1[中]一次函数$y=ax+b$与$y=abx$在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是（）

1. D 【解析】当 $ab＞0$ 时, $a,b$ 同号, $y=abx$ 的图象经过第一、三象限, $a,b$ 同正时, $y=ax+b$ 的图象经过第一、二、三象限; $a,b$ 同负时, $y=ax+b$ 的图象经过第二、三、四象限; 当 $ab＜0$ 时, $a,b$ 异号, $y=abx$ 的图象经过第二、四象限, $a＜0,b＞0$ 时, $y=ax+b$ 的图象经过第一、二、四象限; $a＞0,b＜0$ 时, $y=ax+b$ 的图象经过第一、三、四象限. 故选 D.

2[较难]如图,已知直线AB: $y=\frac{\sqrt{55}}{3}x+\sqrt{55}$分别交x轴、y轴于B,A两点,C(3,0),D,E分别为线段AO和线段AC上一动点,BE交y轴于点H,且AD=CE.当BD+BE的值最小时,H点的坐标为 ()

A.$(0,\frac{\sqrt{55}}{2})$
B.$(0,5)$
C.$(0,4)$
D.$(0,\sqrt{55})$

2. C 【解析】$\because y=\dfrac{\sqrt{55}}{3}x+\sqrt{55}$, $\therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=\sqrt{55}$; 当 $y=0$ 时, $x=-3$, $\therefore A(0,\sqrt{55})$, $B(-3,0)$. 又 $\because C(3,0)$, $\therefore AB=AC=\sqrt{55+9}=8$. 取点 $F(3,8)$, 连接 $CF,EF,BF$. $\because C(3,0)$, $\therefore CF // OA$, $\therefore ∠ ECF = ∠ CAO$. $\because AB=AC$, $AO ⊥ BC$, $\therefore ∠ CAO = ∠ BAD$, $\therefore ∠ BAD = ∠ ECF$. 在 $△ ECF$ 和 $△ DAB$ 中, $\begin{cases} CF=AB=8, \\ ∠ ECF = ∠ DAB, \\ EC=DA, \end{cases}$ $\therefore △ ECF ≌ △ DAB(\mathrm{SAS})$, $\therefore EF=BD$, $\therefore BD+BE=EF+BE$. $\because EF+BE ≥ BF$, $\therefore BD+BE$ 的最小值为线段 $BF$ 的长, $\therefore$ 当 $B,E,F$ 共线时, $BD+BE$ 的值最小. 设直线 $BF$ 的表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$, 则 $\begin{cases} -3k+b=0, \\ 3k+b=8, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} k=\dfrac{4}{3}, \\ b=4, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $BF$ 的表达式为 $y=\dfrac{4}{3}x+4$, 当 $x=0$ 时, $y=4$, $\therefore H(0,4)$. 综上, 当 $BD+BE$ 的值最小时, $H$ 点的坐标为 $(0,4)$. 故选 C.

3[中]直线$y=kx-2k+3$恒过一定点，则该点的坐标是；平面直角坐标系中有三点$A(-1,0),B(2,3),C(5,0)$，若直线$y=kx-2k+3$将$△ ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分，则$k$的值是。

3. $(2,3)$ 3 【解析】因为 $y=kx-2k+3=k(x-2)+3$, 所以直线 $y=kx-2k+3$ 必经过定点 $(2,3)$, 因为 $B(2,3)$, 直线 $y=kx-2k+3$ 将 $△ ABC$ 分成左、右面积之比为 $1:2$ 的两部分, 所以直线 $y=kx-2k+3$ 过点 $(1,0)$, 故 $0=k-2k+3$, 解得 $k=3$, 故答案为 $(2,3),3$.

4[2026江苏南通质检,中]如图,将函数$y=2x-1$的图象位于$x$轴下方的部分,沿$x$轴翻折至其上方,所得的折线是函数$y=|2x-1|$的图象,其与函数$y=x+b$的图象交点的横坐标$x$均满足$-1＜x＜2$,则$b$的取值范围为。

4. $-\dfrac{1}{2} ≤ b＜1$ 【解析】当 $y=0$ 时, $2x-1=0$, $\therefore$ 直线 $y=2x-1$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $C(\dfrac{1}{2},0)$. 根据题意, 得当 $x ≥ \dfrac{1}{2}$ 时, 函数 $y=|2x-1|$ 的表达式为 $y=2x-1$; 当 $x＜\dfrac{1}{2}$ 时, 函数 $y=|2x-1|$ 的表达式为 $y=-2x+1$. 根据函数 $y=|2x-1|$ 的图象与函数 $y=x+b$ 的图象交点的横坐标 $x$ 均满足 $-1＜x＜2$, 如图, 当 $x=-1$ 时, $y=-2 ×(-1)+1=3$, 此时交点坐标为 $A(-1,3)$, 把 $A(-1,3)$ 代入 $y=x+b$, 解得 $b=4$; 当 $x=2$ 时, $y=2 × 2-1=3$, 此时交点坐标为 $B(2,3)$, 把 $B(2,3)$ 代入 $y=x+b$, 解得 $b=1$; 把 $C(\dfrac{1}{2},0)$ 代入 $y=x+b$, 解得 $b=-\dfrac{1}{2}$. 综上所述, 当 $-1＜x＜2$ 时, $-\dfrac{1}{2} ≤ b＜1$, 故答案为 $-\dfrac{1}{2} ≤ b＜1$.

5 新考法[2026江苏南京调研,中]已知一次函数$y=kx+b$($k,b$是常数,$k≠0$)的图象如图所示,请你在图中平面直角坐标系中分别作下列一次函数的图象,并有必要的标注与文字说明.
(1)$y=kx$；
(2)$y=-2kx+2b$；
(3)$y=kx-2b$；
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5.【解】(1)$\because y=kx$ 的图象与 $y=kx+b$ 的图象平行, 且过坐标原点, $\therefore$ 函数 $y=kx$ 的图象如图所示.
(2)根据函数 $y=kx+b$ 的图象在坐标系中的位置可知, $k＜0,b＞0$, 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,b)$, 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-\dfrac{b}{k},0)$, $\therefore -2k＞0,2b＞0$, $\therefore$ 函数 $y=-2kx+2b$ 的图象经过第一、二、三象限, 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,2b)$, 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(\dfrac{b}{k},0)$, $\therefore$ 函数 $y=-2kx+2b$ 的图象如图所示.
(3)根据函数 $y=kx+b$ 的图象在坐标系中的位置可知, $k＜0,b＞0$, 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,b)$, $\therefore -2b＜0$, $\therefore$ 函数 $y=kx-2b$ 的图象经过第二、三、四象限, 与直线 $y=kx+b$ 平行, 且与 $y$ 轴交于点 $(0,-2b)$, $\therefore$ 函数 $y=kx-2b$ 的图象如图所示.

6 思想方法 数形结合 [较难]如图，直线 $ l_1 $ 经过A(6,0),B(0,8)两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t＞0)。
(1)求直线 $ l_1 $ 的表达式。
(2)当t=时，BC=BD。
(3)若将直线 $ l_1 $ 沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴、y轴分别交于E,F两点，求四边形BAEF的面积。
(4)在第一象限内，是否存在点P，使以A,B,P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

6.【解】(1)设直线 $l_1$ 的表达式为 $y=kx+b$, 将 $A(6,0),B(0,8)$ 代入得 $\begin{cases} 6k+b=0, \\ b=8, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{4}{3}, \\ b=8, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_1$ 的表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$.
(2)由点 $A,B$ 的坐标知, $OA=6,OB=8$, 则 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 当运动时间为 $t$ 秒时, $BC=t$, $BD=BA-AD=10-2t$. 当 $BC=BD$ 时, $t=10-2t$, 解得 $t=\dfrac{10}{3}$. 故答案为 $\dfrac{10}{3}$.
(3)由平移可得, 直线 $EF$ 的表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}(x-3)+8=-\dfrac{4}{3}x+12$. 当 $x=0$ 时, $y=12$, 当 $y=0$ 时, $x=9$, $\therefore F(0,12)$, $E(9,0)$, $\therefore S_{\mathrm{四边形}BAEF}=S_{△ EFO}-S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2} × 9 × 12 - \dfrac{1}{2} × 6 × 8=30$.
(4)存在. 当 $∠ ABP=90°, AB=BP$ 时, 如图所示, 过点 $P$ 作 $PM ⊥ y$ 轴于点 $M$, 易证 $△ AOB ≌ △ BMP$, $\therefore AO=BM=6, BO=MP=8$, $\therefore OM=14$, $\therefore P(8,14)$.
当 $∠ BAP=90°, AB=AP$ 时, 如图所示, 过点 $P$ 作 $PN ⊥ x$ 轴于点 $N$, 易证 $△ AOB ≌ △ PNA$, $\therefore AO=PN=6, BO=AN=8$, $\therefore ON=14$, $\therefore P(14,6)$.
当 $∠ APB=90°, BP=AP$ 时, 如图所示, 过点 $P$ 作 $PG ⊥ x$ 轴于点 $G$, $PH ⊥ y$ 轴于点 $H$, 易证 $△ AGP ≌ △ BHP$, $\therefore AG=BH, PG=PH$, $\therefore$ 易得 $6+AG=8-BH$, $\therefore AG=BH=1$, $\therefore OG=7=PH=PG$, $\therefore P(7,7)$. 综上, 点 $P$ 的坐标为 $(8,14)$ 或 $(14,6)$ 或 $(7,7)$.
思路分析
(1)由点 $(0,1000)$ 可得此种手机的电板最大带电量是 1000 毫安时, 由点 $(5,0)$ 可得此种手机在充满电时最多可供手机待机 5 天. 根据 $\dfrac{1000}{5}=200$(毫安时/天), 可知此种手机每天消耗电量 200 毫安时.