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9.如图，在$△ ABC$和$△ ABD$中，边$BC$与$AD$相交于点$O$，且$△ AOC ≌ △ BOD$，若$△ AOC$的周长为12，$△ ABD$的周长为20，则$AB$的长为（
A.6
B.8
C.10
D.12
B
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质得到对应边相等，再对△ABD的周长进行拆分，通过等量代换将△ABD的周长转化为AB与△AOC周长的和，最后代入已知周长数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△AOC ≌ △BOD，根据全等三角形对应边相等可得：
$AC=BD$，$OC=OD$
已知△AOC的周长为12，即：
$AC + AO + OC = 12$
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，其中$AD = AO + OD$，将$BD=AC$、$OD=OC$代入可得：
$△ ABD\mathrm{的周长} = AB + AC + AO + OC = AB + (AC + AO + OC) = AB + 12$
又
∵△ABD的周长为20
∴$AB + 12 = 20$，解得$AB=8$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，核心是通过等量代换建立两个三角形周长之间的关联，解题时要注意准确找到全等三角形的对应边，再结合周长公式进行代换计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用全等三角形的性质得到对应边相等，再对△ABD的周长进行拆分，通过等量代换将△ABD的周长转化为AB与△AOC周长的和，最后代入已知周长数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△AOC ≌ △BOD，根据全等三角形对应边相等可得：
$AC=BD$，$OC=OD$
已知△AOC的周长为12，即：
$AC + AO + OC = 12$
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，其中$AD = AO + OD$，将$BD=AC$、$OD=OC$代入可得：
$△ ABD\mathrm{的周长} = AB + AC + AO + OC = AB + (AC + AO + OC) = AB + 12$
又
∵△ABD的周长为20
∴$AB + 12 = 20$，解得$AB=8$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，核心是通过等量代换建立两个三角形周长之间的关联，解题时要注意准确找到全等三角形的对应边，再结合周长公式进行代换计算即可。
【难度系数】
0.7
10.(临夏州中考)如图,在$△ ABC$中,点A的坐标为$(0,1)$,点B的坐标为$(4,1)$,点C的坐标为$(3,4)$,点D在第一象限(不与点C重合),且$△ ABD$与$△ ABC$全等,点D的坐标是
(1,4)
.答案
10.(1,4)
解析
【分析】
首先观察到△ABD和△ABC有公共边AB，先确定AB的位置与特征：A(0,1)、B(4,1)，可知AB平行于x轴，长度为4，所在直线为y=1。根据全等三角形的性质，点D到AB的距离和点C到AB的距离相等，据此先确定D的纵坐标范围；再结合D在第一象限、不与C重合的限定条件，分情况讨论D的横坐标，排除不符合要求的点即可得到答案。
【解析】
解：已知点A坐标为(0,1)，点B坐标为(4,1)，
∴AB平行于x轴，AB的长度为$4-0=4$，AB所在直线的解析式为$y=1$。
点C(3,4)到直线AB的距离为$4-1=3$。
∵△ABD≌△ABC，AB为两个三角形的公共边，
∴点D到直线AB的距离等于点C到AB的距离，即D的纵坐标为$1+3=4$或$1-3=-2$。
又
∵点D在第一象限，且不与点C重合，
∴D的纵坐标为4，且坐标与C不相同。
当△ABC≌△BAD时，D与C关于AB的垂直平分线（直线$x=2$）对称，
C的横坐标为3，因此D的横坐标为$2×2 -3=1$，纵坐标为4，即$D(1,4)$；
若D在AB下方，纵坐标为-2，不符合第一象限的要求，舍去；
若D与C重合也不符合题干要求，舍去。
综上，点D的坐标为(1,4)。
【答案】
(1,4)
【知识点】
1.全等三角形的性质 2.坐标与图形性质 3.平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题解题的核心是抓住公共边AB，利用全等三角形对应高相等确定点D的纵坐标，再结合限定条件分类讨论排除不符合的点，考查了分类讨论思想和几何与坐标结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察到△ABD和△ABC有公共边AB，先确定AB的位置与特征：A(0,1)、B(4,1)，可知AB平行于x轴，长度为4，所在直线为y=1。根据全等三角形的性质，点D到AB的距离和点C到AB的距离相等，据此先确定D的纵坐标范围；再结合D在第一象限、不与C重合的限定条件，分情况讨论D的横坐标，排除不符合要求的点即可得到答案。
【解析】
解：已知点A坐标为(0,1)，点B坐标为(4,1)，
∴AB平行于x轴，AB的长度为$4-0=4$，AB所在直线的解析式为$y=1$。
点C(3,4)到直线AB的距离为$4-1=3$。
∵△ABD≌△ABC，AB为两个三角形的公共边，
∴点D到直线AB的距离等于点C到AB的距离，即D的纵坐标为$1+3=4$或$1-3=-2$。
又
∵点D在第一象限，且不与点C重合，
∴D的纵坐标为4，且坐标与C不相同。
当△ABC≌△BAD时，D与C关于AB的垂直平分线（直线$x=2$）对称，
C的横坐标为3，因此D的横坐标为$2×2 -3=1$，纵坐标为4，即$D(1,4)$；
若D在AB下方，纵坐标为-2，不符合第一象限的要求，舍去；
若D与C重合也不符合题干要求，舍去。
综上，点D的坐标为(1,4)。
【答案】
(1,4)
【知识点】
1.全等三角形的性质 2.坐标与图形性质 3.平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题解题的核心是抓住公共边AB，利用全等三角形对应高相等确定点D的纵坐标，再结合限定条件分类讨论排除不符合的点，考查了分类讨论思想和几何与坐标结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$△ ABD ≌ △ EBC$，$AB = 3\mathrm{cm}$，$BC = 4.5\mathrm{cm}$，点A，B，C在一条直线上。
(1)求DE的长；
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由。
(1)求DE的长；
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由。
答案
11. (1)解:
∵△ABD≌△EBC,
∴AB=EB,BD=BC.
∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5(cm).
(2)AC⊥BD.理由:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC.又
∵∠ABD+∠EBC=180°,
∴∠EBC=90°.
∴AC⊥BD.
∵△ABD≌△EBC,
∴AB=EB,BD=BC.
∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5(cm).
(2)AC⊥BD.理由:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC.又
∵∠ABD+∠EBC=180°,
∴∠EBC=90°.
∴AC⊥BD.
解析
【分析】
(1) 要求DE的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质，从已知的△ABD≌△EBC中找到和DE相关的边：BD和BE分别对应BC和AB，DE为BD与BE的差，代入已知边长即可计算。
(2) 判断AC与BD的位置关系，先结合图形猜测为垂直，利用全等三角形对应角相等得∠ABD=∠EBC，再结合A、B、C共线，两角和为平角180°，可推出角为90°，进而证明垂直。
【解析】
(1)
∵△ABD≌△EBC，
∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等）。
已知AB=3cm，BC=4.5cm，
∴BE=3cm，BD=4.5cm，
∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5(cm)。
(2) AC⊥BD，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC（全等三角形对应角相等）。
∵点A，B，C在同一条直线上，
∴∠ABD+∠EBC=180°（平角的定义），
∴2∠EBC=180°，即∠EBC=90°，
∴AC⊥BD（垂直的定义）。
【答案】
(1) DE的长为1.5cm；
(2) AC⊥BD。
【知识点】
全等三角形的性质；平角的定义；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角的性质即可快速求解，需要熟练掌握全等三角形性质的应用。
【难度系数】
0.85
(1) 要求DE的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质，从已知的△ABD≌△EBC中找到和DE相关的边：BD和BE分别对应BC和AB，DE为BD与BE的差，代入已知边长即可计算。
(2) 判断AC与BD的位置关系，先结合图形猜测为垂直，利用全等三角形对应角相等得∠ABD=∠EBC，再结合A、B、C共线，两角和为平角180°，可推出角为90°，进而证明垂直。
【解析】
(1)
∵△ABD≌△EBC，
∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等）。
已知AB=3cm，BC=4.5cm，
∴BE=3cm，BD=4.5cm，
∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5(cm)。
(2) AC⊥BD，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC（全等三角形对应角相等）。
∵点A，B，C在同一条直线上，
∴∠ABD+∠EBC=180°（平角的定义），
∴2∠EBC=180°，即∠EBC=90°，
∴AC⊥BD（垂直的定义）。
【答案】
(1) DE的长为1.5cm；
(2) AC⊥BD。
【知识点】
全等三角形的性质；平角的定义；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合平角的性质即可快速求解，需要熟练掌握全等三角形性质的应用。
【难度系数】
0.85
12.(山东省中考改编)如图，
，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE。
(1)证明：BD=DE+CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD//CE？
，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE。(1)证明：BD=DE+CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD//CE？
答案
12. (1)证明:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=DE+CE.
(2)解:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠CEA.若BD//CE,则∠CED=∠BDE,
∴∠ADB=∠BDE,又
∵∠ADB+∠BDE=180°,
∴∠ADB=90°.即△ABD是以∠ADB=90°的直角三角形时,BD//CE.
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=DE+CE.
(2)解:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠CEA.若BD//CE,则∠CED=∠BDE,
∴∠ADB=∠BDE,又
∵∠ADB+∠BDE=180°,
∴∠ADB=90°.即△ABD是以∠ADB=90°的直角三角形时,BD//CE.
解析
【分析】
(1) 要证明BD=DE+CE，首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到BD和AE、AD和CE的等量关系，再结合线段AE可拆分为AD+DE的和差关系，通过等量代换即可推导得出结论。
(2) 要判断BD//CE的条件，先依据平行线的判定定理，可知需要对应的内错角相等；再结合全等三角形对应角相等的性质，以及A、D、E共线形成的平角关系，即可反推出△ABD需要满足的条件。
【解析】
(1) 证明:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=DE+CE.
(2) 解:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠CEA.若BD//CE,则∠CED=∠BDE,
∴∠ADB=∠BDE,
又
∵∠ADB+∠BDE=180°,
∴∠ADB=90°.即△ABD是以∠ADB=90°的直角三角形时,BD//CE.
【答案】
(1) BD=DE+CE，得证；
(2) 当△ABD中∠ADB=90°（即△ABD是以∠ADB为直角的直角三角形）时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定、线段和差关系
【点评】
本题围绕全等三角形的性质展开考查，同时结合了线段等量推导和平行线判定的相关知识，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，再结合基础几何定理推导结论，是全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD=DE+CE，首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到BD和AE、AD和CE的等量关系，再结合线段AE可拆分为AD+DE的和差关系，通过等量代换即可推导得出结论。
(2) 要判断BD//CE的条件，先依据平行线的判定定理，可知需要对应的内错角相等；再结合全等三角形对应角相等的性质，以及A、D、E共线形成的平角关系，即可反推出△ABD需要满足的条件。
【解析】
(1) 证明:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=DE+CE.
(2) 解:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠CEA.若BD//CE,则∠CED=∠BDE,
∴∠ADB=∠BDE,
又
∵∠ADB+∠BDE=180°,
∴∠ADB=90°.即△ABD是以∠ADB=90°的直角三角形时,BD//CE.
【答案】
(1) BD=DE+CE，得证；
(2) 当△ABD中∠ADB=90°（即△ABD是以∠ADB为直角的直角三角形）时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定、线段和差关系
【点评】
本题围绕全等三角形的性质展开考查，同时结合了线段等量推导和平行线判定的相关知识，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，再结合基础几何定理推导结论，是全等三角形应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
13.【核心素养·几何直观】如图,将五边形AB-CDE沿AD向下折叠,使得点E的对应点F落在BC上,已知△ABF≌△FCD,∠B=90°.
(1)填空:△ADE≌
(2)求证:AB//CD;
(3)请写出线段AF与DF之间的数量关系及位置关系,并说明理由;
(4)若AF=8,求△AED的面积.
(1)填空:△ADE≌
△ADF
;(2)求证:AB//CD;
(3)请写出线段AF与DF之间的数量关系及位置关系,并说明理由;
(4)若AF=8,求△AED的面积.
答案
13. (1)△ADF
(2)证明:
∵△ABF≌△FCD,
∴∠B=∠C,
∵∠B=90°,
∴∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB//CD;
(3)解:AF=FD,AF⊥FD,理由如下:
∵∠B=90°,
∴∠FAB+∠BFA=90°,
∵△ABF≌△FCD,
∴AF=DF,∠DFC=∠FAB,
∴∠BFA+∠DFC=90°,
∴∠AFD=90°,
∴AF⊥FD;
(4)解:由(3)得AF⊥FD,AF=DF=8,
∴$S_{△AFD}=\frac{1}{2}AF·DF=\frac{1}{2}×8×8=32$,由折叠的性质得$S_{△AED}=S_{△AFD}=32$.
(2)证明:
∵△ABF≌△FCD,
∴∠B=∠C,
∵∠B=90°,
∴∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB//CD;
(3)解:AF=FD,AF⊥FD,理由如下:
∵∠B=90°,
∴∠FAB+∠BFA=90°,
∵△ABF≌△FCD,
∴AF=DF,∠DFC=∠FAB,
∴∠BFA+∠DFC=90°,
∴∠AFD=90°,
∴AF⊥FD;
(4)解:由(3)得AF⊥FD,AF=DF=8,
∴$S_{△AFD}=\frac{1}{2}AF·DF=\frac{1}{2}×8×8=32$,由折叠的性质得$S_{△AED}=S_{△AFD}=32$.
解析
【分析】
(1) 第一问依据折叠的性质：折叠前后对应图形全等，沿AD折叠时点E的对应点是F，即可直接得到全等的三角形；
(2) 要证明AB//CD，可根据“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理推导，结合已知△ABF≌△FCD的对应角相等，结合∠B=90°可证∠B与∠C互补，即可得平行关系；
(3) 判断AF与DF的关系，数量上可由全等三角形对应边相等直接得出；位置上利用直角三角形两锐角互余的性质，结合全等的对应角相等，推导∠AFD的度数即可判断垂直关系；
(4) 求△AED的面积，由折叠性质可知△AED和△AFD面积相等，先根据第三问的垂直、等边结论计算△AFD的面积即可。
【解析】
(1) 根据折叠的性质，折叠前后对应三角形全等，因此$△ ADE≌△ ADF$；
(2) 证明：
∵$△ ABF≌△ FCD$，
∴$∠ B=∠ C$，
∵$∠ B=90°$，
∴$∠ C=90°$，
∴$∠ B+∠ C=90°+90°=180°$，
∴$AB// CD$；
(3) $AF=FD$，$AF⊥ FD$，理由如下：
∵$∠ B=90°$，
∴$∠ FAB+∠ BFA=90°$，
∵$△ ABF≌△ FCD$，
∴$AF=DF$，$∠ DFC=∠ FAB$，
∴$∠ BFA+∠ DFC=∠ BFA+∠ FAB=90°$，
∴$∠ AFD=180°-(∠ BFA+∠ DFC)=90°$，
∴$AF⊥ FD$；
(4) 解：由(3)得$AF⊥ FD$，$AF=DF=8$，
∴$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}AF· DF=\frac{1}{2}×8×8=32$，
由折叠的性质得$S_{△ AED}=S_{△ AFD}=32$。
【答案】
(1) $△ ADF$
(2) 证明见上述解析；
(3) $AF=FD$，$AF⊥ FD$，理由见上述解析；
(4) $32$
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，折叠的性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、平行线判定、折叠性质的应用，侧重对几何直观和逻辑推理能力的考查，解题关键是准确把握全等图形的对应边、对应角关系，结合相关性质逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问依据折叠的性质：折叠前后对应图形全等，沿AD折叠时点E的对应点是F，即可直接得到全等的三角形；
(2) 要证明AB//CD，可根据“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理推导，结合已知△ABF≌△FCD的对应角相等，结合∠B=90°可证∠B与∠C互补，即可得平行关系；
(3) 判断AF与DF的关系，数量上可由全等三角形对应边相等直接得出；位置上利用直角三角形两锐角互余的性质，结合全等的对应角相等，推导∠AFD的度数即可判断垂直关系；
(4) 求△AED的面积，由折叠性质可知△AED和△AFD面积相等，先根据第三问的垂直、等边结论计算△AFD的面积即可。
【解析】
(1) 根据折叠的性质，折叠前后对应三角形全等，因此$△ ADE≌△ ADF$；
(2) 证明：
∵$△ ABF≌△ FCD$，
∴$∠ B=∠ C$，
∵$∠ B=90°$，
∴$∠ C=90°$，
∴$∠ B+∠ C=90°+90°=180°$，
∴$AB// CD$；
(3) $AF=FD$，$AF⊥ FD$，理由如下：
∵$∠ B=90°$，
∴$∠ FAB+∠ BFA=90°$，
∵$△ ABF≌△ FCD$，
∴$AF=DF$，$∠ DFC=∠ FAB$，
∴$∠ BFA+∠ DFC=∠ BFA+∠ FAB=90°$，
∴$∠ AFD=180°-(∠ BFA+∠ DFC)=90°$，
∴$AF⊥ FD$；
(4) 解：由(3)得$AF⊥ FD$，$AF=DF=8$，
∴$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}AF· DF=\frac{1}{2}×8×8=32$，
由折叠的性质得$S_{△ AED}=S_{△ AFD}=32$。
【答案】
(1) $△ ADF$
(2) 证明见上述解析；
(3) $AF=FD$，$AF⊥ FD$，理由见上述解析；
(4) $32$
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，折叠的性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、平行线判定、折叠性质的应用，侧重对几何直观和逻辑推理能力的考查，解题关键是准确把握全等图形的对应边、对应角关系，结合相关性质逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
