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8.(长沙市中考)如图,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
答案
8. (1) 证明:在$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$(SAS).
(2) 解:由(1)得$△ ABC≌△ ADE$,
∴ $AC = AE$, $∠ DAE = ∠ BAC=60°$,
∴ $∠ AEC = ∠ ACE$,
∵ $∠ AEC + ∠ ACE = 2∠ ACE = 180°-∠ DAE=120°$,
∴ $∠ ACE=60°$,
∴$∠ ACE$的度数是$60°$.
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$(SAS).
(2) 解:由(1)得$△ ABC≌△ ADE$,
∴ $AC = AE$, $∠ DAE = ∠ BAC=60°$,
∴ $∠ AEC = ∠ ACE$,
∵ $∠ AEC + ∠ ACE = 2∠ ACE = 180°-∠ DAE=120°$,
∴ $∠ ACE=60°$,
∴$∠ ACE$的度数是$60°$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，刚好符合“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）”的判定规则，直接代入判定定理即可完成证明。
(2) 要求∠ACE的度数，先利用(1)的全等结论，可得对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，由此可知△ACE是顶角为60°的等腰三角形，再结合三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
(1) 证明：在$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE$(SAS).
(2) 解：由(1)得$△ ABC≌△ ADE$,
$\therefore AC = AE$, $∠ DAE = ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ AEC = ∠ ACE$,
根据三角形内角和定理得：$∠ AEC + ∠ ACE + ∠ DAE = 180°$,
即$2∠ ACE = 180°-60°=120°$,
$\therefore ∠ ACE=60°$.
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2) $∠ ACE$的度数为$\boxed{60°}$。
【知识点】
SAS全等判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形模块的基础常考题，侧重考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题核心是准确识别全等的对应边、对应角，通过全等完成边角关系的转化，再结合三角形内角和即可求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，刚好符合“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）”的判定规则，直接代入判定定理即可完成证明。
(2) 要求∠ACE的度数，先利用(1)的全等结论，可得对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，由此可知△ACE是顶角为60°的等腰三角形，再结合三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
(1) 证明：在$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE$(SAS).
(2) 解：由(1)得$△ ABC≌△ ADE$,
$\therefore AC = AE$, $∠ DAE = ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ AEC = ∠ ACE$,
根据三角形内角和定理得：$∠ AEC + ∠ ACE + ∠ DAE = 180°$,
即$2∠ ACE = 180°-60°=120°$,
$\therefore ∠ ACE=60°$.
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2) $∠ ACE$的度数为$\boxed{60°}$。
【知识点】
SAS全等判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形模块的基础常考题，侧重考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题核心是准确识别全等的对应边、对应角，通过全等完成边角关系的转化，再结合三角形内角和即可求解。
【难度系数】
0.8
9.(教材第96页例2改编)如图,有一片不规则的湖泊,现施工队要在湖上架一座桥连接A,B两地,为测量架桥的最短距离AB的长度,小佳设置了如下方案:在平地上取一点C,连接AC,BC,使得点C满足$AC⊥BC$,延长AC到点D,使$CD=AC$,连接BD,BD的长即为架桥的最短距离AB的长度.
(1)根据小佳的方案,帮她画出设计示意图;
(2)小佳的方案是否可行?并说明理由.
(1)根据小佳的方案,帮她画出设计示意图;
(2)小佳的方案是否可行?并说明理由.
答案
9. (1) 解:设计示意图如图所示:
(2) 小佳的方案可行. 理由如下:
∵A,C,D三点共线,$BC⊥ AC$,
∴$∠ ACB=∠ DCB=90°$, 在 $△ ABC$ 和 $△ DBC$ 中,
$\begin{cases} AC=DC,\\ ∠ ACB=∠ DCB,\\ BC=BC, \end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBC$,(SAS)
∴ $AB=BD$,即测得BD的长就可得到架桥的最短距离AB的长度.
解析
【分析】
(1) 绘制设计示意图时，只需严格按照题目给出的方案步骤操作：先取点C使得AC⊥BC，再延长AC到点D，保证CD=AC，最后连接BD即可完成作图。
(2) 判断方案是否可行，核心是验证BD的长度是否等于AB的长度，可通过证明两个三角形全等推导对应边相等。已知AC=CD，BC是公共边，结合AC⊥BC可得两个三角形的夹角均为直角，满足SAS全等判定的条件，即可证明△ABC和△DBC全等，进而得到AB=BD，说明方案可行。
【解析】
(1) 按照方案步骤绘制的设计示意图如下：
(2) 小佳的方案可行，理由如下：
∵A、C、D三点共线，且$BC⊥AC$，
∴$∠ACB=∠DCB=90°$，
在$△ ABC$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AC=DC\\ ∠ACB=∠DCB\\ BC=BC \end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ DBC$（SAS）
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AB=BD$，因此测得BD的长即可得到AB的长度。
【答案】
(1) 设计示意图如图所示:
(2) 小佳的方案可行. 理由如下:
∵A,C,D三点共线,$BC⊥ AC$,
∴$∠ ACB=∠ DCB=90°$, 在 $△ ABC$ 和 $△ DBC$ 中,
$\begin{cases} AC=DC,\\ ∠ ACB=∠ DCB,\\ BC=BC, \end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBC$,(SAS)
∴ $AB=BD$,即测得BD的长就可得到架桥的最短距离AB的长度.
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是根据已知条件找到全等判定的对应条件，学会将实际问题转化为几何证明问题求解。
【难度系数】
0.8
(1) 绘制设计示意图时，只需严格按照题目给出的方案步骤操作：先取点C使得AC⊥BC，再延长AC到点D，保证CD=AC，最后连接BD即可完成作图。
(2) 判断方案是否可行，核心是验证BD的长度是否等于AB的长度，可通过证明两个三角形全等推导对应边相等。已知AC=CD，BC是公共边，结合AC⊥BC可得两个三角形的夹角均为直角，满足SAS全等判定的条件，即可证明△ABC和△DBC全等，进而得到AB=BD，说明方案可行。
【解析】
(1) 按照方案步骤绘制的设计示意图如下：
(2) 小佳的方案可行，理由如下：
∵A、C、D三点共线，且$BC⊥AC$，
∴$∠ACB=∠DCB=90°$，
在$△ ABC$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} AC=DC\\ ∠ACB=∠DCB\\ BC=BC \end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ DBC$（SAS）
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AB=BD$，因此测得BD的长即可得到AB的长度。
【答案】
(1) 设计示意图如图所示:
(2) 小佳的方案可行. 理由如下:
∵A,C,D三点共线,$BC⊥ AC$,
∴$∠ ACB=∠ DCB=90°$, 在 $△ ABC$ 和 $△ DBC$ 中,
$\begin{cases} AC=DC,\\ ∠ ACB=∠ DCB,\\ BC=BC, \end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBC$,(SAS)
∴ $AB=BD$,即测得BD的长就可得到架桥的最短距离AB的长度.
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是根据已知条件找到全等判定的对应条件，学会将实际问题转化为几何证明问题求解。
【难度系数】
0.8
10.【新中考·解题方法型阅读理解题】
【问题提出】倍长中线法是初中数学一种重要的数学方法，如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，若延长$AD$至点$E$，使$DE＝AD$，连接$CE$，可根据“SAS”证明$△ ABD≌△ ECD$，则$AB＝EC$.
【解决问题】如图②，已知$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ CDO$，$OA＝OB$，$OC＝OD$，连接$AC$，$BD$，$E$是$BD$的中点，连接$OE$，求证：$OE＝\frac{1}{2}AC$.
【问题提出】倍长中线法是初中数学一种重要的数学方法，如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，若延长$AD$至点$E$，使$DE＝AD$，连接$CE$，可根据“SAS”证明$△ ABD≌△ ECD$，则$AB＝EC$.
【解决问题】如图②，已知$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ CDO$，$OA＝OB$，$OC＝OD$，连接$AC$，$BD$，$E$是$BD$的中点，连接$OE$，求证：$OE＝\frac{1}{2}AC$.
答案
10. 证明:如图
,延长OE至点F,使得EF=OE,连接BF.∵E是BD的中点,
∴BE=DE. 在$△ BEF$和$△ DEO$中,$\begin{cases} EF=EO,\\ ∠ BEF=∠ DEO,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ DEO$,(SAS),
∴$BF=DO=OC$,$∠ FBE=∠ ODE$,
∵$∠ BOD+∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ COD=180°$,$∠ BOD+∠ OBD+∠ ODB=180°$,
∴$∠ AOC=∠ OBD + ∠ ODB = ∠ OBD + ∠ FBE = ∠ OBF$, 在 $△ OBF$ 和$△ AOC$ 中, $\begin{cases} OB=AO,\\ ∠ OBF=∠ AOC,\\ BF=OC, \end{cases}$
∴$△ OBF≌△ AOC$,(SAS),
∴$OF=AC$.
∵$OE=\frac{1}{2}OF$,
∴$OE=\frac{1}{2}AC$.
解析
【分析】
本题是方法迁移类证明题，可直接运用题干给出的倍长中线法解题：首先观察待证结论为$OE=\frac{1}{2}AC$，已知$E$是$BD$中点，符合倍长中线的适用场景，因此优先延长$OE$构造全等三角形，将证明$OE=\frac{1}{2}AC$转化为证明延长后得到的长线段与$AC$相等；再通过两次全等三角形的证明，逐步推导边、角的等量关系，最终得出结论。
【解析】
证明：如图，延长$OE$至点$F$，使得$EF=OE$，连接$BF$。
∵$E$是$BD$的中点，
∴$BE=DE$。
在$△ BEF$和$△ DEO$中，
$\begin{cases} EF=EO,\\ ∠BEF=∠DEO,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ DEO$（SAS），
∴$BF=DO$，$∠FBE=∠ODE$。
又
∵$OC=OD$，
∴$BF=OC$。
∵$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ CDO$中$∠AOB=∠COD=90°$，
∴$∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=180°$。
在$△ BOD$中，由三角形内角和得$∠BOD+∠OBD+∠ODB=180°$，
∴$∠AOC=∠OBD + ∠ODB = ∠OBD + ∠FBE = ∠OBF$。
在$△ OBF$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} OB=AO,\\ ∠OBF=∠AOC,\\ BF=OC, \end{cases}$
∴$△ OBF≌△ AOC$（SAS），
∴$OF=AC$。
∵$OF=OE+EF=2OE$，即$OE=\frac{1}{2}OF$，
∴$OE=\frac{1}{2}AC$。
【答案】
证明:如图,延长OE至点F,使得EF=OE,连接BF.
∵E是BD的中点,
∴BE=DE. 在$△ BEF$和$△ DEO$中,$\begin{cases} EF=EO,\\ ∠ BEF=∠ DEO,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ DEO$,(SAS),
∴$BF=DO=OC$,$∠ FBE=∠ ODE$,
∵$∠ BOD+∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ COD=180°$,$∠ BOD+∠ OBD+∠ ODB=180°$,
∴$∠ AOC=∠ OBD + ∠ ODB = ∠ OBD + ∠ FBE = ∠ OBF$, 在 $△ OBF$ 和$△ AOC$ 中, $\begin{cases} OB=AO,\\ ∠ OBF=∠ AOC,\\ BF=OC, \end{cases}$
∴$△ OBF≌△ AOC$,(SAS),
∴$OF=AC$.
∵$OE=\frac{1}{2}OF$,
∴$OE=\frac{1}{2}AC$.
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查知识迁移能力和几何逻辑推理能力，需要学生灵活运用题干给出的倍长中线法构造辅助线，将线段倍分关系转化为全等三角形对应边相等的问题，解题的关键是正确构造辅助线，准确推导全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.6
本题是方法迁移类证明题，可直接运用题干给出的倍长中线法解题：首先观察待证结论为$OE=\frac{1}{2}AC$，已知$E$是$BD$中点，符合倍长中线的适用场景，因此优先延长$OE$构造全等三角形，将证明$OE=\frac{1}{2}AC$转化为证明延长后得到的长线段与$AC$相等；再通过两次全等三角形的证明，逐步推导边、角的等量关系，最终得出结论。
【解析】
证明：如图
，延长$OE$至点$F$，使得$EF=OE$，连接$BF$。∵$E$是$BD$的中点，
∴$BE=DE$。
在$△ BEF$和$△ DEO$中，
$\begin{cases} EF=EO,\\ ∠BEF=∠DEO,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ DEO$（SAS），
∴$BF=DO$，$∠FBE=∠ODE$。
又
∵$OC=OD$，
∴$BF=OC$。
∵$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ CDO$中$∠AOB=∠COD=90°$，
∴$∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=180°$。
在$△ BOD$中，由三角形内角和得$∠BOD+∠OBD+∠ODB=180°$，
∴$∠AOC=∠OBD + ∠ODB = ∠OBD + ∠FBE = ∠OBF$。
在$△ OBF$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} OB=AO,\\ ∠OBF=∠AOC,\\ BF=OC, \end{cases}$
∴$△ OBF≌△ AOC$（SAS），
∴$OF=AC$。
∵$OF=OE+EF=2OE$，即$OE=\frac{1}{2}OF$，
∴$OE=\frac{1}{2}AC$。
【答案】
证明:如图
,延长OE至点F,使得EF=OE,连接BF.∵E是BD的中点,
∴BE=DE. 在$△ BEF$和$△ DEO$中,$\begin{cases} EF=EO,\\ ∠ BEF=∠ DEO,\\ BE=DE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ DEO$,(SAS),
∴$BF=DO=OC$,$∠ FBE=∠ ODE$,
∵$∠ BOD+∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ COD=180°$,$∠ BOD+∠ OBD+∠ ODB=180°$,
∴$∠ AOC=∠ OBD + ∠ ODB = ∠ OBD + ∠ FBE = ∠ OBF$, 在 $△ OBF$ 和$△ AOC$ 中, $\begin{cases} OB=AO,\\ ∠ OBF=∠ AOC,\\ BF=OC, \end{cases}$
∴$△ OBF≌△ AOC$,(SAS),
∴$OF=AC$.
∵$OE=\frac{1}{2}OF$,
∴$OE=\frac{1}{2}AC$.
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查知识迁移能力和几何逻辑推理能力，需要学生灵活运用题干给出的倍长中线法构造辅助线，将线段倍分关系转化为全等三角形对应边相等的问题，解题的关键是正确构造辅助线，准确推导全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.6
