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14.如图,某单位要在河岸$l$上建一个水泵房引水到$C$处,他们的做法是:过点$C$作$CD⊥l$于点$D$,将水泵房建在了$D$处.这样做最节省水管长度,其数学道理是
垂线段最短
.答案
14.垂线段最短
[解析]本题考查了点到直线的距离，根据垂线段的性质求解即可.
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
∴其数学道理是垂线段最短.
方法诠释 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
[解析]本题考查了点到直线的距离，根据垂线段的性质求解即可.
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
∴其数学道理是垂线段最短.
方法诠释 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
解析
【分析】
要在河岸l上建水泵房引水到C处，最节省水管长度本质是找直线l上的点到直线外一点C的最短连线。回忆点与直线连线的相关性质可知：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段的长度最短，因此过C作l的垂线段CD，垂足D就是最短距离对应的点，即可推导得出对应的数学原理。
【解析】
要节省水管长度，需要找到直线l上到点C距离最短的点。
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
本题中点C是直线l外的点，CD⊥l，说明CD是点C到直线l的垂线段，是所有连接C与直线l上点的线段中长度最短的，因此将水泵房建在D处最节省水管长度。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 点到直线的距离
【点评】
本题是几何基础性质的实际应用类题目，解题关键是将“节省水管长度”的实际需求转化为找最短距离的几何问题，对应垂线段最短的性质即可求解，题目贴近生活，能够很好地考查对基础几何性质的理解和应用意识。
【难度系数】
0.9
要在河岸l上建水泵房引水到C处，最节省水管长度本质是找直线l上的点到直线外一点C的最短连线。回忆点与直线连线的相关性质可知：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段的长度最短，因此过C作l的垂线段CD，垂足D就是最短距离对应的点，即可推导得出对应的数学原理。
【解析】
要节省水管长度，需要找到直线l上到点C距离最短的点。
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
本题中点C是直线l外的点，CD⊥l，说明CD是点C到直线l的垂线段，是所有连接C与直线l上点的线段中长度最短的，因此将水泵房建在D处最节省水管长度。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 点到直线的距离
【点评】
本题是几何基础性质的实际应用类题目，解题关键是将“节省水管长度”的实际需求转化为找最短距离的几何问题，对应垂线段最短的性质即可求解，题目贴近生活，能够很好地考查对基础几何性质的理解和应用意识。
【难度系数】
0.9
15. 跨学科 光的折射 当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了变化,在物理学中这种现象叫作光的折射,如图,AB与CD相交于水平面点F,一束光线沿CD射入水面,在点F处发生折射,沿FE射入水内.如果∠1=50°,∠2=36°,则光的传播方向改变了
14°
.答案
15.14°
解析
【分析】
解题时首先要明确光线传播方向改变的角度的含义：光线原本沿CD传播，若不发生折射，向下传播时与竖直直线AB的夹角与∠1是对顶角，大小相等；发生折射后沿FE传播，与AB的夹角为∠2，传播方向改变的角度就是这两个角的差值。因此先利用对顶角相等求出原传播方向与AB的夹角，再减去折射后的夹角∠2即可。
【解析】
∵ ∠1与∠BFD是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ ∠BFD = ∠1 = 50°，
已知折射后光线FE与AB的夹角∠2=36°，
则光的传播方向改变的角度为：∠BFD - ∠2 = 50° - 36° = 14°。
【答案】
14°
【知识点】
对顶角相等、角的和差计算
【点评】
本题结合物理光的折射的生活场景，考查基础的角度计算和相交线的性质，将数学知识和物理现象结合，能锻炼学生跨学科知识运用的能力，解题的关键是找准传播方向改变对应的角度差。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确光线传播方向改变的角度的含义：光线原本沿CD传播，若不发生折射，向下传播时与竖直直线AB的夹角与∠1是对顶角，大小相等；发生折射后沿FE传播，与AB的夹角为∠2，传播方向改变的角度就是这两个角的差值。因此先利用对顶角相等求出原传播方向与AB的夹角，再减去折射后的夹角∠2即可。
【解析】
∵ ∠1与∠BFD是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ ∠BFD = ∠1 = 50°，
已知折射后光线FE与AB的夹角∠2=36°，
则光的传播方向改变的角度为：∠BFD - ∠2 = 50° - 36° = 14°。
【答案】
14°
【知识点】
对顶角相等、角的和差计算
【点评】
本题结合物理光的折射的生活场景，考查基础的角度计算和相交线的性质，将数学知识和物理现象结合，能锻炼学生跨学科知识运用的能力，解题的关键是找准传播方向改变对应的角度差。
【难度系数】
0.75
16. 如图，$OA⊥OB$，直线$CD$过点$O$，且$∠AOC=55°$，则$∠DOB=$
145°
。答案
16.145°
解析
【分析】
解题首先利用垂直的定义得到∠AOB=90°，结合已知∠AOC=55°，可先计算出∠BOC的度数；再根据直线CD过点O可知∠COD是平角，即180°，最后利用∠DOB与∠BOC互补，就能求出∠DOB的度数。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB = 90°（垂直的定义），
又
∵ ∠AOC = 55°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°，
∵ 直线CD经过点O，
∴ ∠COD = 180°（平角的定义），
∴ ∠DOB = ∠COD - ∠BOC = 180° - 35° = 145°。
【答案】
145°
【知识点】
垂直的定义、平角的定义、角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直、平角的性质逐步推导，计算时注意不要混淆角的和差关系即可。
【难度系数】
0.85
解题首先利用垂直的定义得到∠AOB=90°，结合已知∠AOC=55°，可先计算出∠BOC的度数；再根据直线CD过点O可知∠COD是平角，即180°，最后利用∠DOB与∠BOC互补，就能求出∠DOB的度数。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB = 90°（垂直的定义），
又
∵ ∠AOC = 55°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 55° = 35°，
∵ 直线CD经过点O，
∴ ∠COD = 180°（平角的定义），
∴ ∠DOB = ∠COD - ∠BOC = 180° - 35° = 145°。
【答案】
145°
【知识点】
垂直的定义、平角的定义、角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直、平角的性质逐步推导，计算时注意不要混淆角的和差关系即可。
【难度系数】
0.85
17.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若$∠ AOD = 145°$，则$∠ BOC =$
35°
。答案
17.35°
解析
【分析】
首先明确三角板的两个顶角均为直角，即$∠ AOB=∠ COD=90°$。要求$∠ BOC$的度数，可以先通过已知的$∠ AOD$和$∠ AOB$的度数求出$∠ BOD$的度数，再用$∠ COD$减去$∠ BOD$得到结果；也可以直接利用两个直角的和与$∠ AOD$、$∠ BOC$的和相等的关系直接计算，两种方法均围绕角的和差关系展开。
【解析】
解：根据三角板的性质可得$∠ AOB=∠ COD=90°$。
已知$∠ AOD=145°$，先求$∠ BOD$的度数：
$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB=145°-90°=55°$
再求$∠ BOC$的度数：
$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=90°-55°=35°$
（也可直接推导：$∠ AOB+∠ COD=∠ AOD+∠ BOC$，代入得$∠ BOC=90°+90°-145°=35°$）
【答案】
$35°$
【知识点】
角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题关键是掌握直角的度数，理清图形中各角的和差关系，计算难度低，只要找准角的数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先明确三角板的两个顶角均为直角，即$∠ AOB=∠ COD=90°$。要求$∠ BOC$的度数，可以先通过已知的$∠ AOD$和$∠ AOB$的度数求出$∠ BOD$的度数，再用$∠ COD$减去$∠ BOD$得到结果；也可以直接利用两个直角的和与$∠ AOD$、$∠ BOC$的和相等的关系直接计算，两种方法均围绕角的和差关系展开。
【解析】
解：根据三角板的性质可得$∠ AOB=∠ COD=90°$。
已知$∠ AOD=145°$，先求$∠ BOD$的度数：
$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB=145°-90°=55°$
再求$∠ BOC$的度数：
$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=90°-55°=35°$
（也可直接推导：$∠ AOB+∠ COD=∠ AOD+∠ BOC$，代入得$∠ BOC=90°+90°-145°=35°$）
【答案】
$35°$
【知识点】
角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题关键是掌握直角的度数，理清图形中各角的和差关系，计算难度低，只要找准角的数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
18. 如图是一回形图,其回形通道的宽和OB的长均为1,回形线与射线OA交于点$A_1$、点$A_2$、点$A_3$、….若从点O到点$A_1$的回形线为第1圈(长为7),从点$A_1$到点$A_2$的回形线为第2圈,…,依此类推,则第10圈的长为
79
.答案
18.79
解析
【分析】
解决本题首先从已知的第1圈长度入手，先计算第2圈、第3圈的长度，观察相邻两圈的长度差，总结出第n圈长度的通用规律，最后代入n=10计算即可。观察回形图可知，通道宽为1，每向外延伸一圈，回形线的周长相比内圈会增加8个单位长度，据此可推导圈数和长度的对应关系。
【解析】
已知第1圈的长为7，
第2圈的长为：$7 + 8 = 15$，
第3圈的长为：$15 + 8 = 23$，
由此归纳得规律：第$n$圈的长为$8n - 1$，
当$n=10$时，第10圈的长为$8×10 - 1 = 79$。
【答案】
79
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要学生通过观察图形特征和已知数据归纳出通用规律，再代入数值计算，较好地考查了观察、归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先从已知的第1圈长度入手，先计算第2圈、第3圈的长度，观察相邻两圈的长度差，总结出第n圈长度的通用规律，最后代入n=10计算即可。观察回形图可知，通道宽为1，每向外延伸一圈，回形线的周长相比内圈会增加8个单位长度，据此可推导圈数和长度的对应关系。
【解析】
已知第1圈的长为7，
第2圈的长为：$7 + 8 = 15$，
第3圈的长为：$15 + 8 = 23$，
由此归纳得规律：第$n$圈的长为$8n - 1$，
当$n=10$时，第10圈的长为$8×10 - 1 = 79$。
【答案】
79
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要学生通过观察图形特征和已知数据归纳出通用规律，再代入数值计算，较好地考查了观察、归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. 如图所示，直线AB表示一条公路所在的位置，点C，D表示公路两边的住宅小区。现在客运部门打算在公路旁设立一个公交站台P，并且使得该站台到两个小区的距离之和最短，那么这个站台的位置应该建在什么地方？请你在图上表示出来，并说明这样做的理由。
19. 如图所示，直线AB表示一条公路所在的位置，点C，D表示公路两边的住宅小区。现在客运部门打算在公路旁设立一个公交站台P，并且使得该站台到两个小区的距离之和最短，那么这个站台的位置应该建在什么地方？请你在图上表示出来，并说明这样做的理由。
答案
19. 如图,连接CD交AB于点P,则点P就是所求的站台位置.
理由:两点之间线段最短.
解析
【分析】
要在公路AB上找一点P使得P到C、D两个小区的距离之和最短，可结合线段的性质思考：两点之间的所有连线中，线段是最短的。因此只要连接C、D两点，线段CD与直线AB的交点就是满足条件的点P，此时PC+PD的长度等于线段CD的长度，是所有可能路径里最短的；若选择AB上其他任意一点，PC+PD的长度都会大于CD的长度，不满足最短的要求。
【解析】
解：作图步骤：
1. 用直尺连接点C和点D，得到线段CD；
2. 找到线段CD与直线AB的交点，将该点标记为P，点P即为所求的公交站台位置。
理由：两点之间，线段最短，此时PC+PD=CD，为距离之和的最小值。
【答案】
连接CD交AB于点P,则点P就是所求的站台位置。
理由:两点之间线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
这道题是几何性质在实际生活中的应用，将生活中的最短选址问题转化为几何线段性质的应用问题，只要掌握两点之间线段最短的基本性质，就能快速确定最短路径的位置。
【难度系数】
0.9
要在公路AB上找一点P使得P到C、D两个小区的距离之和最短，可结合线段的性质思考：两点之间的所有连线中，线段是最短的。因此只要连接C、D两点，线段CD与直线AB的交点就是满足条件的点P，此时PC+PD的长度等于线段CD的长度，是所有可能路径里最短的；若选择AB上其他任意一点，PC+PD的长度都会大于CD的长度，不满足最短的要求。
【解析】
解：作图步骤：
1. 用直尺连接点C和点D，得到线段CD；
2. 找到线段CD与直线AB的交点，将该点标记为P，点P即为所求的公交站台位置。
理由：两点之间，线段最短，此时PC+PD=CD，为距离之和的最小值。
【答案】
连接CD交AB于点P,则点P就是所求的站台位置。
理由:两点之间线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
这道题是几何性质在实际生活中的应用，将生活中的最短选址问题转化为几何线段性质的应用问题，只要掌握两点之间线段最短的基本性质，就能快速确定最短路径的位置。
【难度系数】
0.9
20.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠AOE，若∠DOF=50°，求∠AOG的度数.
答案
20. 因为∠DOF=50°,AB⊥CD，
所以∠AOF=90°−50°=40°.
所以∠AOE=180°−40°=140°.
因为OG平分∠AOE，
所以∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×140°=70°.
所以∠AOF=90°−50°=40°.
所以∠AOE=180°−40°=140°.
因为OG平分∠AOE，
所以∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×140°=70°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先由AB⊥CD可知AB与CD的夹角为90°，结合给出的∠DOF=50°，可先求出∠AOF的度数；其次∠AOE和∠AOF是邻补角，二者和为180°，即可求出∠AOE的度数；最后根据OG平分∠AOE，利用角平分线的性质就能算出∠AOG的度数。
【解析】
解：
∵∠DOF=50°，AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠AOD - ∠DOF = 90° - 50° = 40°，
∵∠AOE与∠AOF互为邻补角，
∴∠AOE=180° - ∠AOF = 180° - 40° = 140°，
又
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
垂直的性质，邻补角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，解题的关键是结合图形梳理清楚各个角之间的数量关系，按照已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先由AB⊥CD可知AB与CD的夹角为90°，结合给出的∠DOF=50°，可先求出∠AOF的度数；其次∠AOE和∠AOF是邻补角，二者和为180°，即可求出∠AOE的度数；最后根据OG平分∠AOE，利用角平分线的性质就能算出∠AOG的度数。
【解析】
解：
∵∠DOF=50°，AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOF=∠AOD - ∠DOF = 90° - 50° = 40°，
∵∠AOE与∠AOF互为邻补角，
∴∠AOE=180° - ∠AOF = 180° - 40° = 140°，
又
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
垂直的性质，邻补角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，解题的关键是结合图形梳理清楚各个角之间的数量关系，按照已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
21.若线段$AB=8$，在直线$AB$上取一点$P$，恰好使$\frac{AP}{PB}=3$，点$Q$为$PB$的中点，求线段$AQ$的长。
答案
21. 如图(1),当P在线段AB上时，
∵AB=8,$\frac{AP}{PB}=3$,
∴AP=6,PB=2.
∵点Q是PB的中点,
∴PQ=QB=1.
∴AQ=AB−BQ=8−1=7；
如图(2),当P在AB的延长线上时，
∵AB=8,$\frac{AP}{PB}=3$,
∴BP=8÷(3−1)=4.
∵点Q为PB的中点,
∴PQ=QB=2.
∴AQ=AB+BQ=8+2=10.
故线段AQ的长为7或10.
解析
【分析】
本题是直线上线段的长度计算问题，首先要注意“点P在直线AB上”这个条件，说明P的位置有两种可能：①在线段AB上；②在AB的延长线上，解题时需要分情况讨论，避免漏解。解题时先结合AB的长度和$\frac{AP}{PB}=3$的比例关系求出PB的长度，再根据线段中点的性质求出BQ的长度，最后利用线段的和差关系即可求出AQ的长度。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点P在线段AB上时，如图(1)：
已知$AB=8$，$\frac{AP}{PB}=3$，即$AP=3PB$，结合$AP+PB=AB$，可得$3PB+PB=8$，解得$PB=2$。
∵点Q为PB的中点，
∴$QB=\frac{1}{2}PB=1$，
∴$AQ=AB-BQ=8-1=7$。
2. 当点P在AB的延长线上时，如图(2)：
已知$AB=8$，$\frac{AP}{PB}=3$，即$AP=3PB$，结合$AP-PB=AB$，可得$3PB-PB=8$，解得$PB=4$。
∵点Q为PB的中点，
∴$QB=\frac{1}{2}PB=2$，
∴$AQ=AB+BQ=8+2=10$。
【答案】
线段AQ的长为7或10。
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略点P在AB延长线上的情况，遇到“直线上取点”类的线段计算问题时，要注意考虑点的所有可能位置，分类讨论避免漏解，结合比例关系和中点性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是直线上线段的长度计算问题，首先要注意“点P在直线AB上”这个条件，说明P的位置有两种可能：①在线段AB上；②在AB的延长线上，解题时需要分情况讨论，避免漏解。解题时先结合AB的长度和$\frac{AP}{PB}=3$的比例关系求出PB的长度，再根据线段中点的性质求出BQ的长度，最后利用线段的和差关系即可求出AQ的长度。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点P在线段AB上时，如图(1)：
已知$AB=8$，$\frac{AP}{PB}=3$，即$AP=3PB$，结合$AP+PB=AB$，可得$3PB+PB=8$，解得$PB=2$。
∵点Q为PB的中点，
∴$QB=\frac{1}{2}PB=1$，
∴$AQ=AB-BQ=8-1=7$。
2. 当点P在AB的延长线上时，如图(2)：
已知$AB=8$，$\frac{AP}{PB}=3$，即$AP=3PB$，结合$AP-PB=AB$，可得$3PB-PB=8$，解得$PB=4$。
∵点Q为PB的中点，
∴$QB=\frac{1}{2}PB=2$，
∴$AQ=AB+BQ=8+2=10$。
【答案】
线段AQ的长为7或10。
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略点P在AB延长线上的情况，遇到“直线上取点”类的线段计算问题时，要注意考虑点的所有可能位置，分类讨论避免漏解，结合比例关系和中点性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
