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1. 等腰三角形的一个内角等于70°,则其底角的度数为 （
A.40°
B.55°
C.70°
D.55°或70°
D
）A.40°
B.55°
C.70°
D.55°或70°
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题需先掌握等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的核心性质，由于题干仅说明有一个内角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此要分两种情况分别计算底角度数，计算后还要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为70°，分两种情况讨论：
1. 若70°的角为顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角度数为：
$(180°-70°)÷ 2=55°$
2. 若70°的角为底角：
此时另一底角也为70°，对应的顶角为$180°-70°× 2=40°$，符合三角形内角和规则，结果成立。
综上，该等腰三角形底角的度数为55°或70°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是容易忽略已知角的类型不明确的前提，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要养成分类讨论后验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
解决本题需先掌握等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的核心性质，由于题干仅说明有一个内角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此要分两种情况分别计算底角度数，计算后还要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为70°，分两种情况讨论：
1. 若70°的角为顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角度数为：
$(180°-70°)÷ 2=55°$
2. 若70°的角为底角：
此时另一底角也为70°，对应的顶角为$180°-70°× 2=40°$，符合三角形内角和规则，结果成立。
综上，该等腰三角形底角的度数为55°或70°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是容易忽略已知角的类型不明确的前提，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要养成分类讨论后验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA⊥ AC$,则$∠ ADB=$ (
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
B
)A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
2.B
解析
【分析】
这是等腰三角形性质的基础应用题，解题思路可分两步走：第一步，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出底角∠C的度数；第二步，根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，既可以先计算Rt△ADC中∠ADC的度数，再利用邻补角互补求∠ADB，也可以直接利用三角形外角的性质，直接求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
∴ $∠ B=∠ C$
∵ 三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=130°$
∴ $∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
∵ $DA⊥ AC$
∴ $∠ DAC=90°$
∵ $∠ ADB$是$△ ADC$的外角，三角形外角等于不相邻两个内角的和
∴ $∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础常规题，核心考察等腰三角形等边对等角性质的应用，结合垂直定义和三角形外角或内角和性质即可快速求解，重点检验基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
这是等腰三角形性质的基础应用题，解题思路可分两步走：第一步，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出底角∠C的度数；第二步，根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，既可以先计算Rt△ADC中∠ADC的度数，再利用邻补角互补求∠ADB，也可以直接利用三角形外角的性质，直接求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
∴ $∠ B=∠ C$
∵ 三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=130°$
∴ $∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
∵ $DA⊥ AC$
∴ $∠ DAC=90°$
∵ $∠ ADB$是$△ ADC$的外角，三角形外角等于不相邻两个内角的和
∴ $∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础常规题，核心考察等腰三角形等边对等角性质的应用，结合垂直定义和三角形外角或内角和性质即可快速求解，重点检验基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,边$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$.若$∠ B=50°$,则$∠ CAD$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和先求出顶角∠BAC的度数；②再根据ED是AB的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B；最后用∠BAC减去∠BAD即可得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-50°=80°$，
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD=BD，
∴$∠ BAD=∠ B=50°$，
∴$∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=80°-50°=30°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查等腰三角形和垂直平分线的相关性质，解题关键是熟练掌握对应性质并灵活运用，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和先求出顶角∠BAC的度数；②再根据ED是AB的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AD=BD，进而推出∠BAD=∠B；最后用∠BAC减去∠BAD即可得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-50°=80°$，
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD=BD，
∴$∠ BAD=∠ B=50°$，
∴$∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=80°-50°=30°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查等腰三角形和垂直平分线的相关性质，解题关键是熟练掌握对应性质并灵活运用，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$,则下列结论中错误的是（
A.$AD⊥ BC$
B.$BD=CD$
C.$DE=DF$
D.$AD=BC$
D
）A.$AD⊥ BC$
B.$BD=CD$
C.$DE=DF$
D.$AD=BC$
答案
4.D
解析
【分析】
首先由已知$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是顶角$∠ BAC$的平分线，我们可以结合等腰三角形“三线合一”的性质判断A、B选项是否正确；再根据角平分线的性质判断C选项；最后分析$AD$和$BC$的长度关系，判断D选项是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
$\because AD$平分$∠ BAC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$AD⊥ BC$，$BD=CD$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
又$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DF$，故C选项结论正确，不符合题意；
$AD$是等腰三角形底边上的高，其长度与底边$BC$没有必然相等的关系，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要围绕等腰三角形和角平分线的性质设题，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用判断。
【难度系数】
0.8
首先由已知$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是顶角$∠ BAC$的平分线，我们可以结合等腰三角形“三线合一”的性质判断A、B选项是否正确；再根据角平分线的性质判断C选项；最后分析$AD$和$BC$的长度关系，判断D选项是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
$\because AD$平分$∠ BAC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$AD⊥ BC$，$BD=CD$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
又$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DF$，故C选项结论正确，不符合题意；
$AD$是等腰三角形底边上的高，其长度与底边$BC$没有必然相等的关系，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要围绕等腰三角形和角平分线的性质设题，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用判断。
【难度系数】
0.8
5.如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠BAD=24°，则∠ABE的度数为（
A.$31°$
B.$32°$
C.$33°$
D.$36°$
C
）A.$31°$
B.$32°$
C.$33°$
D.$36°$
答案
5.C
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的角平分线，可先求出∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后利用BE是角平分线的性质，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠BAC=2∠BAD=2×24°=48°
∵△ABC中AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
又
∵三角形内角和为180°
∴∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=(180°-48°)÷2=66°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×66°=33°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质建立已知角和顶角的关联，再结合角平分线的定义逐步推导所求角度，解题时要注意等腰三角形边角关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的角平分线，可先求出∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后利用BE是角平分线的性质，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠BAC=2∠BAD=2×24°=48°
∵△ABC中AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
又
∵三角形内角和为180°
∴∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=(180°-48°)÷2=66°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×66°=33°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质建立已知角和顶角的关联，再结合角平分线的定义逐步推导所求角度，解题时要注意等腰三角形边角关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40°$,按如下步骤作图:①以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$BA$,$BC$于点$D$,$E$;②分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$长为半径画弧,两弧在$∠ ABC$的内部相交于点$F$,作射线$BF$交$AC$于点$G$,则$∠ ABG$的大小为
35°
。答案
6.35°
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为180°，可以先求出底角∠ABC的度数。再识别题中的作图步骤是尺规作角平分线的标准操作，可知射线BG平分∠ABC，因此∠ABG的大小为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，∠A=40°，可得：
∠ABC=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
由题中的作图步骤可知，BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=½∠ABC=½×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形的性质和角平分线的尺规作图结合考查，解题的关键是正确识别作图的含义，熟练掌握等腰三角形的角度计算方法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=AC，判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为180°，可以先求出底角∠ABC的度数。再识别题中的作图步骤是尺规作角平分线的标准操作，可知射线BG平分∠ABC，因此∠ABG的大小为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，∠A=40°，可得：
∠ABC=(180°-∠A)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
由题中的作图步骤可知，BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=½∠ABC=½×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形的性质和角平分线的尺规作图结合考查，解题的关键是正确识别作图的含义，熟练掌握等腰三角形的角度计算方法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
