23. (10分)如图,已知$AB// CD$,直线$MN$分别交$AB,CD$于点$G,H$.
(1)如图1,点$I$在直线$AB$与直线$CD$之间,求证:$∠ GIH = ∠ AGI + ∠ IHC$;
(2)如图2,点$E$在直线$AB$上,且位于点$G$右侧,点$F$在直线$MN$上,且在直线$AB$上方,点$I$在直线$AB$与直线$CD$之间,$∠ FEA = 2∠ AEI,IP// MN$,若$∠ I - ∠ EFH = 60°$,求$∠ IEB$的度数;
(3)如图3,$∠ CHG = 60°$,点$E$在直线$CD$上(点$E$在点$H$左侧),点$I$在直线$AB$与直线$CD$之间,$∠ HGI$与$∠ HEI$的平分线交于点$Q$,请直接写出$∠ EIG$与$2∠ EQG$的数量关系.

23. 【点拨】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,掌握平行线的性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:如题图1,过点I作IL//AB(点L在点I的右侧),
∴ ∠AGI=∠GIL.
∵ AB//CD,
∴ IL//CD,
∴ ∠IHC=∠HIL,
∴ ∠GIH=∠GIL+∠HIL=∠AGI+∠IHC.
(2)如题图2,过点F作FT//AB(点T在点F的右侧),
设∠AEI=α,
∵ ∠FEA=2∠AEI,
∴ ∠FEA=2α,
设∠FHC=β,
∵ AB//CD,
∴ FT//CD,
∴ ∠TFE=∠AEF=2α,∠TFH=∠FHC=β,
∴ ∠EFH=∠TFH-∠TFE=β-2α,
∵ IP//MN,
∴ ∠IPC=∠FHC=β,
由(1)同理可得∠I=∠AEI+∠IPC=α+β.
∵ ∠I-∠EFH=60°,
∴ α+β-(β-2α)=60°,
∴ α=20°,
∴ ∠IEB=180°-∠AEI=180°-20°=160°.
(3)
∵ ∠CHG=60°,AB//CD,
∴ ∠AGH=120°,∠BGH=∠CHG=60°,
如图1,设∠IGQ=∠HGQ=α,∠IEQ=∠HEQ=β,
∴ ∠1=120°-2α,∠2=180°-2β.
由(1)同理可得∠EIG=∠1+∠2,
∠EQG=α+∠BGH+β=60°+α+β,
∴ ∠EIG+2∠EQG=∠1+∠2+2(60°+α+β)=120°-2α+180°-2β+120°+2α+2β=420°.

如图2,∠1=120°-2α,∠2=180°-2β,
由(1)同理可得∠EIG=∠1+∠2,∠EQG=∠1+α+∠2+β,
∴ 2∠EQG-∠EIG=2(∠1+α+∠2+β)-(∠1+∠2)=∠1+∠2+2α+2β=(120°-2α)+(180°-2β)+2α+2β=300°.
如图3,

∠3=60°-2α,∠4=180°-2β,
由(1)同理可得∠EIG=∠3+2β,∠EQG=∠3+α+β,
∴ 2∠EQG-∠EIG=2(∠3+α+β)-(∠3+2β)=∠3+2α=60°-2α+2α=60°.
综上所述,∠EIG+2∠EQG=420°或2∠EQG-∠EIG=300°或2∠EQG-∠EIG=60°.