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8.已知$a$,$b$,$c$为$△ ABC$三条边的长,且$(b-c)(b+c)+ab-ac=0$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(2)若$a=\sqrt{3}$,$b=2$,求$△ ABC$的周长.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(2)若$a=\sqrt{3}$,$b=2$,求$△ ABC$的周长.
答案
8.(1)等腰三角形 (2)$\sqrt{3}+4$
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，需要推导三条边的数量关系：先对给定等式的左边进行因式分解，先将后两项ab-ac提取公因式a，再观察整体提取公因式(b-c)，结合三角形边长均为正数的隐含条件，即可得到边的等量关系，进而判断三角形形状。
(2) 结合第一问得到的边的等量关系，先求出未知边c的长度，再将三边相加即可得到三角形的周长。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
对等式$(b-c)(b+c)+ab-ac=0$变形：
先将后两项提取公因式$a$，得：
$(b-c)(b+c)+a(b-c)=0$
再提取公因式$(b-c)$，得：
$(b-c)(b+c+a)=0$
∵$a$、$b$、$c$为△ABC的三条边长，
∴$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，即$a+b+c＞0$
∴只有$b-c=0$，即$b=c$
故△ABC是等腰三角形。
(2) 由(1)可知$b=c$，已知$b=2$，
∴$c=2$
△ABC的周长为：$a+b+c=\sqrt{3}+2+2=\sqrt{3}+4$
【答案】
(1) 等腰三角形；(2) $\sqrt{3}+4$
【知识点】
提公因式法分解因式、等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题将因式分解和三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练运用提公因式法分解因式，结合三角形边长为正的隐含条件推导边的关系，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
(1) 要判断△ABC的形状，需要推导三条边的数量关系：先对给定等式的左边进行因式分解，先将后两项ab-ac提取公因式a，再观察整体提取公因式(b-c)，结合三角形边长均为正数的隐含条件，即可得到边的等量关系，进而判断三角形形状。
(2) 结合第一问得到的边的等量关系，先求出未知边c的长度，再将三边相加即可得到三角形的周长。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
对等式$(b-c)(b+c)+ab-ac=0$变形：
先将后两项提取公因式$a$，得：
$(b-c)(b+c)+a(b-c)=0$
再提取公因式$(b-c)$，得：
$(b-c)(b+c+a)=0$
∵$a$、$b$、$c$为△ABC的三条边长，
∴$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，即$a+b+c＞0$
∴只有$b-c=0$，即$b=c$
故△ABC是等腰三角形。
(2) 由(1)可知$b=c$，已知$b=2$，
∴$c=2$
△ABC的周长为：$a+b+c=\sqrt{3}+2+2=\sqrt{3}+4$
【答案】
(1) 等腰三角形；(2) $\sqrt{3}+4$
【知识点】
提公因式法分解因式、等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题将因式分解和三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练运用提公因式法分解因式，结合三角形边长为正的隐含条件推导边的关系，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
9. 先阅读下面的材料，再分解因式.
要把多项式$am+an+bm+bn$分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出$a$，再把它的后两项分成一组，并提出$b$，从而得$am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)$.这时，由于$a(m+n)+b(m+n)$中又有公因式$m+n$，于是可提公因式$m+n$，从而得到$(m+n)(a+b)$，因此有$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式.
请用上面材料中提供的方法分解因式：
(1)$ab - ac + bc - b^2$； (2)$m^2 - mn + mx - nx$； (3)$x^2y^2 - 2x^2y - 4y + 8$.
要把多项式$am+an+bm+bn$分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出$a$，再把它的后两项分成一组，并提出$b$，从而得$am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)$.这时，由于$a(m+n)+b(m+n)$中又有公因式$m+n$，于是可提公因式$m+n$，从而得到$(m+n)(a+b)$，因此有$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式.
请用上面材料中提供的方法分解因式：
(1)$ab - ac + bc - b^2$； (2)$m^2 - mn + mx - nx$； (3)$x^2y^2 - 2x^2y - 4y + 8$.
答案
9.(1)$(a-b)(b-c)$ (2)$(m+x)(m-n)$ (3)$(y-2)(x^2y-4)$
解析
【分析】
本题考查分组分解法因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的项的特征，将4个项两两分成两组，保证每组内的两项有公因式可提；接着分别对每组提取公因式，再观察两组提取公因式后得到的另一个因式是否相同；若相同则再提取这个公共的因式，即可完成因式分解，注意分组时可灵活调整分组方式，保证后续能继续提取公因式。
【解析】
(1) 对$ab - ac + bc - b^2$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(ab - ac)+(bc - b^2)\\&=a(b - c)-b(b - c)\\&=(b - c)(a - b)\\&=(a-b)(b-c)\end{aligned}$
(2) 对$m^2 - mn + mx - nx$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(m^2 - mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\\&=(m+x)(m-n)\end{aligned}$
(3) 对$x^2y^2 - 2x^2y - 4y + 8$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(x^2y^2 - 2x^2y)+(-4y + 8)\\&=x^2y(y - 2)-4(y - 2)\\&=(y - 2)(x^2y - 4)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-b)(b-c)$ (2)$(m+x)(m-n)$ (3)$(y-2)(x^2y-4)$
【知识点】
分组分解法，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分组分解法的基础应用，核心是掌握分组的原则：分组后既要能在组内提取公因式，还要保证组与组之间有公共的因式可提，多练习观察项的特征就能快速找到合适的分组方式。
【难度系数】
0.8
本题考查分组分解法因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的项的特征，将4个项两两分成两组，保证每组内的两项有公因式可提；接着分别对每组提取公因式，再观察两组提取公因式后得到的另一个因式是否相同；若相同则再提取这个公共的因式，即可完成因式分解，注意分组时可灵活调整分组方式，保证后续能继续提取公因式。
【解析】
(1) 对$ab - ac + bc - b^2$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(ab - ac)+(bc - b^2)\\&=a(b - c)-b(b - c)\\&=(b - c)(a - b)\\&=(a-b)(b-c)\end{aligned}$
(2) 对$m^2 - mn + mx - nx$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(m^2 - mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\\&=(m+x)(m-n)\end{aligned}$
(3) 对$x^2y^2 - 2x^2y - 4y + 8$分解因式：
将前两项、后两项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(x^2y^2 - 2x^2y)+(-4y + 8)\\&=x^2y(y - 2)-4(y - 2)\\&=(y - 2)(x^2y - 4)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-b)(b-c)$ (2)$(m+x)(m-n)$ (3)$(y-2)(x^2y-4)$
【知识点】
分组分解法，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分组分解法的基础应用，核心是掌握分组的原则：分组后既要能在组内提取公因式，还要保证组与组之间有公共的因式可提，多练习观察项的特征就能快速找到合适的分组方式。
【难度系数】
0.8
