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17. 定义:关于$x$的方程$ax-b=0$与$bx-a=0(a,b$均为不等于$0$的常数)称互为“反对方程”.例如:方程$2x-1=0$与$x-2=0$互为“反对方程”;方程$3x-2=2x+3$,通过转化可得$x-5=0$,所以$3x-2=2x+3$与$5x-1=0$互为“反对方程”.
(1) 若关于$x$的方程$3x-2=0$与$2x-a=0(a$为不等于$0$的常数)互为“反对方程”,则$a=$
(2) 若关于$x$的方程$5x-b=2(b$为不等于$0$的常数)的解为$x=3$,求$b$的值及它的“反对方程”的解;
(3) 若关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5(c$为不等于$0$的常数)的解为$x=2025$,求$(c+5)x - \frac{1}{2025}=1$的解.
(1) 若关于$x$的方程$3x-2=0$与$2x-a=0(a$为不等于$0$的常数)互为“反对方程”,则$a=$
$3$
;(2) 若关于$x$的方程$5x-b=2(b$为不等于$0$的常数)的解为$x=3$,求$b$的值及它的“反对方程”的解;
(3) 若关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5(c$为不等于$0$的常数)的解为$x=2025$,求$(c+5)x - \frac{1}{2025}=1$的解.
答案
17. (1) 3 (2) $\because$关于$x$的方程$5x-b=2(b$为不等于0的常数)的解为$x=3$,$\therefore 15-b=2$,解得$b=13$,$\therefore$方程$5x-b=2$化成$ax-b=0$的形式为$5x-15=0$,$\therefore$关于$x$的方程$5x-b=2(b$为不等于0的常数)的“反对方程”为$15x-5=0$,解得$x=\frac{1}{3}$. (3) $\because \frac{1}{2025}x - c = -x +5$,$\frac{1}{2025}x +x -c -5=0$,$\therefore \frac{2026}{2025}x -(c+5)=0$.$\because$关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5(c$为不等于0的常数)的解为$x=2025$,$\therefore 1-c=-2025+5$,解得$c=2021$,$\therefore$关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5(c$为不等于0的常数)的“反对方程”为$(c+5)x-\frac{2026}{2025}=0$,把$c=2021$代入$(c+5)x-\frac{2026}{2025}=0$,得$2026x=\frac{2026}{2025}$,$x=\frac{1}{2025}$,$\therefore$方程$(c+5)x-\frac{1}{2025}=1$的解为$x=\frac{1}{2025}$.
解析
【分析】
解题核心是准确理解“反对方程”的定义：两个方程分别整理为$ax-b=0$和$bx-a=0$（$a、b$均不为0）的形式时，二者互为反对方程，各小问解题思路如下：
(1) 先写出$3x-2=0$对应的反对方程，与已知的$2x-a=0$对比即可求出$a$；
(2) 先将$x=3$代入原方程求出$b$的值，再把原方程整理为$ax-b=0$的标准形式，根据定义写出反对方程后求解即可；
(3) 先把含$c$的方程整理为$ax-b=0$的标准形式，将$x=2025$代入求出$c$的值，再代入待求方程求解，也可利用反对方程解的规律简化计算。
【解析】
(1) 根据“反对方程”定义，$3x-2=0$的反对方程为$2x-3=0$，已知其与$2x-a=0$互为反对方程，因此$a=3$。
(2) $\because$方程$5x-b=2$的解为$x=3$，将$x=3$代入得：
$5×3 - b=2$，即$15-b=2$，解得$b=13$。
将原方程整理为$ax-b=0$的形式：$5x-15=0$，
根据定义，它的“反对方程”为$15x-5=0$，
解得：$x=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。
(3) 先将方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5$整理为标准形式：
移项合并同类项得$\frac{2026}{2025}x - (c+5)=0$，
将$x=2025$代入原方程得：$\frac{1}{2025}×2025 - c = -2025 +5$，
即$1-c=-2020$，解得$c=2021$。
待求方程$(c+5)x - \frac{1}{2025}=1$可变形为$(c+5)x=\frac{2026}{2025}$，
代入$c=2021$得$2026x=\frac{2026}{2025}$，解得$x=\frac{1}{2025}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $b=\boldsymbol{13}$，反对方程的解为$\boldsymbol{x=\frac{1}{3}}$；(3) $\boldsymbol{x=\frac{1}{2025}}$
【知识点】
新定义问题、一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为背景考查一元一次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义的含义，将方程转化为标准形式后逐步推导，侧重考查学生的信息提取能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确理解“反对方程”的定义：两个方程分别整理为$ax-b=0$和$bx-a=0$（$a、b$均不为0）的形式时，二者互为反对方程，各小问解题思路如下：
(1) 先写出$3x-2=0$对应的反对方程，与已知的$2x-a=0$对比即可求出$a$；
(2) 先将$x=3$代入原方程求出$b$的值，再把原方程整理为$ax-b=0$的标准形式，根据定义写出反对方程后求解即可；
(3) 先把含$c$的方程整理为$ax-b=0$的标准形式，将$x=2025$代入求出$c$的值，再代入待求方程求解，也可利用反对方程解的规律简化计算。
【解析】
(1) 根据“反对方程”定义，$3x-2=0$的反对方程为$2x-3=0$，已知其与$2x-a=0$互为反对方程，因此$a=3$。
(2) $\because$方程$5x-b=2$的解为$x=3$，将$x=3$代入得：
$5×3 - b=2$，即$15-b=2$，解得$b=13$。
将原方程整理为$ax-b=0$的形式：$5x-15=0$，
根据定义，它的“反对方程”为$15x-5=0$，
解得：$x=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。
(3) 先将方程$\frac{1}{2025}x - c = -x +5$整理为标准形式：
移项合并同类项得$\frac{2026}{2025}x - (c+5)=0$，
将$x=2025$代入原方程得：$\frac{1}{2025}×2025 - c = -2025 +5$，
即$1-c=-2020$，解得$c=2021$。
待求方程$(c+5)x - \frac{1}{2025}=1$可变形为$(c+5)x=\frac{2026}{2025}$，
代入$c=2021$得$2026x=\frac{2026}{2025}$，解得$x=\frac{1}{2025}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $b=\boldsymbol{13}$，反对方程的解为$\boldsymbol{x=\frac{1}{3}}$；(3) $\boldsymbol{x=\frac{1}{2025}}$
【知识点】
新定义问题、一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为背景考查一元一次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义的含义，将方程转化为标准形式后逐步推导，侧重考查学生的信息提取能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
18. 对于任意四个有理数 $a,b,c,d$，可以组成两个有理数对 $(a,b)$ 与 $(c,d)$。规定：$(a,b)★(c,d)=ad-bc$。如：$(1,2)★(3,4)=1×4 - 2×3=-2$。
根据以上规定，解答下列问题：
（1）有理数对 $(5,-3)★(3,2)=$
（2）若有理数对 $(-3,x-1)★(2,2x+1)=15$，求 $x$ 的值；
（3）若有理数对 $(2,x-1)★(k,2x+k)$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $k$ 的值。
根据以上规定，解答下列问题：
（1）有理数对 $(5,-3)★(3,2)=$
$19$
；（2）若有理数对 $(-3,x-1)★(2,2x+1)=15$，求 $x$ 的值；
（3）若有理数对 $(2,x-1)★(k,2x+k)$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $k$ 的值。
答案
18. (1) 19 (2) $x=-2$ (3) $k=4$
解析
【分析】
首先明确新定义运算的规则：$(a,b)★(c,d)=ad-bc$，即第一个数对的第一个数乘第二个数对的第二个数，减去第一个数对的第二个数乘第二个数对的第一个数。（1）直接将对应数值代入规则计算即可；（2）先按规则列出含x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解；（3）先按规则展开运算，将式子整理为含x的一次式，若值与x无关，则x的系数为0，据此列方程求k的值。
【解析】
（1）根据新定义运算规则：
$(5,-3)★(3,2)=5×2 - (-3)×3=10 + 9=19$
（2）由题意得：
$(-3)×(2x+1) - (x-1)×2=15$
展开括号：$-6x -3 -2x +2=15$
合并同类项：$-8x -1=15$
移项：$-8x=15 + 1$，即$-8x=16$
系数化为1：$x=-2$
（3）先按规则计算：
$(2,x-1)★(k,2x+k)=2×(2x+k) - (x-1)× k$
展开括号：$4x + 2k - kx + k$
合并同类项：$(4 - k)x + 3k$
∵ 运算结果与x的取值无关
∴ x的系数为0，即$4 - k=0$
解得：$k=4$
【答案】
（1）$\boxed{19}$；（2）$\boxed{x=-2}$；（3）$\boxed{k=4}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，多项式取值与字母无关的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查代数式运算及一元一次方程的应用，核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规的代数运算求解，第三问需掌握“代数式的值与某字母无关，则该字母的系数为0”的规律，解题时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
首先明确新定义运算的规则：$(a,b)★(c,d)=ad-bc$，即第一个数对的第一个数乘第二个数对的第二个数，减去第一个数对的第二个数乘第二个数对的第一个数。（1）直接将对应数值代入规则计算即可；（2）先按规则列出含x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解；（3）先按规则展开运算，将式子整理为含x的一次式，若值与x无关，则x的系数为0，据此列方程求k的值。
【解析】
（1）根据新定义运算规则：
$(5,-3)★(3,2)=5×2 - (-3)×3=10 + 9=19$
（2）由题意得：
$(-3)×(2x+1) - (x-1)×2=15$
展开括号：$-6x -3 -2x +2=15$
合并同类项：$-8x -1=15$
移项：$-8x=15 + 1$，即$-8x=16$
系数化为1：$x=-2$
（3）先按规则计算：
$(2,x-1)★(k,2x+k)=2×(2x+k) - (x-1)× k$
展开括号：$4x + 2k - kx + k$
合并同类项：$(4 - k)x + 3k$
∵ 运算结果与x的取值无关
∴ x的系数为0，即$4 - k=0$
解得：$k=4$
【答案】
（1）$\boxed{19}$；（2）$\boxed{x=-2}$；（3）$\boxed{k=4}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，多项式取值与字母无关的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查代数式运算及一元一次方程的应用，核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规的代数运算求解，第三问需掌握“代数式的值与某字母无关，则该字母的系数为0”的规律，解题时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
