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1.秋冬季节是流感等急性呼吸道传染病高发期，若有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为(
A.$1+2x=144$
B.$1+x^2=144$
C.$x+x^2=144$
D.$1+x+x(1+x)=144$
D
).A.$1+2x=144$
B.$1+x^2=144$
C.$x+x^2=144$
D.$1+x+x(1+x)=144$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道典型的传染类一元二次方程应用题，解题时要分两步理清患病人数的变化逻辑：首先明确初始患病人数为1人，第一轮的传染源就是这1名患者，先算出第一轮传染后的总患病人数；再以第一轮结束后的所有患者作为第二轮的传染源，算出第二轮新增的患病人数，最终两轮结束后的总患病人数等于144，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮传染中平均1人传染$x$个人。
1. 第一轮传染后，总患病人数为：初始1人 + 1人传染的$x$人，即$1+x$人；
2. 第二轮传染时，传染源是第一轮结束后的$1+x$名患者，因此第二轮新增的患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后的总患病人数 = 第一轮结束的患病人数 + 第二轮新增患病人数，也就是$1+x + x(1+x)$，结合题意总患病人数为144，可列方程：$1+x+x(1+x)=144$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播问题等量关系
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题核心是准确找到每一轮的传染源数量，避免陷入“两轮仅新增$x^2$个患者”的误区，理清每轮患病人数的推导逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.75
这是一道典型的传染类一元二次方程应用题，解题时要分两步理清患病人数的变化逻辑：首先明确初始患病人数为1人，第一轮的传染源就是这1名患者，先算出第一轮传染后的总患病人数；再以第一轮结束后的所有患者作为第二轮的传染源，算出第二轮新增的患病人数，最终两轮结束后的总患病人数等于144，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮传染中平均1人传染$x$个人。
1. 第一轮传染后，总患病人数为：初始1人 + 1人传染的$x$人，即$1+x$人；
2. 第二轮传染时，传染源是第一轮结束后的$1+x$名患者，因此第二轮新增的患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后的总患病人数 = 第一轮结束的患病人数 + 第二轮新增患病人数，也就是$1+x + x(1+x)$，结合题意总患病人数为144，可列方程：$1+x+x(1+x)=144$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播问题等量关系
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题核心是准确找到每一轮的传染源数量，避免陷入“两轮仅新增$x^2$个患者”的误区，理清每轮患病人数的推导逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.75
2.某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力植树造林，2024年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年该市森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是(
A.$0.64(1+x)=0.69$
B.$0.64(1+x)^2=0.69$
C.$0.64(1+2x)=0.69$
D.$0.64(1+2x)^2=0.69$
B
).A.$0.64(1+x)=0.69$
B.$0.64(1+x)^2=0.69$
C.$0.64(1+2x)=0.69$
D.$0.64(1+2x)^2=0.69$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1.先确定核心量：初始量是2022年底的森林覆盖率64%（即0.64），从2022年底到2024年底共经过2次年增长，最终量是2024年底的森林覆盖率69%（即0.69）；2.回忆平均增长率的计算规律：经过n次增长后，最终量=初始量×(1+增长率)^n；3.对应代入数值列出方程，匹配选项即可。
【解析】
解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x。
2023年底的森林覆盖率为：$0.64(1+x)$
2024年底的森林覆盖率是在2023年的基础上再增长x，因此为：$0.64(1+x) × (1+x) = 0.64(1+x)^2$
已知2024年底森林覆盖率为69%即0.69，可列方程：
$0.64(1+x)^2 = 0.69$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
1.平均增长率问题
2.一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率的常考题型，解题的核心是准确梳理增长的时间跨度、明确增长次数，牢记平均增长率的计算公式，注意不要将年平均增长率误算为总增长率除以年份，避免错选含2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1.先确定核心量：初始量是2022年底的森林覆盖率64%（即0.64），从2022年底到2024年底共经过2次年增长，最终量是2024年底的森林覆盖率69%（即0.69）；2.回忆平均增长率的计算规律：经过n次增长后，最终量=初始量×(1+增长率)^n；3.对应代入数值列出方程，匹配选项即可。
【解析】
解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x。
2023年底的森林覆盖率为：$0.64(1+x)$
2024年底的森林覆盖率是在2023年的基础上再增长x，因此为：$0.64(1+x) × (1+x) = 0.64(1+x)^2$
已知2024年底森林覆盖率为69%即0.69，可列方程：
$0.64(1+x)^2 = 0.69$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】
1.平均增长率问题
2.一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率的常考题型，解题的核心是准确梳理增长的时间跨度、明确增长次数，牢记平均增长率的计算公式，注意不要将年平均增长率误算为总增长率除以年份，避免错选含2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
3.某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，设平均每次降价的百分率是x，则x的值是(
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
A
).A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
答案
3.A
解析
【分析】
这是平均降价率类的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系，原价为a，平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的价格为a(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格为a(1-x)²。本题中原价a为100元，两次降价后价格为81元，代入关系式列一元二次方程求解，最后要注意降价率x的取值范围是0＜x＜1，舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$100(1-x)^2=81$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方得：
$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价率的实际意义，舍去。
因此x的值为10%，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题关键是牢记变化率的计算公式，同时要注意求解出的方程的根必须符合实际场景，对不合理的根要进行舍去。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率类的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系，原价为a，平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的价格为a(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格为a(1-x)²。本题中原价a为100元，两次降价后价格为81元，代入关系式列一元二次方程求解，最后要注意降价率x的取值范围是0＜x＜1，舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$100(1-x)^2=81$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方得：
$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价率的实际意义，舍去。
因此x的值为10%，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题关键是牢记变化率的计算公式，同时要注意求解出的方程的根必须符合实际场景，对不合理的根要进行舍去。
【难度系数】
0.8
4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是(
A.8
B.9
C.10
D.11
B
).A.8
B.9
C.10
D.11
答案
4.B
解析
【分析】
解这道题首先要梳理清楚不同层级分支的数量关系：首先设每个支干长出的小分支数目为x，其中主干只有1个；每个主干长出x个支干，因此支干总数量为x；每个支干再长出x个小分支，因此小分支总数量为x·x=x²。三者的总数为91，将三类数量相加即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设每个支干长出的小分支数目为$ x $。
根据题意，主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为91，可列方程：
$1 + x + x^2 = 91$
整理得：
$x^2 + x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x + 10)(x - 9) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $（分支数目不能为负数，不符合实际，舍去）
因此每个支干长出的小分支数目是9。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于分支类一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，正确列出方程，求解后要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要梳理清楚不同层级分支的数量关系：首先设每个支干长出的小分支数目为x，其中主干只有1个；每个主干长出x个支干，因此支干总数量为x；每个支干再长出x个小分支，因此小分支总数量为x·x=x²。三者的总数为91，将三类数量相加即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设每个支干长出的小分支数目为$ x $。
根据题意，主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为91，可列方程：
$1 + x + x^2 = 91$
整理得：
$x^2 + x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x + 10)(x - 9) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $（分支数目不能为负数，不符合实际，舍去）
因此每个支干长出的小分支数目是9。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于分支类一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，正确列出方程，求解后要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
5.某年冬春之交，有2人患了流感，若在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感.
(1)每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
(1)每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
答案
5.(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 人,
根据题意列方程 $2[1+x+(1+x)x]=128$,解得 $x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)第三轮感染的人数$=128×7=896$(人),
$\therefore$第三轮感染后,患流感的总人数为 $896+128=1\ 024$(人).
根据题意列方程 $2[1+x+(1+x)x]=128$,解得 $x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)第三轮感染的人数$=128×7=896$(人),
$\therefore$第三轮感染后,患流感的总人数为 $896+128=1\ 024$(人).
解析
【分析】
本题是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 求解第一问时，先明确传染的数量逻辑：初始有2名患者，每轮中1名患者传染$ x $人，第一轮传染结束后总患者数为$ 2(1+x) $人；第二轮传染时，第一轮结束后的所有患者均作为传染源，第二轮新增患者数为$ 2(1+x)x $，两轮结束后总患者数为128人，据此列一元二次方程求解即可，注意传染人数不能为负，要舍去不符合实际意义的根。
2. 求解第二问时，以第二轮结束的128名患者为第三轮的传染源，先计算第三轮新增患者数，再加上第二轮总患者数，即可得到第三轮感染后的总人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$ x $人。
根据两轮传染后总患病人数为128人，列方程：
$2[1+x+(1+x)x] = 128$
整理得$ (1+x)^2 = 64 $，
开平方得$ 1+x = \pm8 $，
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-9 $。
因传染人数不能为负，$ x_2=-9 $不合题意，舍去。
(2) 第三轮新增感染人数：$ 128×7 = 896 $（人）
第三轮感染后总患病人数：$ 128 + 896 = 1024 $（人）
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7人；
(2) 第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；传染问题数量关系；一元二次方程求解
【点评】
本题是传播类应用题的常规考法，解题核心是理清每轮传染前后传染源的数量，正确建立数量关系列方程，求解后注意结合实际场景舍去不符合逻辑的根，掌握该模型可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
本题是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 求解第一问时，先明确传染的数量逻辑：初始有2名患者，每轮中1名患者传染$ x $人，第一轮传染结束后总患者数为$ 2(1+x) $人；第二轮传染时，第一轮结束后的所有患者均作为传染源，第二轮新增患者数为$ 2(1+x)x $，两轮结束后总患者数为128人，据此列一元二次方程求解即可，注意传染人数不能为负，要舍去不符合实际意义的根。
2. 求解第二问时，以第二轮结束的128名患者为第三轮的传染源，先计算第三轮新增患者数，再加上第二轮总患者数，即可得到第三轮感染后的总人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了$ x $人。
根据两轮传染后总患病人数为128人，列方程：
$2[1+x+(1+x)x] = 128$
整理得$ (1+x)^2 = 64 $，
开平方得$ 1+x = \pm8 $，
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-9 $。
因传染人数不能为负，$ x_2=-9 $不合题意，舍去。
(2) 第三轮新增感染人数：$ 128×7 = 896 $（人）
第三轮感染后总患病人数：$ 128 + 896 = 1024 $（人）
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7人；
(2) 第三轮感染后，患流感的共有1024人。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；传染问题数量关系；一元二次方程求解
【点评】
本题是传播类应用题的常规考法，解题核心是理清每轮传染前后传染源的数量，正确建立数量关系列方程，求解后注意结合实际场景舍去不符合逻辑的根，掌握该模型可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
6.有一种植物繁殖的情况为:1株植物通过一轮繁殖后共有x株植物.某株植物按前面的方式经过两轮繁殖后,共得到225株植物.那么,根据题目条件求x,可以列方程(
A.$x^2=225$
B.$1+x+x^2=225$
C.$1+x+x(1+x)=225$
D.$x(1+x)=225$
A
).A.$x^2=225$
B.$1+x+x^2=225$
C.$1+x+x(1+x)=225$
D.$x(1+x)=225$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先明确繁殖的数量变化规则：题目说明1株经过一轮繁殖后总共有x株，即每一轮繁殖后，总株数是繁殖前总株数的x倍。接下来逐步推导两轮繁殖后的总株数：初始有1株，第一轮繁殖后总株数为x；第二轮繁殖时，以第一轮结束的x株为基础，每株经过一轮繁殖后总数量变为原来的x倍，因此第二轮结束总株数为x乘x，结合两轮后总株数为225的条件即可列出对应方程。
【解析】
解：1. 确定初始株数：最开始共有1株植物；
2. 计算第一轮繁殖后的总株数：根据题意，1株经过一轮繁殖后总共有x株，因此第一轮繁殖结束后总株数为x；
3. 计算第二轮繁殖后的总株数：第一轮结束的x株植物，每株经过一轮繁殖后总数量变为繁殖前的x倍，因此第二轮繁殖结束后的总株数为 $ x × x = x^2 $；
4. 列方程：已知两轮繁殖后共得到225株，因此可列方程 $ x^2 = 225 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题建模
【点评】
本题重点考查实际问题中的数量关系分析，解题的核心是准确理解“1株一轮繁殖后共有x株”的含义，明确每一轮繁殖后总株数是繁殖前的x倍，避免和“每轮新增x株”的题型混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确繁殖的数量变化规则：题目说明1株经过一轮繁殖后总共有x株，即每一轮繁殖后，总株数是繁殖前总株数的x倍。接下来逐步推导两轮繁殖后的总株数：初始有1株，第一轮繁殖后总株数为x；第二轮繁殖时，以第一轮结束的x株为基础，每株经过一轮繁殖后总数量变为原来的x倍，因此第二轮结束总株数为x乘x，结合两轮后总株数为225的条件即可列出对应方程。
【解析】
解：1. 确定初始株数：最开始共有1株植物；
2. 计算第一轮繁殖后的总株数：根据题意，1株经过一轮繁殖后总共有x株，因此第一轮繁殖结束后总株数为x；
3. 计算第二轮繁殖后的总株数：第一轮结束的x株植物，每株经过一轮繁殖后总数量变为繁殖前的x倍，因此第二轮繁殖结束后的总株数为 $ x × x = x^2 $；
4. 列方程：已知两轮繁殖后共得到225株，因此可列方程 $ x^2 = 225 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题建模
【点评】
本题重点考查实际问题中的数量关系分析，解题的核心是准确理解“1株一轮繁殖后共有x株”的含义，明确每一轮繁殖后总株数是繁殖前的x倍，避免和“每轮新增x株”的题型混淆。
【难度系数】
0.7
