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22.(10分)某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示。
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?
答案
22.(1)解:设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。把$(10,40)$,$(18,24)$代入,得$\begin{cases} 10k+b=40, \\ 18k+b=24, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=60, \end{cases}$ 所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-2x+60(10≤ x≤18)$。
(2)解:由题意,得$(x-10)(-2x+60)=150$,整理,得$x^2-40x+375=0$,解得$x_1=15$,$x_2=25$(不符合题意,舍去)。答:销售价应定为15元。
(2)解:由题意,得$(x-10)(-2x+60)=150$,整理,得$x^2-40x+375=0$,解得$x_1=15$,$x_2=25$(不符合题意,舍去)。答:销售价应定为15元。
解析
【分析】
第(1)问需根据图像是直线，用待定系数法设一次函数解析式，代入已知两点坐标求解系数，再结合题目对销售价的限制确定自变量范围；第(2)问利用“总利润=每千克利润×销售量”的关系列方程，解方程后根据销售价范围舍去不合理解，得到结果。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,40)$、$(18,24)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=40 \\18k+b=24\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=60\end{cases}$，
所以$y=-2x+60$。
结合题意，销售价不低于10元/千克、不高于18元/千克，故自变量$x$的取值范围是$10≤x≤18$。
(2) 由总利润公式：总利润=每千克利润×销售量，得方程：
$(x-10)(-2x+60)=150$，
整理得$x^2-40x+375=0$，
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
因销售价不高于18元/千克，$x=25$不符合题意，舍去，故销售价应定为15元/千克。
【答案】
(1) $y=-2x+60(10≤x≤18)$；(2) 15元/千克
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用题，考查待定系数法求一次函数解析式，以及利润问题的方程求解，需注意根据实际意义取舍解，难度适中，属于常见的基础应用题。
【难度系数】
0.6
第(1)问需根据图像是直线，用待定系数法设一次函数解析式，代入已知两点坐标求解系数，再结合题目对销售价的限制确定自变量范围；第(2)问利用“总利润=每千克利润×销售量”的关系列方程，解方程后根据销售价范围舍去不合理解，得到结果。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,40)$、$(18,24)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=40 \\18k+b=24\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=60\end{cases}$，
所以$y=-2x+60$。
结合题意，销售价不低于10元/千克、不高于18元/千克，故自变量$x$的取值范围是$10≤x≤18$。
(2) 由总利润公式：总利润=每千克利润×销售量，得方程：
$(x-10)(-2x+60)=150$，
整理得$x^2-40x+375=0$，
解得$x_1=15$，$x_2=25$。
因销售价不高于18元/千克，$x=25$不符合题意，舍去，故销售价应定为15元/千克。
【答案】
(1) $y=-2x+60(10≤x≤18)$；(2) 15元/千克
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用题，考查待定系数法求一次函数解析式，以及利润问题的方程求解，需注意根据实际意义取舍解，难度适中，属于常见的基础应用题。
【难度系数】
0.6
23. (10分)(2025·杭州市上城区期末)新定义 阅读材料:如果$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个实数根,且$x_1≠0$,$x_2≠0$,若其中一个根是另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”;例如:1,2是方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根,2是1的2倍,则这是一个“倍根方程”。
(1)解方程:$x^2 + 9x + 18 = 0$,并判断该方程是否属于“倍根方程”。
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0(k≠1)$。
①求证:该方程必有两个不相等的实数根。
②若该方程是“倍根方程”,求$k$的值。
(1)解方程:$x^2 + 9x + 18 = 0$,并判断该方程是否属于“倍根方程”。
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0(k≠1)$。
①求证:该方程必有两个不相等的实数根。
②若该方程是“倍根方程”,求$k$的值。
答案
23.(1)解:该方程属于“倍根方程”。理由如下:将方程的左边分解因式,得$(x+3)(x+6)=0$,则$x+3=0$,或$x+6=0$,解得$x_1=-3$,$x_2=-6$。因为$x_2=2x_1=-6$,所以这个方程是“倍根方程”。
(2)①证明:由题意,得$\Delta=b^2-4ac=(k+3)^2-4×(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2$。因为$k≠1$,所以$(k-1)^2＞0$,所以该方程必有两个不相等的实数根。
②解:因为该方程是“倍根方程”,设一个根是$a$,则另一个根是$2a$。由根与系数的关系,得$a+2a=-(k+3)$,$a·2a=2k+2$,整理,得$k^2-3k=0$,解得$k=0$,或$k=3$。
(2)①证明:由题意,得$\Delta=b^2-4ac=(k+3)^2-4×(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2$。因为$k≠1$,所以$(k-1)^2＞0$,所以该方程必有两个不相等的实数根。
②解:因为该方程是“倍根方程”,设一个根是$a$,则另一个根是$2a$。由根与系数的关系,得$a+2a=-(k+3)$,$a·2a=2k+2$,整理,得$k^2-3k=0$,解得$k=0$,或$k=3$。
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“倍根方程”的核心：一元二次方程的两个实数根中，一个根是另一个根的2倍。解题思路为：(1)通过因式分解法解方程，求出两根后验证是否满足倍根关系；(2)①利用一元二次方程根的判别式，计算判别式并结合k≠1的条件证明有两个不等实根；②设两根为a和2a，结合根与系数的关系（韦达定理）列方程，求解k的值并验证合理性。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 9x + 18 = 0$，将左边因式分解得：$(x+3)(x+6)=0$，则$x+3=0$或$x+6=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-6$。因为$x_2=2x_1=-6$，所以该方程属于“倍根方程”。
(2) ① 证明：对于一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (k+3)^2 - 4×1×(2k+2) = k^2 + 6k + 9 - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2$。因为$k≠1$，所以$(k-1)^2＞0$，故该方程必有两个不相等的实数根。
② 解：设方程的两个根为$a$和$2a$，由根与系数的关系得：
$a + 2a = -(k+3)$，即$3a = -k -3$；
$a·2a = 2k + 2$，即$2a^2 = 2k + 2$，化简得$a^2 = k + 1$。
由$3a = -k -3$得$a = \frac{-k -3}{3}$，代入$a^2 = k +1$得：
$(\frac{-k -3}{3})^2 = k +1$，整理得$k^2 - 3k =0$，解得$k=0$或$k=3$，均满足$k≠1$，故$k$的值为0或3。
【答案】
(1) 该方程属于“倍根方程”；(2)① 证明成立；② $k=0$或$k=3$
【知识点】
一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的核心知识点，需先理解“倍根方程”的定义，再运用因式分解、判别式、韦达定理解题，侧重知识的迁移应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，需先明确“倍根方程”的核心：一元二次方程的两个实数根中，一个根是另一个根的2倍。解题思路为：(1)通过因式分解法解方程，求出两根后验证是否满足倍根关系；(2)①利用一元二次方程根的判别式，计算判别式并结合k≠1的条件证明有两个不等实根；②设两根为a和2a，结合根与系数的关系（韦达定理）列方程，求解k的值并验证合理性。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 9x + 18 = 0$，将左边因式分解得：$(x+3)(x+6)=0$，则$x+3=0$或$x+6=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-6$。因为$x_2=2x_1=-6$，所以该方程属于“倍根方程”。
(2) ① 证明：对于一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 2k + 2 = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (k+3)^2 - 4×1×(2k+2) = k^2 + 6k + 9 - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2$。因为$k≠1$，所以$(k-1)^2＞0$，故该方程必有两个不相等的实数根。
② 解：设方程的两个根为$a$和$2a$，由根与系数的关系得：
$a + 2a = -(k+3)$，即$3a = -k -3$；
$a·2a = 2k + 2$，即$2a^2 = 2k + 2$，化简得$a^2 = k + 1$。
由$3a = -k -3$得$a = \frac{-k -3}{3}$，代入$a^2 = k +1$得：
$(\frac{-k -3}{3})^2 = k +1$，整理得$k^2 - 3k =0$，解得$k=0$或$k=3$，均满足$k≠1$，故$k$的值为0或3。
【答案】
(1) 该方程属于“倍根方程”；(2)① 证明成立；② $k=0$或$k=3$
【知识点】
一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的核心知识点，需先理解“倍根方程”的定义，再运用因式分解、判别式、韦达定理解题，侧重知识的迁移应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
