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1.秋冬季节是流感等急性呼吸道传染病高发期，若有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为(
A.$1+2x=144$
B.$1+x^2=144$
C.$x+x^2=144$
D.$1+x+x(1+x)=144$
D
).A.$1+2x=144$
B.$1+x^2=144$
C.$x+x^2=144$
D.$1+x+x(1+x)=144$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一元二次方程实际应用中的传播问题，解题时需分步梳理每轮的患病人数：首先明确初始患病人数为1，每轮每人平均传染x人；先计算第一轮传染结束后的总患病人数，这部分人群将作为第二轮的传染源，再计算第二轮新增的患病人数，最终两轮后的总患病人数为144，根据总人数的等量关系即可列出方程。
【解析】
解：①初始阶段：患流感人数为1人；
②第一轮传染：1个患者每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
③第二轮传染：此时所有$1+x$个患者均为传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
两轮传染后总患病人数为144，因此可列方程：
$1 + x + x(1+x) = 144$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题建模
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确区分每一轮的传染源数量，理清总患病人数、原有患病人数、新增患病人数三者的数量关系，避免漏算原有患者作为传染源的部分。
【难度系数】
0.8
这是一元二次方程实际应用中的传播问题，解题时需分步梳理每轮的患病人数：首先明确初始患病人数为1，每轮每人平均传染x人；先计算第一轮传染结束后的总患病人数，这部分人群将作为第二轮的传染源，再计算第二轮新增的患病人数，最终两轮后的总患病人数为144，根据总人数的等量关系即可列出方程。
【解析】
解：①初始阶段：患流感人数为1人；
②第一轮传染：1个患者每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
③第二轮传染：此时所有$1+x$个患者均为传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
两轮传染后总患病人数为144，因此可列方程：
$1 + x + x(1+x) = 144$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题建模
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确区分每一轮的传染源数量，理清总患病人数、原有患病人数、新增患病人数三者的数量关系，避免漏算原有患者作为传染源的部分。
【难度系数】
0.8
2.某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力植树造林，2024年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年该市森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是(
A.$0.64(1+x)=0.69$
B.$0.64(1+x)^2=0.69$
C.$0.64(1+2x)=0.69$
D.$0.64(1+2x)^2=0.69$
B
).A.$0.64(1+x)=0.69$
B.$0.64(1+x)^2=0.69$
C.$0.64(1+2x)=0.69$
D.$0.64(1+2x)^2=0.69$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先明确平均增长率的通用公式：若初始值为a，年平均增长率为x，经过n年后的最终值为a(1+x)ⁿ。首先确定初始值为2022年底的森林覆盖率64%（即0.64），再计算增长时间：2024年底与2022年底间隔2年，即n=2，最终值为2024年底的森林覆盖率69%（即0.69），将数值代入公式即可得到对应方程。
【解析】
已知2022年底森林覆盖率为64%=0.64，年平均增长率为x：
1. 2023年底的森林覆盖率为2022年的覆盖率乘以（1+增长率），即：$0.64(1+x)$
2. 2024年底的森林覆盖率是在2023年的基础上再增长x，即：$0.64(1+x) × (1+x) = 0.64(1+x)^2$
3. 由题可知2024年底森林覆盖率为69%=0.69，因此列方程得：$0.64(1+x)^2 = 0.69$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是准确找到增长的初始值、增长次数以及最终值，牢记平均增长率的计算公式即可快速判断正确方程，注意不要混淆累计增长率和年平均增长率的计算方式。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先明确平均增长率的通用公式：若初始值为a，年平均增长率为x，经过n年后的最终值为a(1+x)ⁿ。首先确定初始值为2022年底的森林覆盖率64%（即0.64），再计算增长时间：2024年底与2022年底间隔2年，即n=2，最终值为2024年底的森林覆盖率69%（即0.69），将数值代入公式即可得到对应方程。
【解析】
已知2022年底森林覆盖率为64%=0.64，年平均增长率为x：
1. 2023年底的森林覆盖率为2022年的覆盖率乘以（1+增长率），即：$0.64(1+x)$
2. 2024年底的森林覆盖率是在2023年的基础上再增长x，即：$0.64(1+x) × (1+x) = 0.64(1+x)^2$
3. 由题可知2024年底森林覆盖率为69%=0.69，因此列方程得：$0.64(1+x)^2 = 0.69$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是准确找到增长的初始值、增长次数以及最终值，牢记平均增长率的计算公式即可快速判断正确方程，注意不要混淆累计增长率和年平均增长率的计算方式。
【难度系数】
0.8
3.某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，设平均每次降价的百分率是x，则x的值是(
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
A
).A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
答案
3.A
解析
【分析】
这是典型的平均降价率问题，解题思路如下：首先明确降价率的计算规律：第一次降价后的价格=原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格=原价×(1-降价百分率)²。我们可以根据题目给出的原价和两次降价后的现价列出一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（小于1）舍去不合理的根，就能得到正确结果。
【解析】
根据题意，药品原价为100元，平均每次降价百分率为x，两次降价后售价为81元，可列方程：
$100(1-x)^2=81$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方得：
$1-x=\pm0.9$
分两种情况求解：
①当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
②当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
因此x的值为10%。
【答案】
A
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题的核心是掌握多次变化后量的计算公式，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均降价率问题，解题思路如下：首先明确降价率的计算规律：第一次降价后的价格=原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格=原价×(1-降价百分率)²。我们可以根据题目给出的原价和两次降价后的现价列出一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（小于1）舍去不合理的根，就能得到正确结果。
【解析】
根据题意，药品原价为100元，平均每次降价百分率为x，两次降价后售价为81元，可列方程：
$100(1-x)^2=81$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方得：
$1-x=\pm0.9$
分两种情况求解：
①当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
②当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
因此x的值为10%。
【答案】
A
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题的核心是掌握多次变化后量的计算公式，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是(
A.8
B.9
C.10
D.11
B
).A.8
B.9
C.10
D.11
答案
4.B
解析
【分析】
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题时先梳理各层级的数量关系：首先主干仅有1个，设每个支干长出x个小分支，那么主干长出的支干总数就是x个；每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总数量是x乘x即x²个。三类结构的总数为91，据此列一元二次方程求解，最后结合分支数为正的实际要求舍去不符合题意的根即可。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支数目为x。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三者总和为91，列方程得：
$1 + x + x^2 = 91$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x + 10)(x - 9) = 0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$
∵ 小分支数目不能为负数，
∴ $x_2=-10$不符合实际，舍去
即每个支干长出的小分支数目是9，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是分支类一元二次方程的基础题型，解题关键是理清各层级分支的数量关系，列方程求解后要注意结合实际场景筛选合理的根，掌握这类题型的数量规律即可快速解答。
【难度系数】
0.7
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题时先梳理各层级的数量关系：首先主干仅有1个，设每个支干长出x个小分支，那么主干长出的支干总数就是x个；每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总数量是x乘x即x²个。三类结构的总数为91，据此列一元二次方程求解，最后结合分支数为正的实际要求舍去不符合题意的根即可。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支数目为x。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三者总和为91，列方程得：
$1 + x + x^2 = 91$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x + 10)(x - 9) = 0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$
∵ 小分支数目不能为负数，
∴ $x_2=-10$不符合实际，舍去
即每个支干长出的小分支数目是9，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是分支类一元二次方程的基础题型，解题关键是理清各层级分支的数量关系，列方程求解后要注意结合实际场景筛选合理的根，掌握这类题型的数量规律即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5.某年冬春之交，有2人患了流感，若在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感.
(1)每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
(1)每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
答案
5.(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 人,
根据题意列方程 $2[1+x+(1+x)x]=128$,解得 $x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)第三轮感染的人数$=128×7=896$(人),
$\therefore$第三轮感染后,患流感的总人数为 $896+128=1\ 024$(人).
根据题意列方程 $2[1+x+(1+x)x]=128$,解得 $x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)第三轮感染的人数$=128×7=896$(人),
$\therefore$第三轮感染后,患流感的总人数为 $896+128=1\ 024$(人).
解析
【分析】
本题是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：
（1）首先明确传染问题的数量逻辑：每轮传染中，传染源是上一轮结束后的所有患病者，平均每人传染$x$人，那么每轮结束后总患病人数是上一轮总人数的$(1+x)$倍。最初有2名患者，经过两轮传染后总人数为128，据此可列方程求解，注意传染人数不能为负数，要对解进行取舍。
（2）第三轮传染的传染源是第二轮结束后的128名患者，先算出第三轮新增的患病人数，再加上第二轮结束的总人数，即可得到第三轮感染后的总患病人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$x$人，
第一轮传染后总患病人数为$2(1+x)$人，第二轮以$2(1+x)$个患者为传染源，新增患病人数为$2(1+x)x$，根据两轮后总患病人数为128列方程：
$2[1+x+(1+x)x]=128$
整理得$(1+x)^2=64$，解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
由于传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
(2) 第三轮传染的传染源为第二轮结束的128名患者，第三轮新增患病人数为$128×7=896$人，因此第三轮感染后总患病人数为新增人数加原有患病人数，即$896+128=1024$人。
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7人；
(2) 第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传染问题数量关系
【点评】
本题是传染类应用题的常规考法，核心是理清每轮传染的传染源数量，找准总患病人数的等量关系列方程，求解时要注意结合实际意义舍弃不合理的负根；计算第三轮总人数时要注意区分新增人数和累计总人数，避免漏加原有患病人数。
【难度系数】
0.7
本题是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：
（1）首先明确传染问题的数量逻辑：每轮传染中，传染源是上一轮结束后的所有患病者，平均每人传染$x$人，那么每轮结束后总患病人数是上一轮总人数的$(1+x)$倍。最初有2名患者，经过两轮传染后总人数为128，据此可列方程求解，注意传染人数不能为负数，要对解进行取舍。
（2）第三轮传染的传染源是第二轮结束后的128名患者，先算出第三轮新增的患病人数，再加上第二轮结束的总人数，即可得到第三轮感染后的总患病人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$x$人，
第一轮传染后总患病人数为$2(1+x)$人，第二轮以$2(1+x)$个患者为传染源，新增患病人数为$2(1+x)x$，根据两轮后总患病人数为128列方程：
$2[1+x+(1+x)x]=128$
整理得$(1+x)^2=64$，解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
由于传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
(2) 第三轮传染的传染源为第二轮结束的128名患者，第三轮新增患病人数为$128×7=896$人，因此第三轮感染后总患病人数为新增人数加原有患病人数，即$896+128=1024$人。
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7人；
(2) 第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传染问题数量关系
【点评】
本题是传染类应用题的常规考法，核心是理清每轮传染的传染源数量，找准总患病人数的等量关系列方程，求解时要注意结合实际意义舍弃不合理的负根；计算第三轮总人数时要注意区分新增人数和累计总人数，避免漏加原有患病人数。
【难度系数】
0.7
6.有一种植物繁殖的情况为:1株植物通过一轮繁殖后共有x株植物.某株植物按前面的方式经过两轮繁殖后,共得到225株植物.那么,根据题目条件求x,可以列方程(
A.$x^2=225$
B.$1+x+x^2=225$
C.$1+x+x(1+x)=225$
D.$x(1+x)=225$
A
).A.$x^2=225$
B.$1+x+x^2=225$
C.$1+x+x(1+x)=225$
D.$x(1+x)=225$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要明确繁殖的数量变化规则：题目明确1株植物经过一轮繁殖后总共有x株，即每一轮繁殖结束后的总株数是繁殖前总株数的x倍。我们可以先推导第一轮、第二轮繁殖后的总株数，再结合两轮繁殖后总株数为225的条件，即可列出正确方程。
【解析】
1. 初始状态下共有1株植物；
2. 经过第一轮繁殖后，根据题意总株数为x株；
3. 经过第二轮繁殖时，第一轮得到的x株植物每株都按照相同规则繁殖，每株一轮繁殖后总共有x株，因此第二轮繁殖后的总株数为$x × x = x^2$株；
4. 已知两轮繁殖后总共有225株，因此可列方程$x^2=225$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题重点考查实际问题中的数量关系分析，易错点是混淆“繁殖后总株数”和“单株新增繁殖株数”的概念，只要准确理解题干给出的繁殖规则，就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确繁殖的数量变化规则：题目明确1株植物经过一轮繁殖后总共有x株，即每一轮繁殖结束后的总株数是繁殖前总株数的x倍。我们可以先推导第一轮、第二轮繁殖后的总株数，再结合两轮繁殖后总株数为225的条件，即可列出正确方程。
【解析】
1. 初始状态下共有1株植物；
2. 经过第一轮繁殖后，根据题意总株数为x株；
3. 经过第二轮繁殖时，第一轮得到的x株植物每株都按照相同规则繁殖，每株一轮繁殖后总共有x株，因此第二轮繁殖后的总株数为$x × x = x^2$株；
4. 已知两轮繁殖后总共有225株，因此可列方程$x^2=225$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题重点考查实际问题中的数量关系分析，易错点是混淆“繁殖后总株数”和“单株新增繁殖株数”的概念，只要准确理解题干给出的繁殖规则，就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
