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13. 已经$(m-3)x^{|m|-2}=18$是关于$x$的一元一次方程.
（1）则$m$的值为________；
（2）若上述方程的解与$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$的解互为相反数，则$n$的值为________.
（1）则$m$的值为________；
（2）若上述方程的解与$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$的解互为相反数，则$n$的值为________.
答案
13. (1) $-3$ (2) $-26$
解析
【分析】
（1）要确定m的值，需结合一元一次方程的定义分析：一元一次方程需要满足两个核心条件，一是未知数的次数为1，二是未知数的系数不为0，据此列等式和不等式即可求解m；
（2）先将求得的m代入原方程，解出原方程的解，再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，将该解代入第二个方程，即可解出n的值。
【解析】
（1）
∵$(m-3)x^{|m|-2}=18$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases} |m|-2=1 \\ m-3≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
由$m-3≠0$，得$m≠3$
综上，$m=-3$
（2）将$m=-3$代入原方程，得：
$(-3-3)x=18$，即$-6x=18$
解得$x=-3$
∵两个方程的解互为相反数，
∴方程$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$的解为$x=3$
把$x=3$代入$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$，得：
$\dfrac{2×3 +n}{2}=-5×(3-1)$
化简得：$\dfrac{6+n}{2}=-10$
两边同时乘2，得：$6+n=-20$
解得：$n=-26$
【答案】
(1) $-3$；(2) $-26$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解法；相反数的性质
【点评】
本题考查一元一次方程的相关概念与计算，解题时需注意一元一次方程中一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.7
（1）要确定m的值，需结合一元一次方程的定义分析：一元一次方程需要满足两个核心条件，一是未知数的次数为1，二是未知数的系数不为0，据此列等式和不等式即可求解m；
（2）先将求得的m代入原方程，解出原方程的解，再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，将该解代入第二个方程，即可解出n的值。
【解析】
（1）
∵$(m-3)x^{|m|-2}=18$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases} |m|-2=1 \\ m-3≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
由$m-3≠0$，得$m≠3$
综上，$m=-3$
（2）将$m=-3$代入原方程，得：
$(-3-3)x=18$，即$-6x=18$
解得$x=-3$
∵两个方程的解互为相反数，
∴方程$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$的解为$x=3$
把$x=3$代入$\dfrac{2x+n}{2}=-5(x-1)$，得：
$\dfrac{2×3 +n}{2}=-5×(3-1)$
化简得：$\dfrac{6+n}{2}=-10$
两边同时乘2，得：$6+n=-20$
解得：$n=-26$
【答案】
(1) $-3$；(2) $-26$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解法；相反数的性质
【点评】
本题考查一元一次方程的相关概念与计算，解题时需注意一元一次方程中一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.7
14. 已知关于 $ x $ 的方程 $ k(x+1)=k-2(x-2) $ 的解是负整数，那么整数 $ k $ 的所有取值之和为
$-13$
.答案
14. $-13$
解析
【分析】
解题时首先要解出含参数k的一元一次方程，将x用含有k的代数式表示；再根据“解是负整数、k是整数”的条件，可知k+2是4的负约数，由此列举所有符合条件的k的取值，最后将取值相加即可得到结果。注意要保证一元一次方程未知数的系数不为0，避免出现无解的情况。
【解析】
解：化简方程$k(x+1)=k-2(x-2)$：
1. 去括号，得：$kx + k = k - 2x + 4$
2. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：$kx + 2x = k + 4 - k$
3. 合并同类项，得：$(k + 2)x = 4$
若$k+2=0$，即$k=-2$时，方程左边为0、右边为4，等式不成立，方程无解，故$k≠-2$
4. 系数化为1，得：$x=\frac{4}{k+2}$
∵ 方程的解x是负整数，且k为整数
∴ $k+2$是4的负整数约数，4的负整数约数为-1、-2、-4，分情况讨论：
① 当$k+2=-1$时，$k=-3$，此时$x=-4$，是负整数，符合要求；
② 当$k+2=-2$时，$k=-4$，此时$x=-2$，是负整数，符合要求；
③ 当$k+2=-4$时，$k=-6$，此时$x=-1$，是负整数，符合要求。
整数k的取值为-3、-4、-6，所有取值之和为：$(-3)+(-4)+(-6)=-13$
【答案】
$-13$
【知识点】
一元一次方程求解，含参方程整数解，约数应用
【点评】
本题是典型的一元一次方程含参整数解问题，解题核心是先将未知数用参数表示，再结合解的限制条件筛选参数的可能取值，解题时需注意未知数系数不为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
解题时首先要解出含参数k的一元一次方程，将x用含有k的代数式表示；再根据“解是负整数、k是整数”的条件，可知k+2是4的负约数，由此列举所有符合条件的k的取值，最后将取值相加即可得到结果。注意要保证一元一次方程未知数的系数不为0，避免出现无解的情况。
【解析】
解：化简方程$k(x+1)=k-2(x-2)$：
1. 去括号，得：$kx + k = k - 2x + 4$
2. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：$kx + 2x = k + 4 - k$
3. 合并同类项，得：$(k + 2)x = 4$
若$k+2=0$，即$k=-2$时，方程左边为0、右边为4，等式不成立，方程无解，故$k≠-2$
4. 系数化为1，得：$x=\frac{4}{k+2}$
∵ 方程的解x是负整数，且k为整数
∴ $k+2$是4的负整数约数，4的负整数约数为-1、-2、-4，分情况讨论：
① 当$k+2=-1$时，$k=-3$，此时$x=-4$，是负整数，符合要求；
② 当$k+2=-2$时，$k=-4$，此时$x=-2$，是负整数，符合要求；
③ 当$k+2=-4$时，$k=-6$，此时$x=-1$，是负整数，符合要求。
整数k的取值为-3、-4、-6，所有取值之和为：$(-3)+(-4)+(-6)=-13$
【答案】
$-13$
【知识点】
一元一次方程求解，含参方程整数解，约数应用
【点评】
本题是典型的一元一次方程含参整数解问题，解题核心是先将未知数用参数表示，再结合解的限制条件筛选参数的可能取值，解题时需注意未知数系数不为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
15. 解下列方程：
(1) $15-(7-5x)=2x+(5-3x)$；
(2) $\frac{3}{2}[\frac{2}{3}(\frac{1}{4}x -1)-2]-x=2$；
(3) $\frac{x-3}{0.5}-\frac{x+4}{0.2}=0.4$；
(4) $\frac{3x+2}{2}-1=\frac{2x-1}{4}-\frac{2x+1}{5}$。
(1) $15-(7-5x)=2x+(5-3x)$；
(2) $\frac{3}{2}[\frac{2}{3}(\frac{1}{4}x -1)-2]-x=2$；
(3) $\frac{x-3}{0.5}-\frac{x+4}{0.2}=0.4$；
(4) $\frac{3x+2}{2}-1=\frac{2x-1}{4}-\frac{2x+1}{5}$。
答案
15. (1) $x=-\frac{1}{2}$ (2) $x=-8$ (3) $x=-8.8$ (4) $x=-\frac{9}{28}$
解析
【分析】
解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时可根据方程的特征灵活调整步骤。(1)是带括号的一元一次方程，先按去括号法则去掉括号再求解；(2)中中括号外的系数和中括号内第一项的系数互为倒数，先去中括号可简化计算；(3)分母是小数，先利用分数基本性质把小数分母化为整数再求解；(4)是含分数分母的方程，先找各分母的最小公倍数去分母，再按步骤求解，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
(1) 去括号得：$15-7+5x=2x+5-3x$
合并同类项得：$8+5x=5-x$
移项得：$5x+x=5-8$
合并同类项得：$6x=-3$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
(2) 先去中括号，$\frac{3}{2}$与$\frac{2}{3}$抵消得：$(\frac{1}{4}x -1)-3 -x=2$
去小括号得：$\frac{1}{4}x -1 -3 -x=2$
合并同类项得：$-\frac{3}{4}x -4=2$
移项得：$-\frac{3}{4}x=6$
系数化为1得：$x=6×(-\frac{4}{3})=-8$
(3) 利用分数基本性质，将小数分母化为整数：
$\frac{x-3}{0.5}$分子分母同乘2得$2(x-3)$，$\frac{x+4}{0.2}$分子分母同乘5得$5(x+4)$，方程变为：
$2(x-3)-5(x+4)=0.4$
去括号得：$2x-6-5x-20=0.4$
合并同类项得：$-3x-26=0.4$
移项得：$-3x=26.4$
系数化为1得：$x=-8.8$
(4) 分母2、4、5的最小公倍数是20，各项同乘20去分母得：
$10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1)$
去括号得：$30x+20-20=10x-5-8x-4$
合并同类项得：$30x=2x-9$
移项得：$30x-2x=-9$
合并同类项得：$28x=-9$
系数化为1得：$x=-\frac{9}{28}$
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$ (2) $x=-8$ (3) $x=-8.8$ (4) $x=-\frac{9}{28}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考查类型，能有效巩固解方程的步骤，解题时需注意：去括号不要弄错符号，去分母时常数项也要乘公分母，小数分母化整数时仅对对应分数的分子分母同乘倍数，不影响其他项。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时可根据方程的特征灵活调整步骤。(1)是带括号的一元一次方程，先按去括号法则去掉括号再求解；(2)中中括号外的系数和中括号内第一项的系数互为倒数，先去中括号可简化计算；(3)分母是小数，先利用分数基本性质把小数分母化为整数再求解；(4)是含分数分母的方程，先找各分母的最小公倍数去分母，再按步骤求解，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
(1) 去括号得：$15-7+5x=2x+5-3x$
合并同类项得：$8+5x=5-x$
移项得：$5x+x=5-8$
合并同类项得：$6x=-3$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
(2) 先去中括号，$\frac{3}{2}$与$\frac{2}{3}$抵消得：$(\frac{1}{4}x -1)-3 -x=2$
去小括号得：$\frac{1}{4}x -1 -3 -x=2$
合并同类项得：$-\frac{3}{4}x -4=2$
移项得：$-\frac{3}{4}x=6$
系数化为1得：$x=6×(-\frac{4}{3})=-8$
(3) 利用分数基本性质，将小数分母化为整数：
$\frac{x-3}{0.5}$分子分母同乘2得$2(x-3)$，$\frac{x+4}{0.2}$分子分母同乘5得$5(x+4)$，方程变为：
$2(x-3)-5(x+4)=0.4$
去括号得：$2x-6-5x-20=0.4$
合并同类项得：$-3x-26=0.4$
移项得：$-3x=26.4$
系数化为1得：$x=-8.8$
(4) 分母2、4、5的最小公倍数是20，各项同乘20去分母得：
$10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1)$
去括号得：$30x+20-20=10x-5-8x-4$
合并同类项得：$30x=2x-9$
移项得：$30x-2x=-9$
合并同类项得：$28x=-9$
系数化为1得：$x=-\frac{9}{28}$
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$ (2) $x=-8$ (3) $x=-8.8$ (4) $x=-\frac{9}{28}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考查类型，能有效巩固解方程的步骤，解题时需注意：去括号不要弄错符号，去分母时常数项也要乘公分母，小数分母化整数时仅对对应分数的分子分母同乘倍数，不影响其他项。
【难度系数】
0.7
16. 已知:方程$(m+2)x^{|m|-1}-m=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1) 求$m$的值；
(2) 若上述方程的解与关于$x$的方程$x+\frac{6x - a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解互为相反数,求$a$的值.
(1) 求$m$的值；
(2) 若上述方程的解与关于$x$的方程$x+\frac{6x - a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解互为相反数,求$a$的值.
答案
16. (1) $m=2$ (2) $a=-6$
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 要确定m的值，需紧扣一元一次方程的定义：一元一次方程需满足三个条件，①只含有1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。据此列关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值。
(2) 先将(1)中求得的m代入原方程，求出第一个方程的解；再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，将其代入第二个方程，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
(1)
∵方程$(m+2)x^{|m|-1}-m=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\m+2≠0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
由$m+2≠0$得$m≠-2$
综上，$m=2$
(2) 将$m=2$代入第一个方程得：$(2+2)x - 2 = 0$
整理得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$
∵两个方程的解互为相反数
∴方程$x+\frac{6x - a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解为$x=-\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入第二个方程：
$-\frac{1}{2}+\frac{6×(-\frac{1}{2}) - a}{3}=\frac{a}{6}-3×(-\frac{1}{2})$
化简左边第二项的分子：$6×(-\frac{1}{2})=-3$，则式子变为：
$-\frac{1}{2}+\frac{-3 - a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
拆分左边第二项：$-\frac{1}{2} -1 - \frac{a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
整理常数项：$-\frac{3}{2} - \frac{a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
移项，将含a的项移到左边，常数项移到右边（注意移项要变号）：
$-\frac{a}{3}-\frac{a}{6}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
通分合并同类项：
$-\frac{2a}{6}-\frac{a}{6}=3$
$-\frac{a}{2}=3$
两边同乘-2得：$a=-6$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $a=-6$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，解题的核心是准确把握一元一次方程的定义特征，同时利用“互为相反数的两个数和为0”确定第二个方程的解，计算过程中要注意移项变号、通分等细节，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 要确定m的值，需紧扣一元一次方程的定义：一元一次方程需满足三个条件，①只含有1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。据此列关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值。
(2) 先将(1)中求得的m代入原方程，求出第一个方程的解；再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，将其代入第二个方程，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
(1)
∵方程$(m+2)x^{|m|-1}-m=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\m+2≠0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
由$m+2≠0$得$m≠-2$
综上，$m=2$
(2) 将$m=2$代入第一个方程得：$(2+2)x - 2 = 0$
整理得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$
∵两个方程的解互为相反数
∴方程$x+\frac{6x - a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解为$x=-\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入第二个方程：
$-\frac{1}{2}+\frac{6×(-\frac{1}{2}) - a}{3}=\frac{a}{6}-3×(-\frac{1}{2})$
化简左边第二项的分子：$6×(-\frac{1}{2})=-3$，则式子变为：
$-\frac{1}{2}+\frac{-3 - a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
拆分左边第二项：$-\frac{1}{2} -1 - \frac{a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
整理常数项：$-\frac{3}{2} - \frac{a}{3}=\frac{a}{6}+\frac{3}{2}$
移项，将含a的项移到左边，常数项移到右边（注意移项要变号）：
$-\frac{a}{3}-\frac{a}{6}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
通分合并同类项：
$-\frac{2a}{6}-\frac{a}{6}=3$
$-\frac{a}{2}=3$
两边同乘-2得：$a=-6$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $a=-6$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，解题的核心是准确把握一元一次方程的定义特征，同时利用“互为相反数的两个数和为0”确定第二个方程的解，计算过程中要注意移项变号、通分等细节，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
