22. (1)如图(1)，$AB// CD$，$∠1=∠2$，试说明$PB// CM$.
(2)如图(2)，$AB// CD$，直接写出$∠ B$，$∠ D$，$∠ E$，$∠ F$，$∠ G$之间的数量关系.

22. (1)如图(1),连接BC.

∵AB//CD,
∴∠ABC=∠BCD,
∴∠1+∠PBC=∠2+∠BCM.
∵∠1=∠2,
∴∠PBC=∠BCM,
∴PB//CM.
(2)$∠B+∠F+∠D=∠E+∠G$.理由如下:
如图(2),过点E作EP//AB,过点F作FH//EP,过点G作GT//CD,
∴AB//EP//FH//GT//CD,
∴∠B=∠BEP,∠PEF=∠EFH,
∠HFG=∠FGT,∠TGD=∠D,
∴∠BEF=∠BEP+∠FEP=∠B+∠EFH,
∠FGD=∠FGT+∠DGT=∠HFG+∠D,
∴∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFH+∠HFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D.
即$∠B+∠F+∠D=∠E+∠G$.

【分析】
(1) 要证$PB// CM$，根据平行线判定定理，只需证两条直线被第三条直线所截的内错角相等即可。已知$AB// CD$，我们可以连接BC，先利用平行线的性质得到$∠ ABC=∠ BCD$，再结合已知$∠1=∠2$，通过等式性质推出$∠ PBC=∠ BCM$，即可判定$PB// CM$。
(2) 多拐点的平行线问题，常用解法是过每个拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论得到多条平行线互相平行，再结合“两直线平行，内错角相等”的性质拆分各个角，整理后即可得到角的数量关系。
【解析】
(1) 如图(1)，连接BC。

$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
即$∠1+∠ PBC=∠2+∠ BCM$。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠ PBC=∠ BCM$（等式的性质），
$\therefore PB// CM$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 数量关系推导如下：
如图(2)，过点E作$EP// AB$，过点F作$FH// EP$，过点G作$GT// CD$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EP// FH// GT// CD$（平行于同一条直线的多条直线互相平行），
$\therefore ∠ B=∠ BEP$，$∠ PEF=∠ EFH$，$∠ HFG=∠ FGT$，$∠ TGD=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BEF=∠ BEP+∠ FEP=∠ B+∠ EFH$，
$∠ FGD=∠ FGT+∠ DGT=∠ HFG+∠ D$，
两式相加得：$∠ BEF+∠ FGD=∠ B+∠ EFH+∠ HFG+∠ D$，
又$\because ∠ EFH+∠ HFG=∠ EFG$，
$\therefore ∠ B+∠ F+∠ D=∠ E+∠ G$。

【答案】
(1) $PB// CM$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ B+∠ F+∠ D=∠ E+∠ G}$


【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用题型，第一问通过连线构造内错角完成证明，第二问的多拐点问题通过作平行线转化为基础的内错角模型求解，熟练掌握辅助线的构造方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

23. 中考新考法 满足条件的结论开放 已知如图(1), O是直线AB上的一点,∠COD=90°,OE平分∠BOC.

[观察计算](1)如图(1),当∠AOC=30°,求∠DOE的度数;
[类比猜想](2)在图(1)中,当∠AOC=α(0°＜α＜180°),试猜想∠DOE的度数(用含α的代数式表示),并证明你的猜想;
[拓展探究](3)将∠DOC绕着顶点O顺时针旋转到如图(2)的位置,探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.

23. (1)
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠BOC=180°−∠AOC.
∵OE平分∠BOC,
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC)=90°−$\frac{1}{2}$∠AOC.
∴∠DOE = ∠COD − ∠COE = 90° − ( 90° − $\frac{1}{2}$∠AOC )=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°.
(2)猜想:$∠DOE=\frac{1}{2}α$.证明如下:
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠BOC=180°−∠AOC.
∵OE平分∠BOC,
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC)=90°−$\frac{1}{2}$∠AOC.
∴∠DOE = ∠COD − ∠COE = 90° − ( 90° − $\frac{1}{2}$∠AOC )=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}α$.
(3)$∠AOC=2∠DOE$.理由如下:
∵OE平分∠BOC,
∴∠BOC=2∠COE.
∵∠AOC=180°−∠BOC,
∴∠AOC=180°−2∠COE.
∵∠COE=∠COD−∠DOE=90°−∠DOE,
∴∠AOC=180°−2(90°−∠DOE)=2∠DOE.

【分析】
(1) 首先利用直线上的平角性质，已知∠AOC的度数可先求出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义得到∠COE的度数；最后结合∠COD=90°，通过角的差运算即可求出∠DOE的度数。
(2) 类比第一问的推导思路，将∠AOC的具体数值替换为字母α，按照完全相同的逻辑推导，就能得到用α表示的∠DOE的表达式。
(3) 旋转后依然先利用角平分线的性质得到∠BOC和∠COE的关系，再结合平角180°建立∠AOC和∠COE的联系；最后根据∠COD=90°，把∠COE转化为用∠DOE表示的形式，代入推导即可得到∠AOC和∠DOE的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°−∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=90°-\frac{1}{2}∠ AOC$，
∴$∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = 90° - ( 90° - \frac{1}{2}∠ AOC )=\frac{1}{2}∠ AOC$，
当∠AOC=30°时，$∠ DOE=\frac{1}{2}×30°=15°$。
(2) 猜想：$∠ DOE=\frac{1}{2}α$。证明如下：
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°−∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=90°-\frac{1}{2}∠ AOC$，
∴$∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = 90° - ( 90° - \frac{1}{2}∠ AOC )=\frac{1}{2}∠ AOC$，
∵∠AOC=α，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}α$。
(3) 结论：$∠ AOC=2∠ DOE$。理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE，
∵∠AOC=180°−∠BOC，
∴∠AOC=180°−2∠COE，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠COD−∠DOE=90°−∠DOE，
∴∠AOC=180°−2(90°−∠DOE)=2∠DOE。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) $\boxed{∠DOE=\frac{1}{2}α}$
(3) $\boxed{∠AOC=2∠DOE}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角度探究类的结论开放题，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，需要熟练运用平角、角平分线的性质，结合角的和差关系逐步推导，能够有效锻炼逻辑推理能力和几何探究思维。
【难度系数】
0.6

24. 如图，数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,－4，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。

(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是。
(2)另一动点R从B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度。

24. (1)1
[解析]因为A,B表示的数分别为6,−4,又PA=PB,
所以点P表示的数是(6−4)÷2=1.
(2)设点P运动x秒时,在点C处追上点R,
则AC=6x,BC=4x,AB=10.
因为AC−BC=AB,
所以6x−4x=10,解得x=5.
所以点P运动5秒时,追上点R.
(3)线段MN的长度不发生变化.理由如下:
分两种情况:
①当点P在点A,B之间运动时(如图(1)),

MN=MP+NP=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP+BP)=$\frac{1}{2}$AB=5；
②当点P运动到点B左侧时(如图(2)),

MN=PM−PN=$\frac{1}{2}$AP−$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP−BP)=$\frac{1}{2}$AB=5.
综上所述,线段MN的长度不发生变化,其长度为5.

【分析】
(1) 由PA=PB可知点P是线段AB的中点，已知数轴上A、B对应的数，直接计算两数的平均数即可得到P对应的数；
(2) 本题为追及问题，追及的路程差为AB的总长度，设运动时间为x秒，根据P比R多走的路程等于AB的长度列方程求解即可；
(3) 分两种情况讨论：①点P在A、B之间运动；②点P运动到B点左侧。利用线段中点的性质，将MN的长度转化为与AB长度相关的表达式，即可判断MN是否变化。
【解析】
(1)
∵点A、B表示的数分别为6、-4，且PA=PB，
∴点P是AB的中点，对应的数为$\frac{6+(-4)}{2}=1$。
(2) 设点P运动x秒时追上点R。
由题意得，AB的长度为$6-(-4)=10$，x秒内P运动的路程为$6x$，R运动的路程为$4x$，追上时P比R多走AB的长度，因此列方程：
$6x-4x=10$
解得$x=5$。
(3) 线段MN的长度不发生变化，理由如下：
①当点P在点A、B之间运动时（如图(1)）：

∵M为AP的中点，N为PB的中点，
∴$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$，
∴$MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=5$；
②当点P运动到点B左侧时（如图(2)）：

∵M为AP的中点，N为PB的中点，
∴$PM=\frac{1}{2}AP$，$PN=\frac{1}{2}BP$，
∴$MN=PM-PN=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=5$。
综上，线段MN的长度始终为5，不发生变化。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{5}$秒
(3) 线段MN的长度不发生变化，长度为$\boxed{5}$，对应图形如下：


【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程的应用；线段中点的性质
【点评】
本题是数轴与线段结合的经典动点题型，融合了追及问题、中点性质的应用，渗透了分类讨论和数形结合的思想，有助于提升综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6