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2.如图,每个小方格的边长都是1 cm,求阴影部分的周长和面积。(8分)
答案
2. 周长:$2×4+2×3.14×1×2=20.56(\mathrm{cm})$ 面积:$4×4=16(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
本题可通过割补法简化不规则图形的周长和面积计算：①周长：阴影部分边界由直线段和曲线段组成，直线段长度易直接计算，曲线段可转化为规则圆的弧长；②面积：利用割补法，将阴影部分的凹凸半圆进行补全，转化为规则正方形的面积，从而简化计算。
【解析】
周长计算：
阴影部分的周长分为两部分：
1. 直线段：共有4条长度为2cm的线段，总长度为 $2 × 4 = 8\ \mathrm{cm}$；
2. 曲线段：左右两侧各有1个直径为2cm的半圆，两个半圆的弧长之和等价于2个直径为2cm的圆的半周长，即总弧长为 $3.14 × 2 × 2 = 12.56\ \mathrm{cm}$；
因此，阴影部分的周长为 $8 + 12.56 = 20.56\ \mathrm{cm}$。
面积计算：
通过割补法，将阴影部分左右两侧的凹进半圆与凸出半圆互相补全，阴影部分可转化为边长为4cm的正方形，因此面积为 $4 × 4 = 16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
周长：$20.56\ \mathrm{cm}$，面积：$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形周长、组合图形面积、割补法求面积
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过割补法将不规则的组合图形转化为规则图形，降低计算难度，是几何图形计算中常用的解题技巧，能有效锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.5
本题可通过割补法简化不规则图形的周长和面积计算：①周长：阴影部分边界由直线段和曲线段组成，直线段长度易直接计算，曲线段可转化为规则圆的弧长；②面积：利用割补法，将阴影部分的凹凸半圆进行补全，转化为规则正方形的面积，从而简化计算。
【解析】
周长计算：
阴影部分的周长分为两部分：
1. 直线段：共有4条长度为2cm的线段，总长度为 $2 × 4 = 8\ \mathrm{cm}$；
2. 曲线段：左右两侧各有1个直径为2cm的半圆，两个半圆的弧长之和等价于2个直径为2cm的圆的半周长，即总弧长为 $3.14 × 2 × 2 = 12.56\ \mathrm{cm}$；
因此，阴影部分的周长为 $8 + 12.56 = 20.56\ \mathrm{cm}$。
面积计算：
通过割补法，将阴影部分左右两侧的凹进半圆与凸出半圆互相补全，阴影部分可转化为边长为4cm的正方形，因此面积为 $4 × 4 = 16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
周长：$20.56\ \mathrm{cm}$，面积：$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形周长、组合图形面积、割补法求面积
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过割补法将不规则的组合图形转化为规则图形，降低计算难度，是几何图形计算中常用的解题技巧，能有效锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.5
3.求出下面这个陀螺的体积。(4分)
答案
3. $3.14×(10÷2)^2×4+3.14×(10÷2)^2×(7-4)×\frac{1}{3}=392.5(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】这个陀螺由圆柱和圆锥两部分组成，因此它的体积等于圆柱体积与圆锥体积之和。首先确定圆柱的底面直径为10cm，高为4cm；圆锥与圆柱底面相同，直径也是10cm，圆锥的高为总高度7cm减去圆柱的高度4cm，即3cm。接下来分别运用圆柱和圆锥的体积公式计算各自体积，再求和得到陀螺的总体积。
【解析】1. 计算圆柱体积：圆柱体积公式为$V_{柱}=π r^2 h$，底面半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，则$V_{柱}=3.14×5^2×4=3.14×25×4=314(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算圆锥体积：圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，圆锥的高$h=7-4=3\mathrm{cm}$，则$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3=\frac{1}{3}×3.14×25×3=78.5(\mathrm{cm}^3)$。
3. 总体积：$V=V_{柱}+V_{锥}=314+78.5=392.5(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】392.5 cm³
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算、组合图形体积
【点评】本题是组合立体图形体积的基础计算题，核心是将陀螺拆分为圆柱和圆锥，牢记两者的体积公式，准确确定各部分的半径和高即可求解，需注意圆锥体积要乘以$\frac{1}{3}$，避免计算错误。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算圆柱体积：圆柱体积公式为$V_{柱}=π r^2 h$，底面半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，则$V_{柱}=3.14×5^2×4=3.14×25×4=314(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算圆锥体积：圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，圆锥的高$h=7-4=3\mathrm{cm}$，则$V_{锥}=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3=\frac{1}{3}×3.14×25×3=78.5(\mathrm{cm}^3)$。
3. 总体积：$V=V_{柱}+V_{锥}=314+78.5=392.5(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】392.5 cm³
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算、组合图形体积
【点评】本题是组合立体图形体积的基础计算题，核心是将陀螺拆分为圆柱和圆锥，牢记两者的体积公式，准确确定各部分的半径和高即可求解，需注意圆锥体积要乘以$\frac{1}{3}$，避免计算错误。
【难度系数】0.6
4.如图,梯形ABCD的两条对角线相交于点O。甲和乙这两个三角形(阴影部分)的面积相等吗?为什么?(请你用“画”“写”等方式阐述理由,并写出结论)(2分)
答案
4. 面积相等。理由:在梯形中,△ACD和△BCD同底等高,所以$S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$。所以$S_{△ ACD}-S_{△ OCD}=S_{△ BCD}-S_{△ OCD}$,即$S_甲=S_乙$。(合理即可)
解析
【分析】要判断甲、乙两个三角形的面积是否相等，需利用梯形中三角形同底等高的面积关系推导。首先观察图形，梯形ABCD中AB平行于CD，因此△ACD和△BCD是同底（CD）等高的三角形，它们的面积相等；再结合两个三角形都包含公共部分△OCD，通过面积的等量减法即可得出甲、乙的面积关系。
【解析】在梯形ABCD中，AB//CD，所以点A和点B到CD的距离相等，即△ACD与△BCD同底等高，根据三角形面积公式，可得$S_{△ACD}=S_{△BCD}$。又因为$S_{△ACD}=S_甲 + S_{△OCD}$，$S_{△BCD}=S_乙 + S_{△OCD}$，将两式同时减去$S_{△OCD}$，可得$S_{△ACD}-S_{△OCD}=S_{△BCD}-S_{△OCD}$，即$S_甲=S_乙$，因此甲和乙的面积相等。
【答案】面积相等。理由：在梯形中，△ACD和△BCD同底等高，所以$S_{△ACD}=S_{△BCD}$，因此$S_{△ACD}-S_{△OCD}=S_{△BCD}-S_{△OCD}$，即$S_甲=S_乙$。
【知识点】梯形性质、三角形面积计算
【点评】本题通过梯形中同底等高三角形的面积关系，结合等量减等量的逻辑推导，考查学生对三角形面积与梯形性质的综合运用，思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】在梯形ABCD中，AB//CD，所以点A和点B到CD的距离相等，即△ACD与△BCD同底等高，根据三角形面积公式，可得$S_{△ACD}=S_{△BCD}$。又因为$S_{△ACD}=S_甲 + S_{△OCD}$，$S_{△BCD}=S_乙 + S_{△OCD}$，将两式同时减去$S_{△OCD}$，可得$S_{△ACD}-S_{△OCD}=S_{△BCD}-S_{△OCD}$，即$S_甲=S_乙$，因此甲和乙的面积相等。
【答案】面积相等。理由：在梯形中，△ACD和△BCD同底等高，所以$S_{△ACD}=S_{△BCD}$，因此$S_{△ACD}-S_{△OCD}=S_{△BCD}-S_{△OCD}$，即$S_甲=S_乙$。
【知识点】梯形性质、三角形面积计算
【点评】本题通过梯形中同底等高三角形的面积关系，结合等量减等量的逻辑推导，考查学生对三角形面积与梯形性质的综合运用，思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
1.只列式(或方程),不计算。(每题2分,共6分)
(1)小刚正在读一本百科全书,第一周读了120页,还剩下$\frac{1}{4}$没读。这本百科全书共有多少页? $\underline{120÷(1-\frac{1}{4})}$
(2)杭州西湖的蓄水量是1430万立方米,上虞汤浦水库的蓄水量比杭州西湖的17倍少855万立方米,汤浦水库的蓄水量是多少? $\underline{1430×17 - 855}$
(3)乐乐一家三口开车从上虞出发去395 km外的安徽黄山旅游。上午开了3小时车,平均每小时行驶75 km。如果想要再行驶2小时就到达安徽黄山,那么接下来平均每小时要开多少千米? $\underline{(395 - 75×3)÷2}$
(1)小刚正在读一本百科全书,第一周读了120页,还剩下$\frac{1}{4}$没读。这本百科全书共有多少页? $\underline{120÷(1-\frac{1}{4})}$
(2)杭州西湖的蓄水量是1430万立方米,上虞汤浦水库的蓄水量比杭州西湖的17倍少855万立方米,汤浦水库的蓄水量是多少? $\underline{1430×17 - 855}$
(3)乐乐一家三口开车从上虞出发去395 km外的安徽黄山旅游。上午开了3小时车,平均每小时行驶75 km。如果想要再行驶2小时就到达安徽黄山,那么接下来平均每小时要开多少千米? $\underline{(395 - 75×3)÷2}$
答案
1. (1)$120÷(1-\frac{1}{4})$ (2)$1430×17-855$ (3)$(395-3×75)÷2$
解析
【分析】
本题为只列式不计算的题目，需根据每小题的数量关系确定运算：
(1) 把百科全书总页数看作单位“1”，已读页数占总页数的$(1-\frac{1}{4})$，对应120页，求总页数用除法，即已读页数除以对应分率；
(2) 汤浦水库蓄水量是西湖蓄水量的17倍少855万立方米，用西湖蓄水量乘17再减855即可；
(3) 先算已行驶路程（速度×时间），总路程减已行路程得剩余路程，剩余路程除以剩余时间（2小时）得接下来的速度。
【解析】
(1) 已读页数120页对应分率$(1-\frac{1}{4})$，列式：$120÷(1-\frac{1}{4})$；
(2) 西湖蓄水量1430万立方米，列式：$1430×17 - 855$；
(3) 已行路程$75×3$，剩余路程$395 - 75×3$，剩余时间2小时，列式：$(395 - 75×3)÷2$。
【答案】
(1)$120÷(1-\frac{1}{4})$；(2)$1430×17-855$；(3)$(395-75×3)÷2$
【知识点】
分数除法应用题、倍数关系应用题、行程问题
【点评】
本题为基础列式题，考察学生对分数、倍数、行程问题基本数量关系的理解，难度较低，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题为只列式不计算的题目，需根据每小题的数量关系确定运算：
(1) 把百科全书总页数看作单位“1”，已读页数占总页数的$(1-\frac{1}{4})$，对应120页，求总页数用除法，即已读页数除以对应分率；
(2) 汤浦水库蓄水量是西湖蓄水量的17倍少855万立方米，用西湖蓄水量乘17再减855即可；
(3) 先算已行驶路程（速度×时间），总路程减已行路程得剩余路程，剩余路程除以剩余时间（2小时）得接下来的速度。
【解析】
(1) 已读页数120页对应分率$(1-\frac{1}{4})$，列式：$120÷(1-\frac{1}{4})$；
(2) 西湖蓄水量1430万立方米，列式：$1430×17 - 855$；
(3) 已行路程$75×3$，剩余路程$395 - 75×3$，剩余时间2小时，列式：$(395 - 75×3)÷2$。
【答案】
(1)$120÷(1-\frac{1}{4})$；(2)$1430×17-855$；(3)$(395-75×3)÷2$
【知识点】
分数除法应用题、倍数关系应用题、行程问题
【点评】
本题为基础列式题，考察学生对分数、倍数、行程问题基本数量关系的理解，难度较低，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
