD。目前已有一组角相等、一组边相等，要满足SAS的要求，还缺夹这组相等角的另一组对应边相等，即AB和CB相等，即可凑齐两边及夹角的判定条件。
【解析】
已知BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠CBD（角平分线的定义），又BD为△ABD和△CBD的公共边，故BD=BD。
根据SAS判定规则，相等的角需是两组相等边的夹角，当前夹角∠ABD=∠CBD，夹该角的边分别为AB、BD和CB、BD，其中BD已相等，因此添加AB=CB即可满足SAS要求：
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD\end{cases}$
因此$△ ABD ≌ △ CBD$（SAS）。
【答案】
AB=CB
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是明确“SAS”判定中“角是两边的夹角”的要求，找准对应边和对应角的位置，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.8
3.(云南省中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
答案
3. 证明:
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC = ∠EAD, 在△ABC 与
△AED 中, $\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ BAC=∠ EAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED.(SAS)
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC = ∠EAD, 在△ABC 与
△AED 中, $\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ BAC=∠ EAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED.(SAS)
解析
【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即AB=AE、AC=AD，根据全等三角形的判定定理，此时只需证明这两组对应边的夹角相等即可完成证明。已知∠BAE=∠CAD，观察两个角的位置，给这两个角同时加上公共角∠CAE，就能推导出△ABC和△AED的对应夹角∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
证明：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠BAC = ∠EAD，
在△ABC与△AED中，
$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠BAC=∠EAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED（SAS）。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
角的和差运算，全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，核心考查学生对SAS判定定理的掌握情况，以及利用角的和差关系推导相等角的转化能力，解题的关键是准确找到两组对应边的夹角，完成全等条件的推导。
【难度系数】
0.85
要证明△ABC≌△AED，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即AB=AE、AC=AD，根据全等三角形的判定定理，此时只需证明这两组对应边的夹角相等即可完成证明。已知∠BAE=∠CAD，观察两个角的位置，给这两个角同时加上公共角∠CAE，就能推导出△ABC和△AED的对应夹角∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
证明：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠BAC = ∠EAD，
在△ABC与△AED中，
$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠BAC=∠EAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED（SAS）。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
角的和差运算，全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，核心考查学生对SAS判定定理的掌握情况，以及利用角的和差关系推导相等角的转化能力，解题的关键是准确找到两组对应边的夹角，完成全等条件的推导。
【难度系数】
0.85
4.(广州市中考)如图，B是AD的中点，BC//DE，BC=DE.求证:∠C=∠E. 
答案
4. 证明:
∵B是AD的中点,
∴AB=BD,
∵BC//DE,
∴∠ABC=∠D,在
△ABC和△BDE中,$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ ABC=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE,(SAS),
∴∠C=∠E.
∵B是AD的中点,
∴AB=BD,
∵BC//DE,
∴∠ABC=∠D,在
△ABC和△BDE中,$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ ABC=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE,(SAS),
∴∠C=∠E.
解析
【分析】
要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△ABC和△BDE全等来推导。首先从已知条件出发：由B是AD中点可得到一组相等的边AB=BD；由BC//DE，结合平行线的性质可得到一组相等的同位角∠ABC=∠D；再结合题目给出的BC=DE的条件，刚好满足全等三角形SAS的判定依据，即可证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等就能得到结论。
【解析】
证明：
∵B是AD的中点，
∴AB=BD，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC和△BDE中，
$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ABC=∠D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C=∠E。
【答案】
∵B是AD的中点,
∴AB=BD,
∵BC//DE,
∴∠ABC=∠D,
在△ABC和△BDE中,$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ ABC=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE(SAS),
∴∠C=∠E。
【知识点】
平行线的性质、SAS判定全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，侧重考察全等三角形的判定与性质，解题时需结合中点、平行线的性质推导全等所需的边、角相等条件，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△ABC和△BDE全等来推导。首先从已知条件出发：由B是AD中点可得到一组相等的边AB=BD；由BC//DE，结合平行线的性质可得到一组相等的同位角∠ABC=∠D；再结合题目给出的BC=DE的条件，刚好满足全等三角形SAS的判定依据，即可证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等就能得到结论。
【解析】
证明：
∵B是AD的中点，
∴AB=BD，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC和△BDE中，
$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ABC=∠D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C=∠E。
【答案】
∵B是AD的中点,
∴AB=BD,
∵BC//DE,
∴∠ABC=∠D,
在△ABC和△BDE中,$\begin{cases} AB=BD,\\ ∠ ABC=∠ D,\\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△BDE(SAS),
∴∠C=∠E。
【知识点】
平行线的性质、SAS判定全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，侧重考察全等三角形的判定与性质，解题时需结合中点、平行线的性质推导全等所需的边、角相等条件，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
5.【新中考·生产劳动情境】如图，小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，他先找来两根钢条AC，BD，M，N分别为AC，BD的中点，然后将M，N重合固定在一起，使AC，BD可以绕固定点M(N)自由转动。若测得CD=3cm，则该零件的内径AB=
3
cm，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是SAS
。答案
5. 3 SAS
解析
【分析】
要解决本题，首先需要找到AB和CD所在三角形的关系：先根据中点的性质得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到AB的长度，同时确定全等判定的依据。
【解析】
∵M、N分别是AC、BD的中点，且M、N重合固定，
∴$AM=CM$，$BM=DM$，
又
∵$∠ AMB$与$∠ CMD$是对顶角，
∴$∠ AMB=∠ CMD$。
在$△ AMB$和$△ CMD$中：
$\{\begin{array}{l}AM=CM\\ ∠ AMB=∠ CMD\\ BM=DM\end{array} $
∴$△ AMB≌△ CMD(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD=3\mathrm{cm}$，判定全等的依据为SAS。
【答案】
3；SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量的生产情境，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题的关键是找到两个三角形中相等的对应边和对应角，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要找到AB和CD所在三角形的关系：先根据中点的性质得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到AB的长度，同时确定全等判定的依据。
【解析】
∵M、N分别是AC、BD的中点，且M、N重合固定，
∴$AM=CM$，$BM=DM$，
又
∵$∠ AMB$与$∠ CMD$是对顶角，
∴$∠ AMB=∠ CMD$。
在$△ AMB$和$△ CMD$中：
$\{\begin{array}{l}AM=CM\\ ∠ AMB=∠ CMD\\ BM=DM\end{array} $
∴$△ AMB≌△ CMD(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD=3\mathrm{cm}$，判定全等的依据为SAS。
【答案】
3；SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量的生产情境，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题的关键是找到两个三角形中相等的对应边和对应角，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
6.【新中考·传统文化】在如图所示的部分象棋棋盘中，A处为晓晓的棋子“马”，B，C处为佳佳的两枚棋子，“马”可以从点A行棋至B处或C处吃掉佳佳的棋子，连接AB，AC，则∠1+∠2=
180
°.答案
6. 180
解析
【分析】解题时先设每个小正方形的边长为1，观察图形可找到分别包含∠1和∠ACF（∠2的邻补角）的两个直角三角形，两个三角形的直角边长度对应相等，夹角均为直角，可通过SAS判定两三角形全等，得到∠1=∠ACF；再结合平角的定义，可知∠ACF与∠2的和为180°，进而推出∠1+∠2的度数。
【解析】设每个小正方形的边长为1，记大正方形左上角顶点为D，右下角顶点为F。
在△ADB和△AFC中：
$AD = AF = 2$，
$BD = CF = 1$，
$∠ ADB = ∠ AFC = 90°$，
$\therefore△ ADB ≌ △ AFC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ 1 = ∠ ACF$（全等三角形对应角相等）。
∵大正方形右侧边三点共线，$∠ ECF$为平角，
$\therefore∠ 2 + ∠ ACF = 180°$，
$\therefore∠ 1 + ∠ 2 = ∠ ACF + ∠ 2 = 180°$。
【答案】180
【知识点】全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质；平角的定义
【点评】本题结合象棋文化创设情境，考查学生对全等三角形判定、性质及平角定义的掌握，需要学生具备一定的图形观察能力，通过构造全等三角形转化角的关系是解题的突破口。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，记大正方形左上角顶点为D，右下角顶点为F。
在△ADB和△AFC中：
$AD = AF = 2$，
$BD = CF = 1$，
$∠ ADB = ∠ AFC = 90°$，
$\therefore△ ADB ≌ △ AFC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ 1 = ∠ ACF$（全等三角形对应角相等）。
∵大正方形右侧边三点共线，$∠ ECF$为平角，
$\therefore∠ 2 + ∠ ACF = 180°$，
$\therefore∠ 1 + ∠ 2 = ∠ ACF + ∠ 2 = 180°$。
【答案】180
【知识点】全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质；平角的定义
【点评】本题结合象棋文化创设情境，考查学生对全等三角形判定、性质及平角定义的掌握，需要学生具备一定的图形观察能力，通过构造全等三角形转化角的关系是解题的突破口。
【难度系数】0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，且$CD=BE$，$△ ADC$与$△ AEB$全等吗？请说明理由。
答案
7. 解:$△ ADC≌△ AEB$. 理由如下:
∵$AB=AC$,D,E分别是AB,AC的中点,
∴$AD=AE$. 在$△ ADC$和$△ AEB$中,
∵ $\begin{cases} AC=AB,\\ ∠ A=∠ A,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB.$(SAS)
∵$AB=AC$,D,E分别是AB,AC的中点,
∴$AD=AE$. 在$△ ADC$和$△ AEB$中,
∵ $\begin{cases} AC=AB,\\ ∠ A=∠ A,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB.$(SAS)
解析
【分析】
要判断△ADC与△AEB是否全等，可结合已知条件梳理两个三角形的对应边、对应角关系，对照全等判定定理验证即可。首先已知AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，根据线段中点的定义，可推出AD是AB的一半、AE是AC的一半，结合AB=AC即可得到AD=AE；其次两个三角形有公共角∠A，同时已知AC=AB，此时满足“两边及其夹角对应相等”的全等判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
△ADC≌△AEB，理由如下：
∵$AB=AC$，D，E分别是AB，AC的中点，
∴$AD=AE$。
在$△ ADC$和$△ AEB$中，
∵ $\begin{cases} AC=AB,\\ ∠ A=∠ A,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB.$(SAS)
【答案】
$△ ADC≌△ AEB$，理由见解析。
【知识点】
线段中点的定义、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质得到一组对应边相等，结合已知等边和公共角即可用SAS定理证明全等，是三角形全等章节的常规练习题。
【难度系数】
0.8
要判断△ADC与△AEB是否全等，可结合已知条件梳理两个三角形的对应边、对应角关系，对照全等判定定理验证即可。首先已知AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，根据线段中点的定义，可推出AD是AB的一半、AE是AC的一半，结合AB=AC即可得到AD=AE；其次两个三角形有公共角∠A，同时已知AC=AB，此时满足“两边及其夹角对应相等”的全等判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
△ADC≌△AEB，理由如下：
∵$AB=AC$，D，E分别是AB，AC的中点，
∴$AD=AE$。
在$△ ADC$和$△ AEB$中，
∵ $\begin{cases} AC=AB,\\ ∠ A=∠ A,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB.$(SAS)
【答案】
$△ ADC≌△ AEB$，理由见解析。
【知识点】
线段中点的定义、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质得到一组对应边相等，结合已知等边和公共角即可用SAS定理证明全等，是三角形全等章节的常规练习题。
【难度系数】
0.8
