25.「2026湖北恩施期末，★☆」(10分)如图，抛物线$y=x^2-2x-3$交x轴于A,B两点，交y轴于点C.
(1)求OC的长.
(2)将点C向左平移$m(m＞0)$个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上，求$m$的值.
(3)点C关于x轴的对称点为M，将线段AM绕点P旋转$180°$得到线段$A'M'$(点A的对应点为$A'$，点M的对应点为$M'$)，若点$A',M'$都在抛物线上，直接写出点$P,A',M'$的坐标.

25.解析 (1)对于$y=x^2-2x-3$,当$x=0$时,$y=-3$,
∴ $C(0,-3)$,
∴ $OC=3$. .................. (2分)
(2)
∵ 将点 C 向左平移 m 个单位长度得到点 D,
∴ $D(-m,-3)$,
∵ 点 E 与点 D 关于原点对称,
∴ $E(m,3)$, ......... (4分)
把$(m,3)$代入$y=x^2-2x-3$,得$m^2-2m-3=3$,解得$m=1+\sqrt{7}$或$m=1-\sqrt{7}$(舍去),
∴ $m=1+\sqrt{7}$. .................. (6分)
(3)当$y=0$时,$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,
∴ $A(-1,0)$,$B(3,0)$,
根据题意得点$M(0,3)$,
设点$A'(a,a^2-2a-3)$,$M'(b,b^2-2b-3)$,
∵ 将线段 AM 绕点 P 旋转 180°得到线段$A'M'$,
∴ 点 P 是线段$AA'$、线段$MM'$的中点,
∴ $\begin{cases}\frac{-1+a}{2}=\frac{0+b}{2},\\\frac{0+a^2-2a-3}{2}=\frac{3+b^2-2b-3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=2,\end{cases}$
∴ $A'(3,0)$,$M'(2,-3)$,
∴ $P(1,0)$. .................. (10分)