26.「2026吉林长春期末，★★」(12分)【问题呈现】如图1，点M是边长为4的等边三角形ABC内一点，连接MA，MB，MC，求MA+MB+MC的最小值.
【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了MA+MB+MC的最小值，过程如下：
如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△DBN，连接MN，CD，
由旋转可知△DBN≌△ABM，∠MBN=60°，
∴MA=DN，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形，∴NM=MB，
∴MA+MB+MC=DN+NM+MC.
∵DN+NM+MC的最小值是线段的长度()，
∴MA+MB+MC的最小值为.
(1)请将上面的过程补充完整(括号内填依据).
【拓展应用】如图3，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD的对角线BD上一点(点M不与点B重合).
(2)用圆规和无刻度的直尺在图3中作等边△BMN，使点N在△ABE内(不写作法，保留作图痕迹).
(3)当AM+BM+CM的最小值为$\sqrt{3}+1$时，求正方形ABCD的边长.

26.解析 (1)CD;两点之间,线段最短;$4\sqrt{3}$. .................. (4分)
详解:由题意知,$MA+MB+MC=DN+NM+MC$,此时,$MA+MB+MC$ 的最小值是线段 CD 的长度,其依据为两点之间,线段最短,如图,过点 D 作 $DE ⊥ CB$,交 CB 的延长线于点 E,
∵ $∠ABC=60°$,$∠DBA=∠MBN=60°$,
∴ $∠DBE=180°-∠ABC-∠DBA=60°$,
又
∵ $∠E=90°$,
∴ $∠BDE=30°$,
∵ $AB=BC=DB=4$,
∴ 在$Rt△DBE$中,$BE=\frac{1}{2}BD=2$,
∴ $EC=EB+BC=6$,
由勾股定理得 $DE=\sqrt{DB^2-BE^2}=2\sqrt{3}$,
在 $Rt△DEC$ 中, 由 勾 股 定 理 得 $CD = \sqrt{EC^2+DE^2} = \sqrt{36+12}=4\sqrt{3}$,
∴ $MA+MB+MC$ 的最小值为$4\sqrt{3}$.
(2)如图,等边$△BMN$即为所求. .................. (6分)
(3)如图,连接 EN,EC,
∵ $△BMN$ 和 $△ABE$ 均为等边三角形,
∴ $AB=BE$,$BM=BN=MN$,$∠ABE=∠MBN=60°$,
∴ $∠ABE-∠ABN=∠MBN-∠ABN$,即$∠EBN=∠ABM$,
∴ $△ABM≌△EBN(SAS)$,
∴ $AM=EN$,
∴ $MA+MB+MC=EN+MN+MC$. .................. (8分)
$EN+MN+MC$ 的最小值是线段 EC 的长度,
过点 E 作 $EF ⊥ BC$,交 CB 的延长线于点 F,
∵ $AM+BM+CM$ 的最小值为$\sqrt{3}+1$,
∴ $EC=\sqrt{3}+1$,
设正方形 ABCD 的边长为 2a,
∵ $△ABE$ 是等边三角形,
∴ $EB=AB=2a$,$∠ABE=60°$,
∴ $∠EBF=90°-∠ABE=30°$,
在 $Rt△EBF$ 中,$EF=\frac{1}{2}BE=a$,
∴ $BF=\sqrt{BE^2-EF^2}=\sqrt{3}a$,
∴ $FC=BF+BC=(2+\sqrt{3})a$, .................. (10分)
在 $Rt△EFC$ 中,由勾股定理得 $EF^2+FC^2=EC^2$,
∴ $a^2+[(2+\sqrt{3})a]^2=(\sqrt{3}+1)^2$,解得 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去负值),
∴ 正方形 ABCD 的边长为$2a=\sqrt{2}$. .................. (12分)