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9[2025江苏连云港中考]如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则$△ AEG$的周长为 (
A.5
B.6
C.7
D.8
(第9题图)
(第10题图)
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
(第9题图)
(第10题图)
答案
9.C 【解析】
∵DE垂直平分AB,GF垂直平分AC,
∴AE=BE,AG=CG,
∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7,故选C.
∵DE垂直平分AB,GF垂直平分AC,
∴AE=BE,AG=CG,
∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7,故选C.
10[2025山东滨州中考]如图，$△ ABC$的两个外角的平分线$AD$，$CE$相交于点$O$. 若点$O$到$BC$的距离为$3.5$，$AB = 4$，则$△ ABO$的面积为
7
.答案
10.7 【解析】
∵△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离,且点O到AC的距离等于点O到BC的距离,
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.
∵点O到BC的距离为3.5,
∴点O到AB的距离为3.5.
∵AB=4,
∴△ABO的面积为$\frac{1}{2}$×4×3.5=7.故答案为7.
∵△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离,且点O到AC的距离等于点O到BC的距离,
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.
∵点O到BC的距离为3.5,
∴点O到AB的距离为3.5.
∵AB=4,
∴△ABO的面积为$\frac{1}{2}$×4×3.5=7.故答案为7.
11[2025江苏盐城中考]七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB//DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
（第11题图）
（第13题图）
B
）A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
（第11题图）
（第13题图）
答案
11.B 【解析】如图.
∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形,∠F=∠DHC=90°,
∴DF=EF,DH=CH,
∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC = 45°.
∵AB // DE,
∴∠ACD = ∠CDE,
∴∠1 + ∠HCD = ∠2+∠FDE.
∵∠1=20°,
∴20°+45°=∠2+45°,
∴∠2=20°,故选B.
12[2025江苏宿迁中考]等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为
10
cm.答案
12.10 【解析】当腰长为2 cm时,三条边长为2 cm,2 cm,4 cm,2+2=4,不能构成三角形,不符合题意;当腰长为4 cm时,三条边长为2 cm,4 cm,4 cm,2+4＞4,能构成三角形,则该三角形的周长为2+4+4=10(cm),故答案为10.
13 新考向开放性试题[2025四川资阳中考]如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是
∠B=60°(答案不唯一)
。答案
13.∠B=60°(答案不唯一) 【解析】
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.又
∵∠B=∠A,
∴∠B=∠BEC.当∠B=60°时,∠B=∠BEC=60°,
∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°,
∴△BCE是等边三角形,故答案为∠B=60°(答案不唯一).
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.又
∵∠B=∠A,
∴∠B=∠BEC.当∠B=60°时,∠B=∠BEC=60°,
∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°,
∴△BCE是等边三角形,故答案为∠B=60°(答案不唯一).
14[2024陕西中考]如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上。
（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
答案
14.【解】如图所示.(答案不唯一)
思路分析
以A为圆心(半径大于点A到l的距离)画弧交l于M,N,分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧交于D,作射线AD交l于B,以B为圆心,AB长为半径画弧交l于C,连接AC,则△ABC即为所求作的三角形.
关键点拨
解本题的关键是掌握等边三角形“三线合一”的性质及判定,以及全等三角形的判定和性质.
15[2025福建中考]如图，$△ ABC$是等边三角形，D是AB的中点，$CE ⊥ BC$，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的。已知EF过点A，BE交CD于点G。
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形。
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形。
答案
15.(1)【解】
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB = ∠DCA = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°.
∵CE ⊥ BC,
∴∠BCE = 90°,
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°.
(2)【证明】
∵△ABC是等边三角形,D是AB的中点,
∴AB=BC,∠ABC=60°,CD ⊥ AB,
∴∠BDC=90°.由平移得CD//EF,
∴∠BAE=∠BDC=90°.在Rt△ABE和Rt△CBE中,$\begin{cases}AB=CB,\\BE=BE,\end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△CBE(HL),
∴∠ABE=∠EBC=30°,
∴∠BEC=90°-∠EBC=60°.又
∵∠DCE=60°,
∴∠EGC=∠DCE=∠BEC=60°,
∴△CEG是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB = ∠DCA = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°.
∵CE ⊥ BC,
∴∠BCE = 90°,
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°.
(2)【证明】
∵△ABC是等边三角形,D是AB的中点,
∴AB=BC,∠ABC=60°,CD ⊥ AB,
∴∠BDC=90°.由平移得CD//EF,
∴∠BAE=∠BDC=90°.在Rt△ABE和Rt△CBE中,$\begin{cases}AB=CB,\\BE=BE,\end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△CBE(HL),
∴∠ABE=∠EBC=30°,
∴∠BEC=90°-∠EBC=60°.又
∵∠DCE=60°,
∴∠EGC=∠DCE=∠BEC=60°,
∴△CEG是等边三角形.
16[2025江苏南通中考]南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若$AC=4.8\ \mathrm{m}$，$∠ C=30°$，则EF的长为
（第16题图）
（第17题图）
1.2
m.（第16题图）
（第17题图）
答案
16.1.2 【解析】
∵E是斜梁AC的中点,AC=4.8 m,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 m.
∵EF ⊥ BC,
∴∠EFC=90°.
∵∠C=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 m,故答案为1.2.
∵E是斜梁AC的中点,AC=4.8 m,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 m.
∵EF ⊥ BC,
∴∠EFC=90°.
∵∠C=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 m,故答案为1.2.
17[2024广东广州中考改编]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,AB=AC=6,D$为边$BC$的中点,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,$AE=CF$,则四边形$AEDF$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
17.9 【解析】连接AD,如图.
∵∠BAC=90°,AB=AC=6,点D是BC中点,
∴∠BAD = ∠B = ∠C = 45°,AD=BD=DC.又
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CDF,
∴$S_{四边形AEDF}=S_{△AED}+S_{△ADF}=S_{△CFD}+S_{△ADF}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$.又
∵$S_{△ABC}=6×6×\frac{1}{2}=18$,
∴$S_{四边形AEDF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=9$.
18[2024新疆中考]如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为
6或12
. 答案
18.6或12 【解析】
∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,
∴∠B=60°,BC=$\frac{1}{2}$AB=4.
①当点D在线段AB上时,如图(1).
∵∠BCD=30°,∠B=60°,
∴∠BDC=90°,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴AD=AB-BD=6.
②当点D在线段AB的延长线上时,如图(2).
∵∠BCD = 30°,∠ABC = 60°,
∴∠D = ∠ABC-∠BCD=30°=∠BCD,
∴BC=BD=4,
∴AD=AB+BD=12.
③当点D在线段BA的延长线上时,如图(3).
此时∠BCD＞∠ACB,即∠BCD＞90°,故不符合题意,舍去.
综上,AD的长为6或12.
易错警示
分点D在线段AB上,点D在线段AB的延长线上和点D在线段BA的延长线上三种情况讨论,画出对应的示意图,注意取舍.
