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14.学校手工社团计划用一块边长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的正方形纸板制作一个无盖的长方体包装盒(纸板厚度忽略不计),用来展示社团成员的手工作品.制作方法是将该纸板的四个角各剪掉一个面积相等的小正方形,已知小正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(1)若要在这个长方体包装盒的外表面贴上一层装饰纸(不包括剪掉的小正方形部分),求装饰纸的面积;
(2)求长方体盒子的体积.
(1)若要在这个长方体包装盒的外表面贴上一层装饰纸(不包括剪掉的小正方形部分),求装饰纸的面积;
(2)求长方体盒子的体积.
答案
14.(1)装饰纸的面积为96 $\mathrm{cm^2}$.
(2)长方体盒子的体积为$48\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}$.
(2)长方体盒子的体积为$48\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}$.
15. 已知 $ a=\frac{1}{2+\sqrt{3}} $，求 $ 2a^2 - 8a + 1 $ 的值. 小南是这样分析的：
∵ $ a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3} $，
∴ $ a-2=-\sqrt{3} $，∴ $ (a-2)^2=3 $，$ a^2 - 4a + 4=3 $，∴ $ a^2 - 4a=-1 $，
∴ $ 2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a)+1=2×(-1)+1=-1 $.
请你根据小南的分析过程，解决如下问题：
(1) 化简 $ a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}= $
(2) 已知 $ a=\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}} $，求 $ (2a+1)^2 $ 的值.
∵ $ a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3} $，
∴ $ a-2=-\sqrt{3} $，∴ $ (a-2)^2=3 $，$ a^2 - 4a + 4=3 $，∴ $ a^2 - 4a=-1 $，
∴ $ 2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a)+1=2×(-1)+1=-1 $.
请你根据小南的分析过程，解决如下问题：
(1) 化简 $ a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}= $
$\sqrt{2}+1$
.(2) 已知 $ a=\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}} $，求 $ (2a+1)^2 $ 的值.
答案
15.(1)$\sqrt{2}+1$ (2)2025
