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6.已知直线$l$和$△ ABC$,在下面的各图中,分别作出$△ A'B'C'$,使$△ A'B'C'$和$△ ABC$关于直线$l$对称.
答案
解：
作法：
1. 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'：
过三角形的每个顶点作直线l的垂线，确定垂足后，在直线l的另一侧垂线上，截取线段长度等于原顶点到垂足的距离，得到对应对称点；若顶点在直线l上，则该点的对称点与自身重合。
2. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得的△A'B'C'即为所求的与△ABC关于直线l对称的三角形。
作法：
1. 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'：
过三角形的每个顶点作直线l的垂线，确定垂足后，在直线l的另一侧垂线上，截取线段长度等于原顶点到垂足的距离，得到对应对称点；若顶点在直线l上，则该点的对称点与自身重合。
2. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得的△A'B'C'即为所求的与△ABC关于直线l对称的三角形。
解析
【分析】
要画出与△ABC关于直线l对称的三角形，首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分。由于三角形由三个顶点唯一确定，因此只需要先找到A、B、C三个顶点关于直线l的对称点，再依次连接三个对称点就能得到所求图形。找对称点时遵循“作垂线、截等长”的步骤即可，若顶点本身在直线l上，它的对称点就是自身，不需要额外操作。
【解析】
1. 作各顶点的对称点：
分别过点A、B、C作直线l的垂线，标记垂足后，在直线l另一侧的垂线上截取线段，使截取的线段长度等于该顶点到对应垂足的距离，即可得到对应对称点A'、B'、C'；如果某顶点在直线l上，该点的对称点与自身重合。
2. 连接对称点：
按顺序连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的三角形就是所求的对称三角形。
【答案】
作法：
1. 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'：
过三角形的每个顶点作直线l的垂线，确定垂足后，在直线l的另一侧垂线上，截取线段长度等于原顶点到垂足的距离，得到对应对称点；若顶点在直线l上，则该点的对称点与自身重合。
2. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得的△A'B'C'即为所求的与△ABC关于直线l对称的三角形。
【知识点】
轴对称的性质、作轴对称图形、对称点的作法
【点评】
本题属于基础操作类题目，核心考查轴对称性质的应用和基本作图能力，掌握对称点的作图方法是解题的关键，也是后续解决轴对称相关作图、计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
要画出与△ABC关于直线l对称的三角形，首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分。由于三角形由三个顶点唯一确定，因此只需要先找到A、B、C三个顶点关于直线l的对称点，再依次连接三个对称点就能得到所求图形。找对称点时遵循“作垂线、截等长”的步骤即可，若顶点本身在直线l上，它的对称点就是自身，不需要额外操作。
【解析】
1. 作各顶点的对称点：
分别过点A、B、C作直线l的垂线，标记垂足后，在直线l另一侧的垂线上截取线段，使截取的线段长度等于该顶点到对应垂足的距离，即可得到对应对称点A'、B'、C'；如果某顶点在直线l上，该点的对称点与自身重合。
2. 连接对称点：
按顺序连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的三角形就是所求的对称三角形。
【答案】
作法：
1. 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'：
过三角形的每个顶点作直线l的垂线，确定垂足后，在直线l的另一侧垂线上，截取线段长度等于原顶点到垂足的距离，得到对应对称点；若顶点在直线l上，则该点的对称点与自身重合。
2. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得的△A'B'C'即为所求的与△ABC关于直线l对称的三角形。
【知识点】
轴对称的性质、作轴对称图形、对称点的作法
【点评】
本题属于基础操作类题目，核心考查轴对称性质的应用和基本作图能力，掌握对称点的作图方法是解题的关键，也是后续解决轴对称相关作图、计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
7.如图,在小正方形网格中,已知△ABC是一个格点三角形(顶点为网格线的交点),DE是一条格点线段(端点为网格线的交点),l是过格点的直线.
(1)画出△ABC关于直线l成轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)将线段DE进行平移后,使点D的对应点D₁与点B₁重合,画出平移后的线段D₁E₁;
(3)直接写出∠C₁B₁E₁的度数:
(1)画出△ABC关于直线l成轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)将线段DE进行平移后,使点D的对应点D₁与点B₁重合,画出平移后的线段D₁E₁;
(3)直接写出∠C₁B₁E₁的度数:
45°
.答案
7.(1)略 (2)略 (3)45°
解析
【分析】
1. 作轴对称图形：根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，所以先找到△ABC三个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接对称点就能得到△A₁B₁C₁。
2. 平移作图：平移时所有对应点的平移方向、平移距离完全一致，先确定点D移动到B₁的平移规律，再将点E按相同规律平移得到E₁，连接B₁（即D₁）和E₁即可。
3. 求角度：设每个小正方形边长为1，用勾股定理计算△B₁C₁E₁三边的长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，结合等腰直角三角形的性质就能得到所求角的度数。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作直线l的垂线，在垂线另一侧截取与原顶点到直线l距离相等的线段，得到对应点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定点D平移到B₁的横向、纵向移动格数，将点E按相同的方向和格数平移得到E₁，连接B₁和E₁，得到平移后的线段D₁E₁。
(3) 设小正方形边长为1，由勾股定理计算得：
$B_1C_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$C_1E_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$B_1E_1=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
则$B_1C_1^2 + C_1E_1^2=5+5=10=B_1E_1^2$，且$B_1C_1=C_1E_1$，因此$△ B_1C_1E_1$是等腰直角三角形，$∠ B_1C_1E_1=90°$，所以$∠ C_1B_1E_1=45°$。
【答案】
(1) 略 (2) 略 (3) $45°$
【知识点】
轴对称作图，平移的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是几何作图与计算结合的基础题型，既考查了轴对称、平移变换的作图能力，也考查了勾股定理及逆定理的应用，需要熟练掌握图形变换的性质和格点中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.7
1. 作轴对称图形：根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，所以先找到△ABC三个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接对称点就能得到△A₁B₁C₁。
2. 平移作图：平移时所有对应点的平移方向、平移距离完全一致，先确定点D移动到B₁的平移规律，再将点E按相同规律平移得到E₁，连接B₁（即D₁）和E₁即可。
3. 求角度：设每个小正方形边长为1，用勾股定理计算△B₁C₁E₁三边的长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，结合等腰直角三角形的性质就能得到所求角的度数。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作直线l的垂线，在垂线另一侧截取与原顶点到直线l距离相等的线段，得到对应点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定点D平移到B₁的横向、纵向移动格数，将点E按相同的方向和格数平移得到E₁，连接B₁和E₁，得到平移后的线段D₁E₁。
(3) 设小正方形边长为1，由勾股定理计算得：
$B_1C_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$C_1E_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$B_1E_1=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
则$B_1C_1^2 + C_1E_1^2=5+5=10=B_1E_1^2$，且$B_1C_1=C_1E_1$，因此$△ B_1C_1E_1$是等腰直角三角形，$∠ B_1C_1E_1=90°$，所以$∠ C_1B_1E_1=45°$。
【答案】
(1) 略 (2) 略 (3) $45°$
【知识点】
轴对称作图，平移的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是几何作图与计算结合的基础题型，既考查了轴对称、平移变换的作图能力，也考查了勾股定理及逆定理的应用，需要熟练掌握图形变换的性质和格点中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$6×7$的正方形网格纸中,每个小正方形的边长均为 第7题图
1,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中$△ ABC$是一个格点三角形,请分别按要求在网格中作图.
(1)在图1中,点D,E都是格点,作出$△ DEF$,使它与$△ ABC$全等;
(2)在图2中,点M是格点,作出$△ MGH$,使$△ MGH$与$△ ABC$关于某条直线对称;
(3)在图3中,点N是格点,作出$△ NPQ$,使$△ NPQ$与$△ ABC$关于某条直线对称,其中点A的对称点是点N.
1,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中$△ ABC$是一个格点三角形,请分别按要求在网格中作图.
(1)在图1中,点D,E都是格点,作出$△ DEF$,使它与$△ ABC$全等;
(2)在图2中,点M是格点,作出$△ MGH$,使$△ MGH$与$△ ABC$关于某条直线对称;
(3)在图3中,点N是格点,作出$△ NPQ$,使$△ NPQ$与$△ ABC$关于某条直线对称,其中点A的对称点是点N.
答案
8.如图所示：
解析
【分析】
(1) 要作与△ABC全等的△DEF，可依据全等三角形“SSS”判定定理，先确定△ABC各边的长度，再结合D、E的位置，找到格点F使△DEF三边与△ABC三边对应相等即可。
(2) 要作与△ABC关于某条直线对称的△MGH，依据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，先结合M与A的位置确定对称轴，再找到B、C关于对称轴的对称点G、H，顺次连接即可。
(3) 已知点A的对称点是N，首先确定对称轴为线段AN的垂直平分线，再找到B、C关于这条对称轴的对称点P、Q，顺次连接N、P、Q即可得到所求三角形。
【解析】
(1) ①先通过数格点计算△ABC三边长：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
②观察可得DE长度为$\sqrt{5}$，与AB长度相等，找到符合条件的格点F，使$EF=\sqrt{10}$、$DF=\sqrt{13}$，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求。
(2) ①观察点A和点M的位置，选取二者中间的竖直格线$l$为对称轴；
②分别作出点B关于直线$l$的对称点H，点C关于直线$l$的对称点G；
③顺次连接M、G、H，得到的△MGH即为所求。
(3) ①连接AN，作AN的垂直平分线作为对称轴；
②分别作出点C关于该对称轴的对称点P，点B关于该对称轴的对称点Q；
③顺次连接N、P、Q，得到的△NPQ即为所求。
【答案】
如图所示：
【知识点】
全等三角形的判定；轴对称的性质；画轴对称图形
【点评】
本题是格点作图类基础题，需要结合网格的特点，运用全等判定和轴对称的性质确定对应点的位置，能够有效锻炼动手操作能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要作与△ABC全等的△DEF，可依据全等三角形“SSS”判定定理，先确定△ABC各边的长度，再结合D、E的位置，找到格点F使△DEF三边与△ABC三边对应相等即可。
(2) 要作与△ABC关于某条直线对称的△MGH，依据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，先结合M与A的位置确定对称轴，再找到B、C关于对称轴的对称点G、H，顺次连接即可。
(3) 已知点A的对称点是N，首先确定对称轴为线段AN的垂直平分线，再找到B、C关于这条对称轴的对称点P、Q，顺次连接N、P、Q即可得到所求三角形。
【解析】
(1) ①先通过数格点计算△ABC三边长：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
②观察可得DE长度为$\sqrt{5}$，与AB长度相等，找到符合条件的格点F，使$EF=\sqrt{10}$、$DF=\sqrt{13}$，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求。
(2) ①观察点A和点M的位置，选取二者中间的竖直格线$l$为对称轴；
②分别作出点B关于直线$l$的对称点H，点C关于直线$l$的对称点G；
③顺次连接M、G、H，得到的△MGH即为所求。
(3) ①连接AN，作AN的垂直平分线作为对称轴；
②分别作出点C关于该对称轴的对称点P，点B关于该对称轴的对称点Q；
③顺次连接N、P、Q，得到的△NPQ即为所求。
【答案】
如图所示：
【知识点】
全等三角形的判定；轴对称的性质；画轴对称图形
【点评】
本题是格点作图类基础题，需要结合网格的特点，运用全等判定和轴对称的性质确定对应点的位置，能够有效锻炼动手操作能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.8
