11. 如图,在菱形ABCD中,$∠ ABC=60°$,E是CD的中点,则$\sin∠ EBC$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{21}}{14}$
D.$\frac{5\sqrt{7}}{14}$

11.C 【点拨】过点$E$作$EH⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$H$. $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore BC=CD$，$AB// CD$，$\therefore ∠ ABC=∠ DCH=60°$. 设$BC=CD=x$. $\because E$是$CD$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x$. $\because EH⊥ BH$，$\therefore EH=CE·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}x$，$CH=CE·\cos60°=\frac{1}{4}x$，$\therefore BH=BC+CH=\frac{5}{4}x$，$\therefore BE=\sqrt{BH^2+EH^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}x$，$\therefore \sin∠ EBC=\frac{EH}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}x}{\frac{\sqrt{7}}{2}x}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

12. 已知锐角α满足$\frac{2\tanα -1}{3+\tanα}=\frac{1}{2}$，则$2\sin^2α -7\sinα\cosα +5\cos^2α$的值为

12.$-\frac{5}{17}$ 【点拨】$\because \frac{2\tanα -1}{3+\tanα}=\frac{1}{2}$，$\therefore 4\tanα -2=3+\tanα$，解得$\tanα=\frac{5}{3}$. $\because \sin^2α+\cos^2α=1$，$\therefore 2\sin^2α-7\sinα·\cosα+5\cos^2α=\frac{2\sin^2α-7\sinα·\cosα+5\cos^2α}{\sin^2α+\cos^2α}=\frac{2\tan^2α-7\tanα+5}{\tan^2α+1}=\frac{2×(\frac{5}{3})^2-7×\frac{5}{3}+5}{(\frac{5}{3})^2+1}=-\frac{5}{17}$.

13. 新考法 构造直角三角形法 如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,$∠α,∠β$如图所示,则$\cos(α+β)=$.

13.$\frac{\sqrt{21}}{7}$ 【点拨】如图，连结$DE$，由题易知，在$△ ABC$中，$∠ ABC=120°$，$BA=BC$，$\therefore ∠ α=30°$. 同理可得，$∠ CDE=∠ CED=30°=∠ α$. 又$\because ∠ AEC=60°$，$\therefore ∠ AED=∠ AEC+∠ CED=90°$. 设等边三角形的边长为$a$，则$AE=BD=2a$，$\therefore DE=BD·\cos∠ BDE=2a·\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$，$\therefore AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{7}a$，$\therefore \cos(α+β)=\cos∠ ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

14. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ A=60°$，$AB=6$，折叠该菱形，使点$A$落在边$BC$上的点$M$处，折痕分别与边$AB$，$AD$交于点$E$，$F$。当点$M$的位置变化时，$AF$长的最小值为。

14.$3\sqrt{3}$ 【点拨】根据折叠的性质，得$AF=FM$. 如图，过点$F$作$FQ⊥ BC$于点$Q$，过点$D$作$DN⊥ BC$于点$N$，$\therefore AF=FM≥ FQ$. $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ A=60°$，$AB=6$，$\therefore AD// BC$，$∠ A=∠ C=60°$，$CD=AB=6$，$\therefore$ 易知$FQ=DN=CD·\sin C=6×\sin60°=3\sqrt{3}$. $\therefore AF$长的最小值为$3\sqrt{3}$.

15. ※ 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},0)$,$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1)$,连结 AB,以 AB 为边向上作等边三角形 ABC,则线段 BC 所在直线的函数表达式为.

15.$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}$ 【点拨】过点$B$作$BH⊥ x$轴于点$H$.
$\because$ 点$A$,$B$的坐标分别为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，$\therefore BH=1$，$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，根据勾股定理，得$AB=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，$\therefore \sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}$.
$\therefore ∠ BAH=30°$. 在等边三角形$ABC$中，$AC=AB=2$，$∠ CAB=60°$，$\therefore ∠ CAH=90°$. $\therefore$ 点$C$的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},2)$. 设线段$BC$所在直线的函数表达式为$y=kx+b$，代入点$B$和点$C$的坐标，得$\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=1,\\-\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$ $\therefore$ 线段$BC$所在直线的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3}{2}$.

16. 已知$∠ A$是锐角，且$\tan A$，$\frac{1}{\tan A}$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2kx + k^2 - 3 = 0$的两个实数根.
(1)求$k$的值.
(2)问$∠ A$能否等于$45°$？请说明你的理由.

16.【解】(1)$\because \tan A$，$\frac{1}{\tan A}$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2kx+k^2-3=0$的两个实数根，
$\therefore \tan A·\frac{1}{\tan A}=k^2-3$，$\therefore k=\pm2$.
由$∠ A$是锐角，知$\tan A＞0$，$\frac{1}{\tan A}＞0$.
$\therefore 2k=-(\tan A+\frac{1}{\tan A})＜0$，即$k＜0$，
$\therefore k=-2$，此时方程的根的判别式$\Delta=(-4)^2-4×[(-2)^2-3]=12＞0$，
$\therefore$ 方程有实数根，$\therefore k=-2$.
(2)$∠ A$不能等于$45°$. 理由:由(1)得方程为$x^2-4x+1=0$，若$∠ A=45°$，则$\tan A=\frac{1}{\tan A}=1$，
将$x=1$代入方程$x^2-4x+1=0$，
左边$=1-4+1=-2≠0$，$\therefore 1$不是方程的根，
$\therefore ∠ A$不能等于$45°$.

17. 初高衔接 某市大型风机矗立在山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为$120°$，且三片风叶长度相等，当其中一片风叶$OB$与塔干$OD$叠合时，在与塔底$D$水平距离为$60\ \mathrm{m}$的$E$处，测得塔顶部$O$的仰角$∠ OED=45°$，风叶$OA$的视角$∠ OEA=30°$.
(1)已知$α,β$两角和的正弦公式为$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，请利用公式计算$\sin75°$的值；
(2)求风叶$OA$的长度.

17.【解】(1)由题意可得 $\sin 75° = \sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
(2)如图，过点$A$作$AF⊥ DE$于点$F$，连结$AC$，过点$O$作$OG⊥ AC$于点$G$，易知$G,O,D$共线.
由题意得$DE=60\ \mathrm{m}$，$∠ OED=45°$，$OD⊥ DE$，
$\therefore OE=\frac{DE}{\cos45°}=\frac{60}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=60\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$，
$∠ DOE=45°$，$\therefore OD=DE=60\ \mathrm{m}$.
$\because$ 三片风叶两两所成的角为$120°$，
$\therefore ∠ DOA=120°$，$\therefore ∠ AOE=120°-45°=75°$.
又$\because ∠ OEA=30°$，$\therefore ∠ OAE=180°-75°-30°=75°$，
$\therefore ∠ OAE=∠ AOE$，$\therefore OE=AE=60\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ OEA=30°$，$∠ OED=45°$，$∠ AED=75°$，
由(1)得$\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
$\therefore AF=AE·\sin75°=(30\sqrt{3}+30)\mathrm{m}$.
$\because AF⊥ DE$，$OG⊥ AC$，$OD⊥ DE$，
$\therefore$ 四边形$DFAG$是矩形，
$\therefore OG=DG-OD=AF-OD=(30\sqrt{3}-30)\mathrm{m}$.
$\because$ 三片风叶两两所成的角为$120°$，且三片风叶长度相等，
$\therefore$ 易知$∠ OAG=30°$，$\therefore OA=2OG=(60\sqrt{3}-60)\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 风叶$OA$的长度为$(60\sqrt{3}-60)\ \mathrm{m}$.