1. 下列图形中一定相似的是 （）

A.所有的直角三角形
B.所有的等腰三角形
C.所有的含 $30°$ 角的三角形
D.所有的等腰直角三角形

1.D

2. 如图,在正方形网格中,$△ ABC ∽ △ EDF$,则$△ EDF$与$△ ABC$的相似比为 ()


A.$2:5$
B.$5:2$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}:\sqrt{2}$

2.C

3. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，若$∠ A=40°$，$∠ E=80°$，则$∠ F$的度数为 （）

A.$30°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

3.B

4. 小明要制作两个相似的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,6,9，已知另一个三角形一条边的长度为3，则余下的那两条边的长度不可能为（）

A.$\frac{9}{2},\frac{27}{4}$
B.$2,\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3},2$
D.$6,10$

4.D 【点拨】设长为4,6,9的三边的对应边的长分别为3,x,y,根据题意得$\frac{3}{4}=\frac{x}{6}=\frac{y}{9}$,解得$x=\frac{9}{2},y=\frac{27}{4}$;设长为4,6,9的对应边的长分别为x,3,y,根据题意得$\frac{x}{4}=\frac{3}{6}=\frac{y}{9}$,解得$x=2,y=\frac{9}{2}$;设长为4,6,9的对应边的长分别为x,y,3,根据题意得$\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{3}{9}$,解得$x=\frac{4}{3},y=2$.故选D.

5. 如图,在$△ PAB$中,$M,N$是$AB$上两点,且$△ PMN$是等边三角形,$△ BPM ∽ △ PAN$,则$∠ APB$的度数是.

5.$120°$ 【点拨】$\because △ BPM ∽ △ PAN, \therefore ∠ BPM=∠ A$.
$\because △ PMN$是等边三角形,$\therefore ∠ MPN=∠ MNP=60°$,
$\therefore ∠ A+∠ APN=60°$,即$∠ APN+∠ BPM=60°$,
$\therefore ∠ APB=∠ BPM+∠ MPN+∠ APN=60°+60°=120°$.

6.如图,在$□ ABCD$中,过点B的直线与对角线AC,边AD分别交于点E和点F,过点E作$EG// BC$,交AB于点G,则图中相似三角形有（）

A.4对
B.5对
C.6对
D.7对

6.B 【点拨】题图中相似三角形有$△ ABC ∽ △ CDA$,$△ AGE ∽ △ ABC$,$△ AFE ∽ △ CBE$,$△ BGE ∽ △ BAF$,$△ AGE ∽ △ CDA$,共5对.

7. 杭州钱塘区期中 新视角·方法辨析题 如图，A，B均在方格纸的格点上. 在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（）


A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1,2都对
D.方法1,2都错

7.C 【点拨】方法1:由网格可知$AC=1,BD=2,AC// BD$,$\therefore △ APC ∽ △ BPD$,$\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$.方法2:如图,连结$BC,AD$,由网格可知$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$AD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$AD// BC$,$\therefore △ BPC ∽ △ APD$,$\therefore \frac{PB}{AP}=\frac{BC}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.综上,方法1,2都对,故选C.

8. 如图，D是△ABC边BC上一点，连结AD，过AD上点E作EF//BD，交AB于点F，过点F作FG//AC交BC于点G。已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，BG=4.
(1)求CG的长；
(2)若CD=2，求EF的长.

8.【解】(1)$\because EF// BD$,$\therefore \frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$.
$\because FG// AC$,$\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$.$\because BG=4$,$\therefore CG=6$.
(2)$\because CD=2$,$CG=6$,$\therefore DG=4$.
$\because BG=4$,$\therefore BD=8$.$\because \frac{AF}{BF}=\frac{3}{2}$,$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{3}{5}$.
$\because EF// BD$,$\therefore △ AFE ∽ △ ABD$,$\therefore \frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AB}$,即$\frac{EF}{8}=\frac{3}{5}$.
$\therefore EF=\frac{24}{5}$.

9. 西安长安区期末 新考法·等线段代换法 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=8$,$AC=6$,$BD$平分$∠ ABC$,$CD$平分$∠ ACB$,过点$D$作直线$PQ$,分别交$AB$,$AC$于点$P$,$Q$,若$△ APQ ∽ △ ABC$,则线段$PQ$的长是 ()

A.$5$
B.$\dfrac{35}{6}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$6$

9.B 【点拨】由题意得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$.$\because BD$平分$∠ ABC$,$CD$平分$∠ ACB$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,$∠ ACD=∠ BCD$.$\because △ APQ ∽ △ ABC$,$\therefore ∠ APQ=∠ ABC$,$\therefore PQ// BC$,$\therefore ∠ PDB=∠ CBD$,$∠ QDC=∠ BCD$,$\therefore ∠ PDB=∠ ABD$,$∠ QDC=∠ ACD$,$\therefore PD=PB$,$DQ=CQ$.设$PD=PB=a$,$DQ=CQ=b$,$\therefore AP=AB-BP=8-a$,$AQ=AC-CQ=6-b$,$PQ=PD+DQ=a+b$.$\because △ APQ ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}$,即$\frac{8-a}{8}=\frac{6-b}{6}=\frac{a+b}{10}$,$\therefore b=\frac{5}{2}$,$a=\frac{10}{3}$,$\therefore PQ=\frac{10}{3}+\frac{5}{2}=\frac{35}{6}$.